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三角函数 解三角形 第三章 第20讲三角函数的图象与性质 栏目导航 1 五点法 作图的原理在确定正弦函数y sinx在 0 2 上的图象形状时 起关键作用的五个点是 0 0 0 2 0 2 三角函数的图象和性质 1 1 1 1 r k 0 k z x k k z 2 2 2k 2k k z 2k 2k k z 奇函数 偶函数 奇函数 3 用五点画y asin x 一个周期内的简图用五点画y asin x 一个周期内的简图时 要找五个关键点 如下表所示 0 2 4 函数y sinx的图象经变换得到y asin x 的图象的步骤 5 函数y asin x 的有关概念及物理量 a x 3 利用图象变换作图时 先平移 后伸缩 与 先伸缩 后平移 中平移的长度一致 4 由图象求解析式时 振幅a的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的 a a b 5 已知函数f x sin x 0 的图象如图所示 则 三角函数图象的几种变换 1 平移变换 沿x轴平移 由y f x 变为y f x 时 左加右减 即 0 左移 0 上移 k 0 下移 一三角函数图象的变换 d 二由图象确定y asin x 的解析式 a c 三三角函数的单调性 三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 1 已知三角函数的解析式求单调区间 求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式先化简 并注意复合函数单调性 同增异减 的规律 求形如y asin x 或y acos x 其中 0 的单调区间时 要视 x 为一个整体 通过解不等式求解 但如果 0 那么一定先借助诱导公式将 化为正数 防止把单调性弄错 2 已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间 然后利用集合间的关系求解 a 四三角函数的值域及最值 1 形如y asinx bcosx c的三角函数 可先化为y asin x k的形式 再求最值 值域 2 形如y asin2x bsinx c的三角函数 可先设sinx t 化为关于t的二次函数求值域 最值 3 形如y asinxcosx b sinx cosx c的三角函数 可先设t sinx cosx 化为关于t的二次函数求值域 最值 注意 2 3 中换元后t的取值范围要标出 五三角函数的奇偶性 周期性 对称性 3 对于函数y asin x 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点 对称中心的横坐标一定是函数的零点 因此在判断直线x x0或点 x0 0 是否是函数的对称轴或对称中心时 可通过检验f x0 的值进行判断 b c c c 2 3 错因分析 求值域时要注意sinx cosx的有界性以及角的范围 通常结合图象解答 易错点1三角函数的值域 或最值 错因分析 正弦型 余弦型函数求单调区间时 要看清a 的正负 易错点2单调性判断出错 错因分析 y asin x y acos x 在对称轴处取得最值 在对称中心
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