高三数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第七节 n次独立重复试验与二项分布课件 理.ppt

理数课标版 第七节n次独立重复试验与二项分布 1 条件概率及其性质 1 对于任何两个事件a和b 在已知事件a发生的条件下 事件b发生的概率叫做 条件概率 用符号 p b a 来表示 其公式为p b a p a 0 在古典概型中 若用n a 表示事件a中基本事件 教材研读 的个数 则p b a 2 条件概率具有的性质 i 0 p b a 1 ii 如果b和c是两个互斥事件 那么p b c a p b a p c a 2 相互独立事件 1 对于事件a b 若a的发生与b的发生互不影响 则称 a b是相互独立事件 2 若a与b相互独立 则p b a p b p ab p b a p a p a p b 3 若a与b相互独立 则 a与 与b 与也都相互独立 4 若p ab p a p b 则a与b相互独立 3 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有两种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中发生的概率都是一样的 2 在n次独立重复试验中 用x表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率为p 则p x k pk 1 p n k k 0 1 2 n 此时称随机变量x服从二项分布 记为x b n p 并称p为成功概率 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 相互独立事件就是互斥事件 2 若事件a b相互独立 则p b a p b 3 p ba 表示事件a b同时发生的概率 一定有p ab p a p b 1 已知p b a p ab 则p a 等于 a b c d 答案c由p ab p a p b a 可得p a 2 若事件e与f相互独立 且p e p f 则p e f 的值等于 a 0b c d 答案be f代表e与f同时发生 p e f p e p f 故选b 3 设随机变量x b 则p x 3 等于 a b c d 答案a x b p x 3 4 某人射击 一次击中目标的概率为0 6 经过3次射击 此人至少有两次击中目标的概率为 答案解析可看作3次独立重复试验 则p 0 62 0 4 0 63 5 加工某一零件需经过三道工序 设第一 二 三道工序的次品率分别为 且各道工序互不影响 则加工出来的零件的次品率为 答案解析依题意得 加工出来的零件的正品率是 因此加工出来的零件的次品率是1 考点一条件概率典例1 2016课标全国 18 1 2 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 考点突破 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 1 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 2 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 解析 1 设a表示事件 一续保人本年度的保费高于基本保费 则事件a发生当且仅当一年内出险次数大于1 故p a 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 2 设b表示事件 一续保人本年度的保费比基本保费高出60 则事件b发生当且仅当一年内出险次数大于3 故p b 0 1 0 05 0 15 又p ab p b 故p b a 因此所求概率为 方法技巧条件概率的求法 1 利用条件概率公式 分别求p a 和p ab 再利用p b a 求解 这是通用的求条件概率的方法 2 借助古典概型概率公式 先求事件a包含的基本事件数n a 再在事件a发生的条件下求事件b包含的基本事件数n ab 得p b a 1 1甲 乙两地都位于长江下游 根据天气预报的记录知 一年中下雨天甲市占20 乙市占18 两市同时下雨占12 则在甲市为雨天的条件下 乙市也为雨天的概率为 a 0 6b 0 7c 0 8d 0 66 答案a将 甲市为雨天 记为事件a 乙市为雨天 记为事件b 则p a 0 2 p b 0 18 p ab 0 12 故p b a 0 6 1 2 2016甘肃张掖诊断 某盒中装有10只乒乓球 其中6只新球 4只旧球 不放回地依次摸出2个球使用 在第一次摸出新球的条件下 第二次也摸出新球的概率为 a b c d 答案b 第一次摸出新球 记为事件a 则p a 第二次摸出新球 记为事件b 则p ab p b a 故选b 考点二相互独立事件的概率典例2在一场娱乐晚会上 有5位民间歌手 1至5号 登台演唱 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手 其中观众甲是1号歌手的歌迷 他必选1号 不选2号 另在3至5号中随机选2名 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱 因此在1至5号中随机选3名歌手 1 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率 2 x表示3号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求 x 2 的概率 解析 1 设a表示事件 观众甲选中3号歌手 b表示事件 观众乙选中3号歌手 则p a p b 事件a与b相互独立 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为p a p a p p a 1 p b 2 设c表示事件 观众丙选中3号歌手 则p c 依题意 a b c相互独立 相互独立 且ab ac bc abc彼此互斥 p x 2 p ab p ac p bc p x 3 p abc p x 2 p x 2 p x 3 方法技巧求相互独立事件同时发生的概率的方法 1 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 2 正面计算较复杂或难以入手时 可从对立事件入手计算 2 1甲 乙两人进行围棋比赛 约定先连胜两局者直接赢得比赛 若赛完5局仍未出现连胜 则判定获胜局数多者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立 1 求甲在4局以内 含4局 赢得比赛的概率 2 记x为比赛决出胜负时的总局数 求x的分布列 解析用a表示 甲在4局以内 含4局 赢得比赛 ak表示 第k局甲获胜 bk表示 第k局乙获胜 则p ak p bk k 1 2 3 4 5 1 p a p a1a2 p b1a2a3 p a1b2a3a4 p a1 p a2 p b1 p a2 p a3 p a1 p b2 p a3 p a4 所以甲在4局以内 含4局 赢得比赛的概率为 2 x的可能取值为2 3 4 5 p x 2 p a1a2 p b1b2 p a1 p a2 p b1 p b2 p x 3 p b1a2a3 p a1b2b3 p b1 p a2 p a3 p a1 p b2 p b3 p x 4 p a1b2a3a4 p b1a2b3b4 p a1 p b2 p a3 p a4 p b1 p a2 p b3 p b4 p x 5 1 p x 2 p x 3 p x 4 故x的分布列为 考点三n次独立重复试验与二项分布典例3 2016晋中四校1月联考 一款击鼓小游戏的规则如下 每轮游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每轮游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓是否出现音乐相互独立 1 设每轮游戏获得的分数为x 求x的分布列 2 玩三轮游戏 至少有一轮出现音乐的概率是多少 解析 1 x可能的取值为10 20 100 200 根据题意 有p x 10 p x 20 p x 100 p x 200 所以x的分布列为 2 设 第i轮游戏没有出现音乐 为事件ai i 1 2 3 则p a1 p a2 p a3 p x 200 所以 三轮游戏中至少有一次出现音乐 的概率为1 p a1a2a3 1 1 因此 玩三轮游戏至少有一轮出现音乐的概率是 易错警示利用n次独立重复试验的概率公式p x k pk 1 p n k k 0 1 2 n 可以简化求概率的过程 但需要注意检验该概率模型是否满足两个条件 1 在一次试验中某事件a发生的概率是一个常数p 2 n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验 而且各次试验的结果是相互独立的 另外 要注意利用公式求得的是n次试验中事件a恰好发生了k次 x k 的概率 3 1在一次数学考试中 第21题和第22题为选做题 规定每位考生必须且只需在其中选做一题 设4名学生选做每一道题的概率均为 1 求其中甲