外系2011 《高数B》大纲莫庆美.doc

高等数学B课程教学大纲课程名称：高等数学英文名称：Higher Mathematics课程代码:课程类别:公共必修课学 分:8学分学 时:128学时开课单位:数学系适用专业:理工科类各专业制 订 人：制订日期:2011年11月20日审 核 人：（教研室主任签字）审核日期：审 定 人:（分管教学副主任签字）审定日期:一、课程性质与目的（一）课程的性质高等数学A是理工科(非数学)本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它不仅是学生为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础，而且通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还有建立模型的能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，特别是创新能力的培育有着重要的作用。它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 （二）课程的目的通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数与空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无穷级数(包括傅立叶级数)；6.微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，以满足学生所学专业的需要。二、与相关课程的联系与分工高等数学课程的先修课程是初等数学，它与线性代数、概率论与数理统计是工学、理学及经济类各专业大学生必修的重要基础课理论课，是培养学生综合数学素质的手段，为学生学习相关后继课程专业课提供分析和解决问题的工具，是学生可持续发展的基础。三、教学内容及要求第一章 函数与极限 【教学要求】理解函数的概念，掌握函数的表示方法。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形。理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。掌握极限的性质及四则运算法则。了解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。【教学重点】函数和复合函数的概念；基本初等函数的性质及其图形；极限的概念极限的性质及四则运算法则；两个重要极限；无穷小及无穷小的比较；函数连续性及初等函数的连续性；区间上连续函数的性质；【教学难点】复合函数和隐函数的概念；左极限与右极限概念及应用；第二个重要极限；等价无穷小求极限；函数连续的概念；闭区间上连续函数性质的应用；间断点及其分类；【教学内容】第一节 映射与函数一、集合二、函数第二节 数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质第三节 函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质第四节 无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大第五节 极限运算法则第六节 极限存在准则 两个重要极限第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值 二、零点定理与介值定理第二章 导数与微分【教学要求】理解导数概念及几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。能熟练计算初等函数的导数。掌握导数和微分的四则运算法则和复合函数的求导法及导数的基本公式。了解高阶导数的概念，能熟练计算初等函数的二阶导数，知道几个常用函数的n阶导数。会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。理解微分的概念，了解微分的四则运算。理解可导与连续，可导与可微的关系。【教学重点】导数和微分的概念； 导数的四则运算法则和复合函数的求导法；基本初等函数的导数公式；初等函数的一阶、二阶导数的求法； 隐函数和由参数方程确定的函数的导数；【教学难点】导数的概念；复合函数的求导法则；反函数的导数；隐函数和由参数方程确定的导数；微分的概念及运用；【教学内容】第一节 导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系第二节 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式第三节 高阶导数第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数第五节 函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则第三章 微分中值定理与导数的应用【教学要求】理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。【教学重点】罗尔定理；拉格朗日中值定理；函数的极值；判断函数的单调性和求函数极值的方法；洛必达法则； 【教学难点】罗尔定理；拉格朗日中值定理的应用；极值的判断方法；洛必达法则的灵活运用； 【教学内容】第一节 微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二节 洛必达法则第四节 函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法第四章 不定积分【教学要求】理解原函数概念、不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。【教学重点】不定积分的概念；不定积分的性质及基本公式；换元积分法与分部积分法；【教学难点】换元积分法；分部积分法；【教学内容】第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质第二节 换元积分法、一、第一类换元法二、第二类换元法第三节 分部积分法第五章 定积分【教学要求】理解定积分的概念。掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。【教学重点】定积分的性质及定积分中值定理；定积分的换元积分法与分部积分法；牛顿莱布尼茨公式；【教学难点】定积分的概念；积分中值定理；定积分的换元积分法分部积分法；变上限函数的导数； 【教学内容】第一节 定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质第二节 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限函数及其导数三、牛顿-莱布尼茨公式第三节 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第七章 微分方程【教学要求】了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。会解齐次微分方程；会用降阶法解下列微分方程：， 和；理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。【教学重点】可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；可降阶的高阶微分方程， 和；二阶常系数齐次线性微分方程；【教学难点】齐次微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；【教学内容】第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程一、齐次方程第四节 一阶线性微分方程一、 线性方程第五节 可降阶的高阶微分方程一、y(n)=f (x)型的微分方程二、y= f(x, y)型的微分方程三、y=f(y, y)型的微分方程第六节 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程的解的结构第七节 常系数齐次线性微分方程第八章 空间解析几何与向量代数 【教学要求】 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直和平行的条件。理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面方程和直线方程及其求法。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。【教学重点】向量的线性运算；数量积；向量积的概念；向量运算及坐标运算；两个向量垂直和平行的条件；平面方程和直线方程；常用二次曲面的方程及其图形；旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程； 【教学难点】向量积的向量运算及坐标运算；平面方程和直线方程及其求法；二次曲面图形；旋转曲面的方程； 【教学内容】第一节 向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影第二节 数量积 向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面第四节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第五节 平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程第六节 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程第九章 多元函数微分法及其应用 【教学要求】理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。掌握多元复合函数偏导数的求法。会求隐函数的偏导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。理解多元函数极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】二元函数的极限与连续性；函数的偏导数和全微分；方向导数与梯度的概念及其计算；多元复合函数偏导数；隐函数的偏导数；曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；多元函数极值的求法；【教学难点】二元函数的极限与连续性的概念；全微分形式的不变性；复合函数偏导数的求法；隐函数的偏导数；多元函数的最大值和最小值； 【教学内容】第一节 多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第二节 偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数第三节 全微分一、全微分的定义第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形第六节 多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线第七节 方向导数与梯度一、方向导数二. 梯度第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值第十章 重积分【教学要求】理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。【教学重点】二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算；【教学难点】利用极坐标计算二重积分；利用球坐标计算三重积分；第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、 二重积分的性质第二节 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、 利用极坐标计算二重积分第三节 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算第十一章 曲线积分与曲面积分【教学要求】理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握计算两类曲线积分的方法。熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。【教学重点】两类曲线积分的计算方法；格林公式及其应用；两类曲面积分的计算方法； 【教学难点】两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；应用格林公式计算对坐标的曲线积分；【教学内容】第一节 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法第二节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系第三节 格林公式及其应用一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积第四节 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法第五节 对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系 第十二章 无穷级数【教学要求】理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。掌握交错级数的莱布尼茨判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。掌握，的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会写出傅里叶级数的和的表达式。【教学重点】级数的基本性质及收敛的必要条件；正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法；交错级数的莱布尼茨判别法；幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；，的麦克劳林展开式；傅里叶级数；【教学难点】正项级数的比较；比值判别法；交错级数的莱布尼兹判别法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛半径；收敛区间及收敛域的求法；泰勒级数与麦克劳林展开式；函数展开为傅里叶级数；【教学内容】第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第三节 幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用一、近似计算二、欧拉公式第七节 傅里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数四、教学学时分配（教学内容以章为单位填写）序号教学内容学时讲授学时实验学时1第一章 函数与极限141402第二章 导数与微分101003第三章 微分中值定理与导数的应用7704第四章 不定积分8805第五章 定积分7706第七章 微分方程121207开学军训、运动会及元旦放假4008第一学期总复习220第一学期合计646009第八章 空间解析几何与向量代数88010第九章 多元函数微分法及其应用1616011第十章 重积分1010012第十一章 曲线积分与曲面积分1010013第十二章 无穷级数1414014清明和五一放假40015第二学期总复习220第二学期合计64600五、各教学环节的基本要求（一）教学方法与手段1本课程以理论讲授为主，同时兼顾多媒体课件可演示动画效果和信息含量大的优点，在函数、极限、连续、导数和定积分等基本概念和微分中值定理的教学时可采用多媒体辅助教学。2注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高教学效果。3教学中注意加强与专业课程的联系。4教学中注重联系重要概念产