清华考研_电路原理课件_第18章__状态变量法.docx

清华大学 电路原理 电子课件江辑光版参考教材：电路原理（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成电路原理 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟电路（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉第18章状态变量法本章重点18.1 状态变量和状态方程18.2 状态方程的列写18.3 状态方程的时域解析解法18.4 状态方程的拉普拉斯变换法求解本章重点18.1状态变量和状态方程18.2状态方程的列写18.3状态方程的时域解析解法18.4状态方程的拉普拉斯变换法求解 本章重点 状态方程的建立 状态方程的求解返回目录18.1状态变量和状态方程一、状态变量（state variable）x分析动态过程的独立变量。选定系统中一组最少数量的变量 x=x1 ,x2 ,xnT ，如果当 t = t0 时这组变量x(t0)和 t t0 后的输入（激励）e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。x(t0)e(t)t t0确定y(t)t t0称这一组最少数目的变量为状态变量。说明：x表示状态变量的列向量。为区分符号，以下用表示向量或矩阵。例L+ uL -+e(t)-iLiCCiR+uC R- 2选 uC ， iL 为 状态变量。+ 已知 uC (0) = 3V, i L (0) = 0,uR-输出变量: uL , iC , uR , iR 。解由uC (0) = 3Vi L (0) = 0e (0) = 10 VuL(0) = 7VuR(0) = 3ViR(0) = 1.5AiC(0) = -1.5A推广至任一时刻 t1uL(t1)=e(t1)-uC(t1)可由uC ( t 1 )i L ( t 1 )e ( t 1 )uR(t1)= uC(t1)iR(t1)= uC(t1)/RiC(t1)= iL(t1)- uC(t1)/R可见当 t = t1 时 uC ， iL 和 t t1 后的输入e(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题：如何求出 t1时刻的状态变量。二、状态方程（state equation）求解状态变量的方程。LiL设选 uC , iL 为状态变量列微分方程duC uCiC = C = i L dt Rdi LuL = L= e(t ) uCdt+ uL+e(t)-CiC+uC R-改写为duCdt= 1RCuC +1Ci Ldi Ldt= 1LuC +1Le(t )称为状态方程。duCdt= 1RCuC +1Ci L状态方程的特点：（1） 是一阶微分方程组；di Ldt= 1LuC +1Le(t )（2） 左端为状态变量的一阶导数；（3） 右端仅含状态变量和输入量。矩阵形式 duC 1 = di L dt LC00式中n1一般形式 x (t ) = A x(t ) + Bv(t ) nn nrx=x1 x2 xnTTdtRC11uC+1e(t)iLLx=x12xxn三、输出方程（output equation）uL=e(t)-uC(t)iC(t)= iL(t)- uC(t)/RuR(t)= uC(t)iR(t)= uC(t)/RL+ uL -+e(t)-iLiCCiR+uC R-+uR- uL 1 i 1 / R C = uR 1 i R 1 / R一般形式0 11 uC 00 i L + 0 e(t ) 0 0Y(t) = C X(t) +Dv(t)特点： （1） 代数方程；（2） 用状态变量和输入量表示输出量。返回目录18.2状态方程的列写一、直观法-uC+i2L2例1 列写图示电路的状态方程。分析：选 uC , i1 , i2为状态变量。R1+uS-CL1i1R2iS对包含电容的节点列KCL（duC/dt） CduCdt= i1 + i2对包含电感回路列KVL（ diL/dt）L1L2di1dtdi2dt= uC (i1 + i2 )R1 + uS= uC (i1 + i2 )R1 + uS (i2 + iS )R2整理成矩阵形式，得状态方程如下：di1 0 1 di2 1 L21CR1L1R1L2 1C L1 L2 uC 1 1 L20 uS 0 iS L2 duCdt=1dtLdt0i+1Li21例2列写图示电路的状态方程。u2+- C2+u1-i5R5i6R6L3i3C1L4i4- uS +选 u1 , u2 , i3 , i4为状态变量du1dtdu2C 2 = i6 i5dtdi3dtdi4dt消去非状态量 i5 , i6i5= (u2-u1)/R5i6 = i4 -i3代入上式，整理为矩阵形式=i5i4=u2+i6R6uS=uSi6R6u2+u1u 1 R5C10 1 L411R5C11R5C 21L31L401C 2L3R6L41 0 1+ R6 i3 L3 L3 i4 1 L4 uS1u 2 5 2C R = 3 4i 6R1C012u 12C 6R4L 二、叠加法步骤：uS+-+uCRR- iC+-iS（1） 将电源、电容、电感均抽到网络外，网络内均为电阻。（2）电容用电压源替代，电感用电流源替代。（3）用叠加定理求iC , uL 。+ uL -iL则 uS ，iS ，uC，iL共同作用下的iC , uL为：iC = a11 uC +a12 iL + b11 uS+ b12 iSCduCdtLdi LdtuL = a21 uC +a22 iL + b21 uS+ b22 iS iC a11 a12 uC b11 b12 uS uL = a21 a 22 i L + b21 b22 iS 由此可得状态方程。 例+uC2-iC2iL L+ uL -iC1+uC1-解设uC1、 uC2 、iL为状态变量R1+uS-R2iS（1） uC1 单独作用： iL=0，iS=0，uS=0 , uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。iC2iC1iC 1 = uC 1R1 + R2+ uL -R1+ uC1-R2uC 1iC 2 =R1 + R2uL = uC 1（2） uC2 单独作用： iL=0，iS =0，uS=0 , uC1=0 。求：iC1 ， iC2 , uL 。uC 2+ uC2- iC2 R1 + R2iC 2 = R1 + R2R1 R2uL = uC 2（3） iL 单独作用： iS =0，uS=0 , uC1=0 ，uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。iL+ uL -R1iC2iC1R2iC 1 = i LiC 2 = i LuL = 0+uL-（4） uS 单独作用： iS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。uSiC 1 = R1 + R2iC 2 =R1 + R2S（5） iS 单独作用： uS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0 。求：iC1 ， iC2 , uL 。+ uL -iC2iC 1 = R1i SR1 + R2R1iC1 iSR2iC 2= R2i SR1 + R2uL = 0+uL-（6） 整理成标准形式 1 11 2C 2 dt C 2 ( R1 + R2 ) C 2 ( R1 + R2 )1 1 L L1 1 C 2 i L 0 0 1 1 2 1 C 1 1 R1 R2C 2 ( R1 + R2 ) S iS 0 uC1uC2iLuSiSduC 1C1dt1R1 + R21R1 + R211R1 + R2R1R1 + R2duC 2C 2dt1R1 + R21R1 + R2 11R1 + R2R2R1 + R2di LLdt 11000 1 duC+ + 2 1 1) ( ) ( dR R C R R C t1 du = 1 1 diL dt+) (R R C 1u C+ + 2 1 2 2) (R R C uC +2 1 1) (R R C u三、拓扑法基本思想（1） 线性电路以 iL，uC 为状态变量。（2） 每个元件抽象为一条支路，选一个树使在树支中CL+ uS -iSRtRl在连支中常态树(Proper tree)（3） 形成单树支割集矩阵 Q ，单连支回路矩阵B；（4） 对单树支割集列写KCL方程it= -Ql il 用连支电流表示树支电流；（5） 对基本回路列写KVL方程ul = -Bt ut 用树支电压表示连支电压；（6） 消去非状态量；（7） 整理，得到状态方程。例+uC R1-（1） 选 uC ， iL 为状态变量。+uS-C3iL L4R5iS（2） 以1，2，3为树支的常态树。2351461Q = 000 0 1 0 11 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0B = 0 11 1110100010001（4）QlBti = i R1iusiCi Li R 2iS T树支电流it = Ql il 连支电流 i R 1 10 11 1 i L （1） i C 110 i S （3）itus=0=i选出与 iC 有关方程为iC = iL + iR5（5）u = uR1uS uCuL uR5 uis T树支电压ul = Bt ut 连支电压 uL 1ul = uR 5 = 00 1 uR1 1 1 uS （2） uiS 11 0 uC 选出与uL有关方程为： uL = uR1 uCiC = iL + iR5uL = uR1 - uC（3）（6） 消去（3）式中非状态量 iR5 和 uR1由欧姆定理uR1=R1 iR1代入由方程组（1）iR1 = - iL + iS由欧姆定理iR2= uR5 / R2由方程组（2）uR5 = - uC + uSuR1 =R1(- iL+ iS )iR5 = (- uC+ uS)/ R5整理得iC = i L +uSR5uCR5uL = R1i L + iS uC矩 阵形式 duC C 3 dt dt = 1 1 R5 R1 状态方程为 1 dt R5CL dt L431 1 + L4 0L4 uS 返回目录diLL4u1Ci+R51R1L00uSiSduCdi=1R1iL018.3状态方程的时域解析解法一、 线性状态方程的解1. 一阶状态方程的解答形式dx(t )dt= ax(t ) + bv(t )初值 x (0)上式两边同乘 e-ate at dx(t ) dt 即ddte at x(t )ax(t)=eatbv(t)=eatbv(t)上式等号两边积分t t0 d e x( ) 0e att0e att0atat0te a bv( )d零输入响应零状态响应dd=eabv()da2. 状态方程组的解答形式 x (t ) = A x(t ) + Bv(t )比照一阶做法，得tAt At0式中 eAt 称作矩阵指数，也称为状态转移矩阵(state transition matrix)3. 关于矩阵指数定义eAtdef= I + At +12!2 2k =0 k!Ak t k性质e Ate At = I（单位阵）d Atedt=ddt( I + At +12!A2t 2 +)= A + A2t +12!A3t 2 + = e At AAx(t)=ex(0)+eeBv()d14. 用矩阵对角线化的方法计算eAta.由矩阵A的特征方程det A I = 0求特征值1， 2， ，n（假设各特征值相异）b. 对每一个特征值i 求特征向量 piA-iI pi = 0c. 构成A的对角化转换矩阵P = p1 p2 pn d. 求eAt eAtP et P-1nnn1式中t 1t nte=diagee2te例1已知3 12 0解 det A I = 0即 3 2 1 21 = 12 = 2= 1的特征向量 p p21 A 1 I p1 = 0 3 + 1 1 p11 2 1 1 2A=，求eAt。=+3+2=0对应特征值11=满足下式p11即=0p21取p11211=1，则p=2，得p p12 对应特征值 2 = 2的特征向量 p2 = 满足下式 p22 A 2 I p2 = 03 + 2 1 p12 2 2 p22 1 1 P = p1 1 1 2 112 1e te t = 0e0 2 t 即=0取p12=1，则p22=1，得p2=11P=由AtAt t t2 1e t + 2e2 t e t + e2 t = 2 t例2已知一电路的状态方程为 x1 3 1 x1 2 = 2 0 2 0 初值 x1 (0) 25求 x1 (t )，x 2 (t )。e=PeP1可得11e011e=210e2t2et2e2ete2txx+v2x(0)=，输入v=12解AtAt e t + 2e2 te t + e2 t 2e e方程的全解tAt At0零输入解xf(t)Ate t + 2e2 t零状态解xe(t)e t + e2 t 2 7e t + 9e2 t t 2 t = 2e e 5 例1已求出ee=2et2e2tt2tAx(t)=ex(0)+eeBv()dxf(t)=ex(0)=2et2e2t14et9e2tt xe (t ) = 0 e Bu( )d0t e (t ) + 2e2(t )e (t ) + e2(t ) 22e e 0dt 2e ( t ) + 4e 2( t ) 0 2e t 2e 2 t = t 2 t 2 4e + 2e 全响应为 x(t ) = x f (t ) + xe (t ) 5e t + 7e2 t = t 2 t 10e 7e + 2返回目录=2e(t)2e2(t)(t)2(t)=2(t)d4e(t)4e18.4状态方程的拉普拉斯变换法求解线性非时变电路的状态方程标准形式为 x (t ) = A x(t ) + Bv(t )两边取拉氏变换，得1 作拉氏反变换，得 x(t ) = 1 X ( s)1 00 1单位矩阵(sIA)X(s)=x(0)+BV(s)X(s)=(sIA)(x(0)+BV(s)I= x(t ) = 1 X ( s)即1 -11上式右端第一项为零输入响应：1 第二项为零状态响应：1比较时域解的形式可知At 1x(t)= -1(sIA)x(0)+(sIA)BV(s)xf(t)= -1(sIA)x(0)xe(t) -1(sIA)BV(s)e= -1(sIA)例1解已知一零输入系统的状态方程为 x1 (t ) 1.5 1 x1 (t ) x1 (0) 1 ，0.5 2 4试求状态方程的解。先求矩阵指数： s + 1.5 1 0.5 s + 2将上式矩阵求逆得11 s + 2 0.5 1x(t)=x(t)x(0)222(sIA)=(s+1)(s+2.5)作拉氏反变换得矩阵指数e +At 2 e t 2 e 2.5 t 3 3所以状态方程的解为e e3 3e + e3 3 x1 (t ) At x2 (t ) = e x1 (0) At x2 (0) = e 1 4 2 t