高考数学 321精品系列专题10 排列、组合、二项式定理（教师版）.doc

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 1010 排列 组合 二项式定理排列 组合 二项式定理 教师版 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 理解分类加法计数原理和分 步乘法计数原理 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实 际问题 2 排列与组合 理解排列 组合的概念 能利用计数原理推导排列数公式 组合数 公式 能解决简单的实际问题 3 二项式定理 能用计数原理证明二项式定理 会用二项式定理解决与二项展开式有 关的简单问题 考纲解读 1 标准中只是对理科有要求 对文科不做要求 但大纲版对文理科均作要 求 2 已删除 组合数的性质 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 考点一 计数原理计数原理 例例 1 电视台在 欢乐在今宵 节目中拿出两个信箱 其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信 甲箱中有30封 乙箱中有20封 现有主持人抽奖确定幸运观众 若先确定一名幸运之星 再从两箱中各确定一名幸运观众 有多少种不同结果 解 分两类 1 幸运之星在甲箱中抽 选定幸运之星 再在两箱内各抽一名幸运观众有 30 29 2017400 种 2 幸运之星在乙箱中抽取 有20 19 3011400 种 共有 不同结果17400 1140028800 种 名师点睛名师点睛 运用分步乘法计数原理时 也要确定分步的标准 分布必须满足 完成 一件事情必须且只需完成这几步 即各个步骤是相互依存的 注意 步 与 步 的连续 性 例例 2 某单位职工义务献血 在体检合格的人中 o型血的共有28人 a型血的共有7人 b型血的共有9人 ab型血的共有3人 1 从中任选1人去献血 有多少种不同的选 法 2 从四种血型的人中各选1人去献血 有多少种不同的选法 解 从o型血的人中选1人有28种不同的选法 从a型血的人中选1人共有7种不同的选 用心 爱心 专心2 法 从b型血的人中选1人共有9种不同的选法 从ab型血的人中选1人共有3种不同的 选法 1 任选1人去献血 即不论选哪种血型的哪一个人 这件 任选1人去献血 的事 情已完成 所以用分类计数原理 有2879347 种不同选法 2 要从四种血型的人中各选1人 即要在每种血型的人中依次选出1人后 这件 各选 1人去献血 的事情才完成 所以用分步计数原理 有28 7 9 35292 种不同的选法 名师点睛名师点睛 运用分类加法计数原理 首先要根据问题的特点 确定分类标准 分类应满足 完成一件事情的任何一种方法 必须属 于某一类且仅属于某一类 即类与类的确定性与并列性 例例 3 某城市在市中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分如图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同 样颜色的花 不同的栽种方法有 种 用数字作答 解法一 先排1区 有4种方法 把其余五个分区视为一个圆环 如图 沿着圆环的一个 边界剪开并把圆环拉直 得到如下图的五个空格 在五个空格中放三种不同的元素 且 相同元素不相邻 两端元素不能相同 共有15种不同方法 然后再把下图粘成圆形即 可 下面解决两端元素相同的情况 在这种情况下我们在下图六个空格中 要求 相同 元素不能相邻 两端元素必须相同 共有15种不同方法 然后再把最下图粘成圆环形 把两端的两格粘在一起看成一个格即可 综上 共有4 15 15 120 种方法 解法二 先分类 五大类 第一类 3区和6区 2区和4区 1区 5区各栽一色花 第二类 3区和6区 2区和5区 1区 4区各栽一色花 第三类 3区和5区 2区和4区 1区 6区各栽一色花 第四类 4区和6区 3区和5区 1区 2区各栽一色花 第五类 4区和6区 2区和5区 1区 3区各栽一色花 每一类中其栽法为 4 3 2 1 分步进行 答案共有4 3 2 1 5120 种 名师点睛名师点睛 如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理 在处理具体的应用问题时 必须先分清是 分类 还是 分步 分类 表现为其中任何一类均可独立完成所给事件 而 分步 必须把各步骤均完成才能完成所给事情 考点二 考点二 排排列列组组合合 例例 4 7 名学生站成一排 下列情况各有多少种不同的排法 1 甲乙必须排在一起 2 甲 乙 丙互不相邻 3 甲乙相邻 但不和丙相邻 1 解 捆绑法 26 26 a a 1440 点评 捆绑法应用于相邻问题 2 解 插空法 43 45 a a 1440 点评 插空法应用于不相邻问题 3 解 捆绑插空相结合 242 245 960a a a 点评 两种方法相结合的问题 综合考察知识 方法的应用能力 用心 爱心 专心3 名师点睛名师点睛 1 解排列组合题的基本思路 将具体问题抽象为排列组合问题 是解 排列组合应用题的关键一步 对 组合数 恰当的分类计算是解组合题的常用方法 是用 直接法 还是用 间接法 解组合题 其前提是 正难则反 例例 5 5 个人排成一排 1 甲不站在左端 乙不站在右端 有多少种不同的排法 2 若甲 乙两人不站在两端 有多少种不同的排法 3 若甲乙两人之间有且只有 1 人 有多少种不同的排法 本题为特殊元素 也用到了分类 一类是甲站结尾 此时是 16 16 c aa 另一类是甲不站结尾 此时是 115 555 c c aaa 两类相加 结果为 3720 基础知识聚焦 特殊位置或元素优先安排 2 提示或答案 甲乙先站 其他人再站 25 55 caa 1200 基础知识聚焦 特殊位置或元 素优先安排 3 提示或答案 从其他 5 人中选 1 人站在甲乙中间 然后把甲乙排列 然后把此三个人 看作一个元素 和其他 4 人全排列 125 525 c aaaa 1200 名师点睛名师点睛 解排列组合题的基本方法 1 优限法 元素分析法 先考虑有限制条件的元素的要求 再考虑其他元素 位置优先 法 先考虑有限制条件的位置的要求 再考虑其他位置 2 排异法 对有限制条件的问题 先从总体考虑 再把不符合条件的所有情况去掉 3 分类处理 某些问题总体不好解决时 常常分成若干类 再由分类计数原理得出结论 注意 分类不重复不遗漏 4 分步处理 对某些问题总体不好解决时 常常分成若干步 再由分步计数原理解决 在解题过程中 常常要既要分类 以要分步 其原则是先分类 再分步 5 插空法 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法 即先安排好 没有限制元条件的元素 然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间 6 捆绑法 把相邻的若干个特殊元素 捆绑 为一个大元素 然后再与其余 普通元素 全排列 最后再 松绑 将特殊元素在这些位置上全排列 7 穷举法 将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来 这种方法常用于方法数比 较少的问题 考点考点三 二项式定理二项式定理 例例 6 在 5 4 3 2 1 xxxxx的展开式中 含 4 x的项的系数是 a 15 b 85 c 120 d 274 解解 本题可通过选括号 即 5 个括号中 4 个提供x 其余 1 个提供常数 的思路来完成 故含 4 x的项的系数为 1 2 3 4 5 15 名师点睛名师点睛 求二项展开式中的指定项问题 方法主要是运用二项式展开的通项公式 例例 7 已知在 n xx 3 2 1 的展开式中 只有第 6 项的二项式系数最大 求 n 求展开式 中系数绝对值最大的项和系数最大的项 解解 1 因为展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 所以 n 为偶数 第 6 项即为中间项 用心 爱心 专心4 61 2 n 得 n 10 名师点睛名师点睛 求展开式中系数最大项的步骤是 先假设第 r 1 项系数最大 则它比相邻两 项的系数都不小 列出不等式并求解此不等式组求得 三年高考三年高考 10 10 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1 2012 年安徽理 7 25 2 1 2 1 x x 的展开式的常数项是 a3 b2 c d 解析 因为 555 22 222 111 21 1 21xx xxx 所以要找原二项式展开式中 的常数项 只要找 5 2 1 1 x 展开式中的常数项和含 2 x 项即可 通项公式 10 45 2245 5655 22 11 2c12c1523 tx ttx xx 规律总结 二项式问题求解通法是利用通项整理出方程 组 或不等式 组 再求解 除此之外就是等价变形之后再利用 通项公式求解或直接运用二项式定理 可以更快更准 确求解 2 2012 年安徽理 10 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间 最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知 6 位同学之间共进行了 13 次交 换 则收到4份纪念品的同学人数为 用心 爱心 专心5 a1或3 b1或4 c 2或3 d2或4 技巧点拨 本题其实是一个 陈题 也就是我们在很多教辅上常见的 握手问题 解 题的关键是分析出少交换的 2 次 涉及几个人 恰当分类 再求解 3 2012 年北京理 6 从 0 2 中选一个数字 从 1 3 5 中选两个数字 组成无重复数字的三位 数 其中奇数的个数为 a 24 b 18 c 12 d 6 解析 由于题目要求的是奇数 那么对于此三位数可以分成两种情况 奇偶奇 偶奇奇 如果是第一种奇偶奇的情况 可以从个位开始分析 3 种选择 之后十位 2 种选择 最后 百位 2 种选择 共 12 种 如果是第二种情况偶奇奇 分析同理 个位 3 种情况 十位 2 种情况 百位 不能是 0 一种情况 共 6 种 因此总共 12 6 18 种情况 4 2012 年福建理 4 xa 的展开式中 3 x的系数等于 8 则实数 a 解析解析 4 ax 的展开项为 4 4rrr r tc ax 由题 当3r 时 4 34 3 48c aa 点评点评 本题考查二项式定理的基本内容 主要考察学生运用通项公式求解问题的能力 正确定 r 是解决本题的前提 5 2012 年广东理 10 26 1 x x 的展开式中 3 x的系数为 用数字作答 解析解析 6 2 1 x x 的展开式第1r 项为 2612 3 166 1 rrrrr r tcxc x x 令1233r 得 3r 所以 3 x的系数为 3 6 20c 点评点评 本题主要考查二项展开式定理及通项公式 易出错的地方是运算不准确 6 2012 年湖南理 13 2 x 1 x 6的二项展开式中的常数项为 用数字作答 解析 2 x 1 x 6的展开式项公式是 663 166 1 c 2 c 2 1 rrrrrrr r txx x 由 题意知30 3rr 所以二项展开式中的常数项为 333 46 c 2 1 160t 点评 本题主要考察二项式定理 写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办 法 7 2012 年辽宁理 5 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家 若每家人坐在一起 则不同的坐法 种数为 用心 爱心 专心6 a 3 3 b 3 3 3 c 3 4 d 9 解析 此排列可分两步进行 先把三个家庭分别排列 每个家庭有3 种排法 三个家庭 共有 3 3 3 3 3 种排法 再把三个家庭进行全排列有3 种排法 因此不同的坐法种数为 4 3 答案为 c 点评 本题主要考查分步计数原理 以及分析问题 解决问题的能力 属于中档题 8 2012 年全国卷 冀 桂 云 贵 甘 青 藏 内蒙古 理 11 将字母 a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同 的排列方法共有 a 12种 b 18种 c 24种 d 36种 9 2012 年全国卷 冀 桂 云 贵 甘 青 藏 内蒙古 文 7 6 位选手依次演讲 其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲 则不同的演讲次序共有 a 240 种 b 360 种 c 480 种 d 720 种 解析 由题意得 先把甲安排在其余的 4 个位置上 有 1 4 4c 种方法 剩余的元素则 进行全排列 有 5 5 120a 种方法 共计 15 45 480c a 种不同的方法 故选 c 点评 本题主要考查了排列组合的问题的计算 利用特殊元素优先安排的原则 利用 分步计数原理 得到结论 10 2012 年全国卷 冀 桂 云 贵 甘 青 藏 内蒙古 文 13 8 1 2 x x 的展开式 中 2 x的系数为 解析 由题意得 二项式 8 1 2 x x 展开式的通项为 88 2 188 11 22 rrrrrr r tc xc x x 令8223rr 时 所以 432 48 1 7 2 tc xx 所以 2 x的系数为 7 点评 本题主要考查了二项式定理中通项公式的运用 借助二项式的通项求解 2 x的系 数问题 11 2012 年全国卷 冀 桂 云 贵 甘 青 藏 内蒙古 理 15 若 1 nx x 的展开 用心 爱心 专心7 式中第3项与第7项的二项式系数相等 则该展开式中 2 1 x 的系数为 解析 由题意得 26 8 nn ccn 则二项式 8 1 x x 展开式的通项公式为 12 2012 年山东理 11 现有 16 张不同的卡片 其中红色 黄色 蓝色 绿色卡片各 4 张 从中任取 3 张 要求这些卡片不能是同一种颜色 且红色卡片至多 1 张 不同取法的 种数为 a 232 b 252 c 472 d 484 解析 472885607216 6 141516 4 1 12 2 4 3 4 3 16 cccc 答案应选 c 另解 47212264220 2 1112 412 6 101112 3 2 12 1 4 3 4 3 12 0 4 ccccc 13 2012 年陕西理 8 两人进行乒乓球比赛 先赢 3 局者获胜 决出胜负为止 则所有可 能出现的情形 各人输赢局次的不同视为不同情形 共有 a 10 种 b 15 种 c 20 种 d 30 种 解析 某一个队获胜可以分成 3 中情况 得分 3 0 4 1 5 2 方法数为 221 342 1 20 ccc 答案 c 点评 该题主要考察分类组合的实际应用 把握分类 正确运用组合是关键 14 2012 年陕西理 12 5 ax 展开式中 2 x的系数为 10 则实数a的值为 解析 525 2 155 2 10 1 rrr r tc axrc aa 答案 1 点评 该题主要考查二项式定理及其性质 15 2012 年上海理 5 在 6 2 x x 的二项展开式中 常数项等于 解析解析 根据所给二项式的构成 构成的常数项只有一项 就是 333 46 2 c 160tx x 点评点评 本题主要考查二项式定理 对于二项式的展开式要清楚 特别注意常数项的构成 属于中档题 16 2012 年四川 1 7 1 x 的展开式中 2 x的系数是 a 42 b 35 c 28 d 21 用心 爱心 专心8 解析解析 二项式 7 1 x 展开式的通项公式为 1 k t kkx c7 令 k 2 则 22 73 xct 22 7 xc21 的系数为 点评 高考二项展开式问题题型难度不大 要得到这部分分值 首先需要熟练掌握二项 展开式的通项公式 其次需要强化考生的计算能力 17 2012 年四川文 3 交通管理部门为了解机动车驾驶员 简称驾驶员 对某新法规的知 晓情况 对甲 乙 丙 丁四个社区做分层抽样调查 假设四个社区驾驶员的总人数为n 其中甲社区有驾驶员 96 人 若在甲 乙 丙 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12 21 25 43 则这四个社区驾驶员的总人数n为 a 101 b 808 c 1212 d 2012 解析解析 n 808 12 96 43 12 96 25 12 96 2196 点评 解决分层抽样问题 关键是求出抽样比 此类问题难点要注意是否需要剔除个体 18 2012 年四川文 11 方程 22 ayb xc 中的 2 0 1 2 3 a b c 且 a b c互不相同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 a 28 条 b 32 条 c 36 条 d 48 条 以上两种情况下有 4 条重复 故共有 9 5 14 条 同理 若 b 1 共有 9 条 若 b 3 时 共有 9 条 综上 共有 14 9 9 32 种 点评 此题难度很大 若采用排列组合公式计算 很容易忽视重复的 4 条抛物线 列举法 是解决排列 组合 概率等非常有效的办法 要能熟练运用 19 2012 年四川理 11 方程 22 ayb xc 中的 3 2 0 1 2 3 a b c 且 a b c互不 相同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 a 60 条 b 62 条 c 71 条 d 80 条 解析解析 方程 22 ayb xc 变形得 22 2 b c y b a x 若表示抛物线 则0 0 ba所以 分 b 3 2 1 2 3 五种情况 1 若 b 3 2 1 0 23 3 1 0 2 2 3 2 0 2c 1 3 2 1 0 2 或或或 或或或 或或或 或或或 ca ca a ca 2 若 用心 爱心 专心9 b 3 2 1 0 23 3 1 0 2 2 3 2 0 2c 1 3 2 1 0 2 或或或 或或或 或或或 或或或 ca ca a ca 以上两种情况下有 9 条重复 故共有 16 7 23 条 同理当 b 2 或 2 时 共有 23 条 当 b 1 时 共有 16 条 综上 共有 23 23 16 62 种 点评 此题难度很大 若采用排列组合公式计算 很容易忽视重复的 18 条抛物线 列举法 是解决排列 组合 概率等非常有效的办法 要能熟练运用 20 2012 年天津理 5 在 25 1 2 x x 的二项展开式中 x的系数为 a 10 10 40 40 21 2012 年新课标 宁 吉 黑 晋 豫 新 海南 理 2 将2名教师 4名学生分成 2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 a12种 b10种 c 种 d 种 解析 甲地由1名教师和2名学生 12 24 12c c 种选a 22 2012 年浙江理 6 若从 1 2 2 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其和为偶 数 则不同的取法共有 a 60 种 b 63 种 c 65 种 d 66 种 解析 1 2 2 9 这 9 个整数中有 5 个奇数 4 个偶数 要想同时取 4 个不同的数 其和为偶数 则取法有 4 个都是偶数 1 种 2 个偶数 2 个奇数 22 54 60c c 种 4 个都 是奇数 4 5 5c 种 不同的取法共有 66 种 答案 d 23 2012 年重庆理 3 2 1 x x的展开式中常数项为 a 16 35 b 8 35 c 4 35 d 105 解析 求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决 因为 8 2 1 x x 的展开式的通 用心 爱心 专心10 项为 2 1 2 1 4 881 rrrrr r xc x xct 令 4 r 0 得 r 4 故常数项为 8 35 2 1 34 8 c 点评 考查二项展开式的应用 属容易题 所以复习中不宜进行过多 过深的延伸 24 2012 年重庆文 4 5 1 3 x 的展开式中 3 x的系数为 a 270 b 90 c 90 d 270 解析 求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决 因为 5 31 x 的展开式的通项为 3 3 551 rrrrr r xcxct 令 r 3 得 3 x的系数为 270 3 33 5 c 点评 考查二项展开式的应用 属容易题 复习中不宜进行过多 过深的延伸 1111年高考试题及解析年高考试题及解析 1 全国文 9 理 7 4 位同学每人从甲 乙 丙 3 门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课 程甲的不同选法共有 a 12 种 b 24 种 c 30 种 d 36 种 2 广东理理7 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它 的对角线 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 的对角线 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 a 20b 15c 12d 10 解析解析 先从先从 5 个侧面中任意选一个侧面有个侧面中任意选一个侧面有 1 5 c 种选法 再从这个侧面的种选法 再从这个侧面的 4 个顶点中任意选个顶点中任意选 一个顶点有一个顶点有 1 4 c 种选法 由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对种选法 由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对 角线 所以除去这个侧面上 相邻侧面和同一底面上的共角线 所以除去这个侧面上 相邻侧面和同一底面上的共 8 个点 还剩下个点 还剩下 2 个点 把这个个点 把这个 点和剩下的两个点连线有点和剩下的两个点连线有 1 2 c 种方法 但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一种方法 但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一 次 所以最后还要乘以次 所以最后还要乘以 2 1 所以这个正五棱柱对角线的条数共有所以这个正五棱柱对角线的条数共有 20 2 1 1 2 1 4 1 5 ccc 所所 以选择以选择 a 3 北京理 12 用数字 2 3 组成四位数 且数字 2 3 至少都出现一次 这样的四位数 共有 个 用数字作答 解析 个数为 4 2214 4 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当 n 4 时 在所有不同的着色方案中 黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示 用心 爱心 专心11 n 1 n 2 n 3 n 4 由此推断 当 n 6 时 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种 至少有两个 黑色正方形相邻的着色方案共有 种 结果用数值表示 5 5 陕西理 陕西理 4 6 42 xx xr 的展开式中的常数项是 a 20 b 15 c 15 d 20 答案 c 解析 6 12 3 166 1 4 2 1 2 rrxrxrrrxr r tcc 令 123 0 xr 4r 于 是展开式中的常数项是 44 6 1 15c 故选 c 6 四川文 13 8 1x 的展开式中 3 x的系数是 用数字作答 解析 8 1x 的展开式中 3 x的系数是 53 88 84cc 7 广东文 1 10 0 7 2 x x x 的展开式中 的展开式中 4 x 的系数是的系数是 用数用数 字作答字作答 解析解析 777 2 177 22 2 723 rrrrrr r xtc xcxr xx 的通项令 3334 7 2 2 280 x280 rxc 的系数为所以的系数为 用心 爱心 专心12 8 8 山东理 14 若展 6 2 a x x 开式的常数项为 60 则常数a的值为 答案 4 解析 因为 6 16 2 rrr r a tcx x 所以 r 2 常数项为 2 6 a c 60 解得4a 9 全国文 理 13 1 x 20的二项展开式中 x 的系数与 x9的系数之差为 1 0 浙江理 13 若二项式 0 6 a x a x的展开式中x 3的系数为a 常数项为b 若4ba 则a的值是 解析 3 6 2 166 1 1 r rrn rrrrr r a tc xa c x x 令 3 63 2 r 得2r 则 a 222 6 15a ca 令 3 60 2 r 得4r 则 b 4444 6 1 15a ca 由又 b 4a 得 42 154 15aa 则2a 11 课标卷理 8 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数 项为 a 40 b 20 c 20 d 40 解析 因为展开式各项系数和为 2 所以取1 x得 2 12 1 5 a1 a 二项式即 为 5 1 2 1 x x x x 它的展开式的常数项为 323232 55 111 2 2 xcxcx xxx 2 5 440c 点评 此题考查二项式定理 展开式的系数 系数和以及运算能力 正确的把 握常数项的涞源和构成是解决问题的关键 用心 爱心 专心13 12 湖北文 12 理 11 18 1 3 x x 的展开式中含 15 x的项的系数为 结果用 数值表示 解析 由 3 18 18 2 11818 11 33 r rrrrr r tcxcx x 令 3 1815 2 r 解得 r 2 故其系数 为 22 18 1 17 3 c 13 福建理 6 1 2x 3的展开式中 x2的系数等于 a 80 b 40 c 20 d 10 解析 155 2 2 rrrrr r tcxc x x2的系数等于 22 5 240c 故选 b 14 天津理 5 6 2 2 x x 的二项展开式中 的二项展开式中 2 x的系数为 的系数为 a 15 4 b 15 4 c 3 8 d 3 8 解析 因为 1r t 66 6 2 2 rr x c x 所以容易得 c 正确 15 安徽理 12 设 xaa xa xa x l 则aa 16 重庆文 11 6 12 x 的展开式中 4 x的系数是 17 重庆理 4 1 3 n x 其中nn 且6a 的展开式中 5 x与 6 x的系数相等 则 n a 6 b 7 c 8 d 9 解析 1 3 n x 的通项为 1 3 r r rn tcx 故 5 x与 6 x的系数分别为 55 3 n c和 66 3 n c 令他 们相等 得 56 33 5 5 6 6 nn nn 解得n 7 选 b 20102010 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 6 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信 用心 爱心 专心14 封中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 a 12 种 b 18 种 c 36 种 d 54 种 解析 标号 1 2 的卡片放入同一封信有 1 3 c种方法 其他四封信放入两个信封 每个信封 两个有 2 2 4 2 2 2 c a a 种方法 共有 2 12 4 32 2 2 18 c ca a 种 故选 b 2 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信 封中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 a 12 种 b 18 种 c 36 种 d 54 种 解析解析 先从先从 3 3 个信封中选一个放个信封中选一个放 1 1 2 2 有有 3 3 种不同的选法 再从剩下的种不同的选法 再从剩下的 4 4 个数中选两个个数中选两个 放一个信封有放一个信封有 2 4 6c 余下放入最后一个信封 余下放入最后一个信封 共共 有有 2 4 318c 3 3 20102010 江西理数 江西理数 6 8 2x 展开式中不含 4 x项的系数的和为 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 考查对二项式定理和二项展开式的性质 重点考查实践意识和创新能力 体现正 难则反 采用赋值法 令 x 1 得 系数和为 1 减去 4 x项系数 808 82 1 1c 即为所求 答案为 0 2010 重庆文数 10 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 端午节假期 值班 每天安排 2 人 每人值班 1 天 若 6 位员工中的甲不值 14 日 乙不值 16 日 则不 同的安排方法共有 a 30 种 b 36 种 c 42 种 d 48 种 5 2010 重庆理数 重庆理数 9 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班 每天 1 人 每人值 班 1 天 若 7 位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在 10 月 1 日 丁不排在 10 月 7 日 则不同的安排方案共有 a 504 种 b 960 种 c 1008 种 d 1108 种 解析 分两类 甲乙排 1 2 号或 6 7 号 共有 4 4 1 4 2 2 2aaa 种方法 用心 爱心 专心15 甲乙排中间 丙排 7 号或不排 7 号 共有 4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 aaaaa 种方法故共有 1008 种不同的 排法 6 6 20102010 北京理数 北京理数 4 8 名学生和 2 位第师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数 为 a 82 89 a a b 82 89 a c c 82 87 a a d 82 87 a c 答案 a 7 2010 四川理数 四川理数 10 由 1 2 3 4 5 6 组成没有重复数字且 1 3 都不与 5 相邻 的六位偶数的个数是 a 72 b 96 c 108 d 144 解析 先选一个偶数字排个位 有 3 种选法 若 5 在十位或十万位 则 1 3 有三个位置可排 3 22 32 a a 24 个 若 5 排在百位 千位或万位 则 1 3 只有两个位置可排 共 3 22 22 a a 12 个算上个位偶数字的排法 共计 3 24 12 108 个 8 8 20102010 天津理数 天津理数 10 如图 用四种不同颜色给图中的 a b c d e f 六 个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点 涂不同颜色 则不同的涂色方法用 a 288 种 b 264 种 c 240 种 d 168 种 9 9 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 5 43 1 1 xx 的展开式 2 x的系数是 a 6 b 3 c 0 d 3 解析 13 43234 22 1 1 1 4641 33xxxxxxxxx 2 x的系数是 12 6 6 1010 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 6 某校开设a类选修课 3 门 b类选择课 4 门 一位同学从中 共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 a 30 种 b 35 种 c 42 种 d 48 种 用心 爱心 专心16 1111 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 5 353 12 1 xx 的展开式中x的系数是 a 4 b 2 c 2 d 4 12 2010 四川文数 四川文数 9 由 1 2 3 4 5 组成没有重复数字且 1 2 都不与 5 相邻的 五位数的个数是 a 36 b 32 c 28 d 24 13 2010 湖北文数 湖北文数 6 现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座 名每同学可自由选 择其中的一个讲座 不同选法的种数是 a 4 5b 5 6c 5 6 5 4 3 2 2 d 6 5 4 3 2 14 2010 湖南理数 湖南理数 7 在某种信息传输过程中 用 4 个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有 0 和 1 则与信息 0110 至多有两 个对应位置上的数字相同的信息个数为 a 10 b 11 c 12 d 15 用心 爱心 专心17 15 2010 湖北理数 8 现安排甲 乙 丙 丁 戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务 活动 每人从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作 之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙不会开车但能从事其他三项工作 丙丁戌都能胜任四项工作 则不同安排方案的种数是 a 152 b 126 c 90 d 54 解析 分类讨论 若有 2 人从事司机工作 则方案有 23 33 18ca 若有 1 人从事司机工 作 则方案有 123 343 108cca 种 所以共有 18 108 126 种 故 b 正确 16 2010 浙江理数 浙江理数 17 有 4 位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测试一人 则不同的 安排方式共有 种 用数字作答 1717 20102010 全国卷全国卷2 2 理数 理数 14 若 9 a x x 的展开式中 3 x的系数是84 则a 答案 1 命题意图 本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法 解析 展开式中 3 x的系数是 333 9 8484 1caaa 18 2010 辽宁理数 辽宁理数 13 26 1 1 xxx x 的展开式中的常数项为 答案 5 命题立意 本题考查了二项展开式的通项 考查了二项式常数项的求解方法 解析 2 1 x x 的展开式的通项为 6 2 16 1 rrr r tcx 当 r 3 时 3 46 20tc 当 r 4 时 4 56 15tc 因此常数项为 20 15 5 用心 爱心 专心18 19 2010 全国卷全国卷 2 文文 14 x 1 x 9的展开式中 x3的系数是 解析解析 84 84 本题考查了二项展开式定理的基础知识 本题考查了二项展开式定理的基础知识 9 19 1 rrr r tc x x 923 3rr 3 9 84c 2020 20102010 江西理数 江西理数 14 将 6 位志愿者分成 4 组 其中两个各 2 人 另两个组各 1 人 分 赴世博会的四个不同场馆服务 不同的分配方案有 种 用数字作答 答案 1080 解析 考查概率 平均分组分配问题等知识 重点考查化归转化和应用知识的意识 先 分组 考虑到有 2个是平均分组 得 2211 6421 22 22 c cc c aa 两个两人组两个一人组 再全排列得 2211 4 6421 4 22 22 1080 c cc c a aa 21 2010 四川理数 四川理数 13 6 3 1 2 x 的展开式中的第四项是 解析 t4 333 6 3 1160 2 c xx 答案 160 x 2222 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 15 某学校开设 a 类选修课 3 门 b 类选修课 4 门 一位同学从 中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 种 用 数字作答 命 题意图 本小题主要考查分类计数原理 组合知识 以及分类讨论的数 学思想 解析 1 可分以下 2 种情况 1 a 类选修课选 1 门 b 类选修课选 2 门 有 12 34 c c种不同的选法 2 a 类选修课选 2 门 b 类选修课选 1 门 有 21 34 c c种不 同的选法 所以不同的选法共有 12 34 c c 21 34 18 1230c c 种 解析 2 333 734 30ccc 23 2010 四川文四川文 13 x 2 x 4的展开式中的常数项为 用数字作答 解析 展开式的通项公式为 tr 1 4 4 2 rrr c x x 取 r 2 得常数项为 c42 2 2 24 24 2010 湖北文数 湖北文数 11 在 2 10 1 x 的展开中 4 x的系数为 用心 爱心 专心19 25 2010 湖北理数 11 在 x 4 3y 20 的展开式中 系数为有理数的项共有 项 解析 二项式展开式的通项公式为 202044 12020 3 3 020 rrrrrrr r tc xycxyr 要使 系数为有理数 则 r 必为 4 的倍数 所以 r 可为 0 4 8 12 16 20 共 6 种 故系数为 有理数的项共有 6 项 26 2010 安徽 卷理 6 xy yx 的展开式中 3 x的系数等于 解析 33 63 6 22 66 1 r r rrrrr xy cc xy yx 令 3 632 2 rr 3 x的系数 22 6 1 15c 5 两年模拟两年模拟 2012 年模拟试题及答案 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 若 5 x a x 的展开式中 3 x的系数为 10 则实数a的值为 a 1b 1c 2d 2 1 答案 c 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 用 1 2 3 4 5 6 组成一个无重 复数字的六位数 要求三个奇数 1 3 5 有且只有两个相邻 则不同的排法种数为 a 18b 108c 216d 432 答案 d 四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理 34 1 1 xx 展开式中x的系数是 a 9 b 3 c 6 d 9 答案 b 四川省宜宾市高中 2011 届高三调研 设 nknm 且2 nnknm 则下列 命题不成立的是 a mn n m n cc b 在 n x 1 的展开式中 若只有 4 x的系数最大 则 用心 爱心 专心20 n 7 c 1 1 k n k n nckc d 1321 232 nn nnnn nncccc 答案 b 湖北省武昌区湖北省武昌区 20122012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研 若 48212 01212 3 2 2 2 xxaa xaxax 则 21311 log aaa 等于 a 27 b 28c 7 d 8 答案 c 浙江省杭州第十四中学浙江省杭州第十四中学 20122012 届高三届高三 1212 月月考月月考 若 23 4 1 1 n xxxx x 的展开式 中没有常数项 则n的一个可能值为 a 11 b 12 c 13 d 14 答案 a 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 20122012 第一学期高三第四阶段考第一学期高三第四阶段考 现有 5 本不同的书 全部分给四个学 生 每个学生至少 1 本 不同分法的种数为 a 480 b 240 c 120 d 96 西安市第一中学西安市第一中学 20122012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 二项式 8 3 1 2 x x 的展开式中常数项是 a 28 b 7 c 7 d 28 答案 c 四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理 从甲 乙 丙 丁 戌 5 名同学任选 四名同 学 参加1004 接力赛 其中 甲不跑第一棒 乙 丙不跑相邻两棒 则不同的 选排种数为 a 48 b 56 c 60 d 68 答案 d 四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理 在 n x 21 的展开式中 各项系数的和是 答案 1或1 四川省南充高中 2012 届高三第一次月考理 有 5 名毕业生站成一排照相 若甲乙两人之 间恰有 1 人 则不同站法有 a 18 种 b 24 种 c 36 种 d 48 种 答案 c 用心 爱心 专心21 四川省南充高中 2012 届高三第一次月考理 已知二项式 3 1 nx x 的展开式中第 4 项 为常数项 则n 答案 5 四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考理 学校体育组新买2颗同样篮球 3颗同 样排球 从中取出 4 颗发放给高一 4 个班 每班1颗 则不同的发放方法共 a 4 种 b 20 种 c 18 种 d 10 种 答案 d 四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考理 若 12 n x 的展开式中 3 x的系数是 2 x的 6 倍 则n 答案 11 四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断理 六个人排成一排 甲乙两人中间至少有一个人 的排法种数有 a 480b 720c 240d 360 答案 a 四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断理 54 12 13 xx 的展开式中按 x 的升幂排列 的第 2 项等于 答案 x2 安徽省六校教育研究会 2012 届高三联考 在 3333 31 21 21 xxx 的展开 式中 x的系数为 用数字作答 答案 21 浙江省杭州第十四中学浙江省杭州第十四中学 20122012 届高三届高三 1212 月月考月月考 若将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡 片放入 3 个不同的信封中 如果每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信 封 则不同的方法共有 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 20122012 第一学期高三第四阶段考第一学期高三第四阶段考 在 10 ax 的展开式中 7 x的系数是 15 则实数a 答案 2 1 浙江省名校新高考研究联盟浙江省名校新高考研究联盟 20122012 届第一次联考届第一次联考 二项式 10 3 2 1 x x 的展开式中 常 数项的值为 答案 32 105 用心 爱心 专心22 陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 输出的结果为 陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理 已知 0 sincos att dt 则 6 1 ax x 的展开式中的常数项为 答案 2 5 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理 25 2 1 xx 中 7 x的系数与常数项之差的 绝对值为 a 5 b 3 c 2 d 0 答案 a 解析 常数项为42 0 5 22 2 cc 7 x系数为1 1 50 5 0 2 cc 常数项与 7 x系数 的差为 5 浙江省塘栖 瓶窑 余杭中学 2012 届高三上学期联考理 12 3 1 x x 的展开式中常数项 为 a 220 b 220 c 1320 d 1320 答案 a 河南省郑州市河南省郑州市 20122012 届高三第一次质量预测 届高三第一次质量预测 在二项式 x x 1 2 n 的展开式中 所有二 项式系数的和是 32 则展开式中各项系数的和为 a 32 b 32 c 0 d 1 答案 c 江西省江西省 20122012 届十所重点中学第二次联考届十所重点中学第二次联考 如图 在 a b 间有四个焊接点 若焊接点脱 落 而可能导致电路不通 如今发现 a b 之间线路不通 则焊接点脱落的不同情况有 a 10 b 12 c 13 d 15 答案 c 安师大附中安师大附中 20122012 届高三第五次模拟届高三第五次模拟 已知直线ax by 1 0 a b不全为 0 与圆 x2 y2 50 有公共点 且公共点的横 纵坐标均为整数 那么这样的直线共有 a 66 条 b 72 条 c 74 条 d 78 条 答案 b 湖北省武昌区湖北省武昌区 20122012 高三元月调研高三元月调研 若 48212 01212 3 2 2 2 xxaa xaxax 则 用心 爱心 专心23 21311 log aaa 等于 a 27 b 28c 7 d 8 江西省江西省 20122012 届十所重点中学第二次联考届十所重点中学第二次联考 44 1 1 xx 的展开式 2 x的系数是 答案 4 安师大附中安师大附中 20122012 届高三第五次模拟届高三第五次模拟 5 2 1 x x展开式中 4 x的系数为 用数字作答 答案 10 浙江省塘栖 瓶窑 余杭中学 2012 届高三上学期联考理 25 人排成 5 5 方阵 从中选 出 3 人 要求其中任意 2 人既不同行也不同列 则不同的选法为 a 60 种 b 100 种 c 300 种 d 600 种 答案 d 四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考 若 62 1 ax x 的展开式中的常数项为 16 15 则实数a 答案 2 a 四川省江油中学高 2012 届高三第一次学月考试 设 3 2 n x x 的展开式中的各项系数 之和为 n a 而它的二