1.3二次函数的性质.docx

二次函数【课堂实录】T:近期NBA篮球赛如火如荼的进行着，请同学观看视频。运动员投篮时，篮球运动的路线是怎样的一条曲线？S:我们可以近似看作一条抛物线（齐答）T：怎样计算篮球达到最高点时的高度？本节课我们一起来探讨这条抛物线的性质。T：根据右边已画好的函数图象回答问题：请看题：抛物线，当自变量x增大时，函数y将怎样变化？ 3 2 1 T：请同学们用手指来比画这条抛物线的形状。开口向上，当自变量增大时，Y的值S（齐答）:先减小，后增大.T:二次函数的图象是轴对称图形，请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y的变化？任取两点来对比（PPT演示）S（齐答）:y随着x的增大而减小T:当x-2时,y随着x的增大而减小，对称轴的左侧用号表示。T：继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y值变化？（PPT演示）S（齐答）:y随着x的增大而增大，T: Y随X的变化情况概括为抛物线的增减性，由此发现这条抛物线的增减性，S（齐答）:当x-2时,y随着x的增大而减小，当x-2时,y随着x的增大而减小，T:以对称轴作为分界，分两部分说明抛物线的增减性。判断二次函数的增减性，首先要确定它的对称轴，结合开口方向来判断二次函数的增减性思考：二次函数的增减性由什么确定？ T：根据右边已画好的函数图象回答问题：我们继续来探索抛物线当自变量x增大时，函数y将怎样变化？T:请同学们用手指来比画这条抛物线的形状。这条抛物线开口向是下，S（齐答）:先增大，后减小T:观察对称轴右侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y的变化？由此发现抛物线的增减性，当x2时,y随着x的增大而增大T：继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y的变化？S:当x2时,y随着x的增大而减小S（齐答）:由此发现抛物线的增减性，当x2时,y随着x的增大而增大,当x2时,y随着x的增大而减小T:探讨二次函数的增减性和什么有关？S:1. 与a,有关，a确定抛物线的开口方向，2. 与a,b有关，a,b确定抛物线的对称轴。当a,b同号时，对称轴在Y轴左侧，当a,b异号时，对称轴在Y轴右侧。当a0时，对称轴左侧y随着x的增大而减小，对称轴右侧y随着x的增大而增大。当a0.学生思考：教师巡视，关注学困生，跟学困生有交流，提醒和点拨思考方向。T:请同学思考，请一位同学回答问题（1）S：图象的对称轴直线 X=-7 ， 顶点坐标是（-7，32）T:回答正确，请说说你是用什么方法来求的？S：用顶点公式T:同学们再想想，还能用其他方法来求吗？S：用配方法T:公式法是求二次函数对称轴和顶点坐标的通用方法，而配方法含有一定的技巧性，需要同学们细心，避免配方时出现错误。现在请同学们思考问题（2）S：点A的坐标是（-15，0），点B的坐标是（1，0）点C的坐标是（0，）T:你能向同学们说说你的求解思路吗？S：点A、B在x轴上，而X轴上的点的特征是纵坐标为0，因此，令y=0，可得关于X的一元二次方程。利用配方法或公式法可以求出方程的两个实数根，而这两个实数根就是点A和点B的横坐标，就得到点A,点B的坐标。点C是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，所以当X=0时，可得y=，点C的坐标是（0，）T:这位同学分析得很好！下面我们来解决问题（3），请哪位同学来回答这个问题，如何画出函数的图象。S：由刚才的问题（1）和问题（2）可知，把这四点连接起来，T:这位学生的方法可以！为了画图更准确，再找点C关于对称轴的对称点，用五点来画图更准确。通常选择顶点，两对对称点（与X主轴的交点，与Y轴的交点，及关于对称轴的对称点）现在我们根据这位学生的分析，演示图象的生成过程。（多媒体展示并归纳二次函数五点法的画法）现在请同学们结合图象，思考问题（4），哪位同学来回答？S：从图象中可以直接看出，在对称轴的左侧，抛物线的分支是呈上升趋势，即X-7时，y 随X的增大而增大，而在对称轴的右侧，抛物线的分支是呈下降趋势，即X-7时，y 随X的增大而减小。当X=-7时，y有最大值，因为抛物线的开口向下，图象有最高点，顶点坐标为（-7，32）。T:这同学的回答正确吗？注意最大值是顶点的纵坐标，而不是横纵坐标。S：正确T：下面我们结合图象，来考虑问题上（5），哪位同学来回答？S：从图象上来看，y0时，抛物线的图象在X轴的上方T：在X轴的上方的一支抛物线，请问X的取值有何特点？S:从图象上可以看出，抛物线与X轴的两个交点的横坐标分别为-15和1，即X的取值范围为-15和1之间，当-15X0.T：同学们还能提出类似于问题(5)的问题吗？S：说 出 x 取哪些值时， y0; y=0;T:当y0时， 怎样来找符合条件的X的值？（用手在图上演示）S：当y0时，抛物线所对应的是X轴下方的抛物线，抛物线与X轴的两个交点的横坐标分别为-15和1，那么当X1时，y0)y=ax2+bx+c(a0)顶点坐标对称轴位置由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定开口方向向上向下增减性y随着x的增大而减小., y随着x的增大而增大,y随着x的增大而增大., y随着x的增大而减小.最值T：这个同学回答的非常好！小组成员补充。运用二次函数的性质我们来小试牛刀。尝试成功： 1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为_. T:请说说你的分析过程。S:从开口方向，可知a0，从抛物线与Y轴的交点，可知c0。2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值 y=2x2-8x+1 y=-3x-6x+1T：请两位同学来回答，教师板书3已知点（-1， y1 ),(-2,y2 ),(-4,y3 )是抛物线y2x2_8xm上的点，则 ( ) A y1y2y3 B y3y2y1 C y2y1y3 D y2y3y1T：请一位同学回答，同学们认可他的答案？S:认可T：请你分析解答过程S1：（1）把-1，-2，-4，代入函数解析式，求得y1，y2，y3 ，比较大小。S2：从a=-2可知抛物线开口向下，存在最大值，当X=-2时，Y最大值为7点离对称轴越近，对应的Y的值越大，所以y1y3T: 这位同学从数的角度来解决问题，从形的角度，画出示意图，可知对称轴为X=2，y2最大，离对称轴越近，Y值越大。数形结合是我们数学中常用的方法。T:刚才同学们在例1中，刚才同学还可以提出的x 取哪些值时， y=0？这个问题可以转化为 问题（6）方程和函数之间的关系。求方程的解，通过图象与X轴的交点为（-15，0）（1，0），所以当X=-15，或X=1时，y=0。T：我们来探索二次函数与一元二次方程的关系4.探索二次函数与一元二次方程的关系： w 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?(3)验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?T：请同学们思考，从图象中观察到，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 我们发现：当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,此时交点的纵坐标为0，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.T:下面通过练习检验同学们的学习效果巩固练习：1、二次函数 y=x2 - x+3 的对称轴是直线X=2T:请一位学生口答。S:直线X=22、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个T:请同学分析S:b2-4ac0，与X轴有两个交点，与Y轴有一个交点，所以选择D。T：同学们注意，与坐标轴交点。同学们掌握的很好，下面我们来解决我们一开始碰到的实际问题：P23实际问题：2.25米oxy篮球运动员投篮时，运动的路线是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为x=2.5。求：（1）球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；?（2）球在运动中离地面的最大高度。T:求函数解析式有三种方法，对于这个问题哪种方法更简便，因为告诉我们对称轴，选择用顶点式更方便。板书第二种方法过程。2.25米3.05米解: 设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05则：a=0.2,k=3.5解析式为: y=-0.2(x2.5)2+3.5y=0.2x2+x+2.25,自变量x的取值范围为：0x4.球在运动中离地面的最大高度为3.5米。T:同学们还有其他方法吗 ？S:设为一般式y=ax2 +bx+c，由题意得到b=-5a.y=ax2 -5ax+2.25，得到a=-0.2T：顶点式可直接求得第二小题的答案，但一般式在计算时更简便，各有千秋。通过本节课的学习你有那些收获？1、 你能正确地说出二次