高考数学大一轮复习 第五章 数列 第29讲 等比数列及其前n项和优选课件.ppt

数列 第五章 第29讲等比数列及其前n项和 栏目导航 1 等比数列的有关概念 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从 起 每一项与它的前一项的比等于 常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母 表示 2 等比中项如果三个数a g b成等比数列 则g叫做a和b的等比中项 那么 即 第2项 同一 公比 q g2 ab 2 等比数列的有关公式 1 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q q 0 则它的通项公式an 2 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn 当q 1时 sn a1 qn 1 na1 1 思维辨析 在括号内打 或 1 常数列一定是等比数列 2 等比数列中不存在数值为0的项 3 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 4 g为a b的等比中项 g2 ab 5 若等比数列 an 的首项为a1 公比是q 则其通项公式为an a1qn 7 q 1时 等比数列 an 是递增数列 8 在等比数列 an 中 若am an ap aq 则m n p q 解析 1 错误 常数列0 0 0 不是等比数列 2 正确 由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项 3 错误 当q 0时 an 不是等比数列 4 错误 当g2 ab 0时 g不是a b的等比中项 5 错误 等比数列的通项公式为an a1qn 1 6 错误 当a 1时 sn n 7 错误 当q 1 a1 0时 等比数列递减 8 错误 若an 1 a1 a3 a4 a5 1 但1 3 4 5 2 已知数列a a 1 a a 1 a 2 是等比数列 则实数a满足的条件是 a a a 1 b a a 0或a 1 c a a 0 d a a 0且a 1 解析由等比数列定义可知 a 0且1 a 0 即a 0且a 1 d 3 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3 a 1 2b 2 3c 3 4d 1 3 c 4 在等比数列 an 中 若a7a12 5 则a8a9a10a11 解析由等比数列的性质知a8 a11 a9 a10 a7 a12 5 a8 a9 a10 a11 25 5 在等比数列 an 中 已知a1 1 a4 64 则q s4 25 4 51 解决等比数列有关问题的常用思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求出关键量a1和q 问题便可迎刃而解 2 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 将q分为q 1和q 1两种情况进行讨论 一等比数列基本量的求解 例1 2017 全国卷 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解析设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2 得d q 3 二等比数列的性质及应用 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 2 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提条件 有时需要进行适当变形 此外 解题时注意设而不求思想的运用 c a 3 已知等比数列 an 中 a4 a8 2 则a6 a2 2a6 a10 的值为 a 4b 6c 8d 9 a 三等比数列的判定与证明 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于选择题 填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 d 2 设数列 an n 1 2 3 的前n项和sn满足sn a1 2an 且a1 a2 1 a3成等差数列 则a1 a5 解析由sn a1 2an 得an sn sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 从而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因为a1 a2 1 a3成等差数列 所以a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 故an 2n 所以a1 a5 2 25 34 34 错因分析 等比数列中所有奇数项的符号都相同 所有偶数项的符号也都相同 只有同号两数才有等比中项 且有两个 它们互为相反数 例