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函数 导数及其应用 第二章 第8讲指数与指数函数 栏目导航 1 根式 1 根式的概念 xn a 正数 负数 两个 相反数 a a a a 无意义 0 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 3 指数函数的图象与性质 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 a 3 已知函数f x 4 ax 1的图象恒过定点p 则点p的坐标是 a 1 5 b 1 4 c 0 4 d 4 0 解析 当x 1时 f x 5 a a 5 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 指数幂运算的一般原则 1 有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 2 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 一指数幂的化简与求值 二指数函数的图象及应用 d 2 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 1 1 三指数函数的性质及应用 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 1 比较指数幂大小问题 常利用指数函数的单调性及中间值 0或1 2 简单的指数不等式的求解问题 解决此类问题应利用指数函数的单调性 要特别注意底数a的取值范围 并在必要时进行分类讨论 3 求解与指数函数有关的复合函数问题 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等相关性质 其次要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 例3 已知函数f x ex e x x r 且e为自然对数的底数 1 判断函数f x 的单调性与奇偶性 2 是否存在实数t 使不等式f x t f x2 t2 0对一切x r都成立 若存在 求出t 若不存在 请说明理由 d 2 2017 北京模拟 已知函数f x ax 其中a 0 且a 1 如果以p x1 f x1 q x2 f x2 为端点的线段的中点在y轴上 那么f x1 f x2 a 1b ac 2d a2解析 以p x1 f x1 q x2 f x2 为端点的线段的中点在y轴上 x1 x2 0 又 f x ax f x1 f x2 ax1 ax2 ax1 x2 a0 1 故选a a 3 2017 吉林检测 函数y 4x 2x 1 1的值域为 a 0 b 1 c 1 d 解析 令2x t t 0 则函数y 4x 2x 1 1可化为y t2 2t 1 t 1 2 t 0 函数y t 1 2在 0 上递增 y 1 所求值域为 1 故
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