高三数学一轮复习讲义 等差数列及其前n项和 新人教A版.doc

等差数列及其前n项和自主梳理1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的_差_等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ an1and _ (nn*，d为常数)(2)数列a，a，b成等差数列的充要条件是_ a_，其中a叫做a，b的_等差中项_2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_ a1(n1)d_，anam_ (nm)d _ (m，nn*)(2)前n项和公式：sn_ na1d _.3等差数列的前n项和公式与函数的关系snn2n.4等差数列的性质(1) 若mnpq (m，n，p，qn*)，则有_amanapa q _，特别地，当mn2p时，_ aman2ap _.(2) 若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_2d _(3) 若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为_ md _的等差数列.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d0，则数列为_递增数列_；若d0，d0，则sn存在最_值；若a10，则sn存在最_值. 大小6方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)中项公式：2an1anan2 (nn*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq (p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：snan2bn(a、b为常数)an是等差数列(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可视具体情况而定 (6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解.自我检测1已知等差数列an中，a5a9a710，记sna1a2an，则s13的值为 ()a130b260c156d1682等差数列an的前n项和为sn，且s36，a34，则公差d等于 ()a1b.c2d33设sn是等差数列an的前n项和，若，则等于 ()a1b1c2d.4若等差数列an的前5项之和s525，且a23，则a7等于 ()a12b13c14d155设an为等差数列，公差d2，sn为其前n项和，若s10s11，则a1等于()a.18 b.20 c.22 d.246.设等差数列an的前n项和为sn.若s972，则a2a4a9_24_.7.有两个等差数列2,6,10，190及2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列an的通项公式an_.12n10_.8.已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_.9数列an是等差数列，若1，且它的前n项和sn有最大值，那么当sn取得最小正值时，n()a11 b17 c19 d21解析由题意，可知数列an的前n项和sn有最大值，所以公差小于零，故a11a10，又因为1，所以a100，a11a10，由等差数列的性质有a11a10a1a200，a10a10a1a190，所以sn取得最小正值时n19.题型一等差数列的基本量的计算例1等差数列an的前n项和记为sn.已知a1030，a2050，(1)求通项an； (2)若sn242，求n.解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由snna1d，sn242. 得12n2242.解得n11或n22(舍去)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为sn，满足s5s6150.(1)若s55，求s6及a1； (2)求d的取值范围.解(1)由题意知s63， a6s6s58.所以解得a17，所以s63，a17.(2)方法一s5s6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二s5s6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列an的公差为d (d0)，它的前10项和s10110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.解由题意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以sn2nn2.由sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5. 又kn*，故k7.题型二等差数列的判定或证明例2已知数列an中，a1，an2 (n2，nn*)，数列bn满足bn (nn*). (1)求证：数列bn是等差数列； (1)证明an2 (n2，nn*)，bn.n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数.当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.探究提高1证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an1and；(2)等差中项法：2an1anan2.就本例而言，所用方法为定义法.2解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即ananb，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和sn是snan2bn的形式(a，b是常数)，则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可变式训练2(1)已知数列an的前n项和为sn，且满足sn (n2)，a12.求证：是等差数列； 求an的表达式. 证明由sn，得2，2，是以即为首项，以2为公差的等差数列. 解由知(n1)22n，sn，当n2时，ansnsn1；当n1时，a12不适合an，故an(2)已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nn*)求a2，a3的值 是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说解a15，a22a122113， a32a223133.假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2.，解得1.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项为2、公差为1的等差数列题型三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数解方法一设此等差数列为an共n项，依题意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146. 根据等差数列性质，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由sn360，得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则s55a1d34，snsn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.两式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入snna1dn360，得18n360，n20. 所以该数列的项数为20项变式训练3已知数列an是等差数列(1)若sn20，s2n38，求s3n；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数解(1) sn，s2nsn，s3ns2n成等差数列，s3n3(s2nsn)54. (2) 设项数为2n1 (nn*)，则奇数项有n项，偶数项有n1项，中间项为an，则s奇nan44，s偶(n1)an33，.n4，an11.数列的中间项为11，项数为7.题型四等差数列的前n项和及综合应用例4(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和.解(1)方法一a120，s10s15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时， an0，n14时，an0，当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s13s121220130.方法二同方法一求得d.sn20nn2n2.nn*，当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.方法三同方法一得d.又由s10s15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，sn有最大值.且最大值为s12s13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令由得n0，d0，且满足，前n项和sn最大；(2)若a10，且满足，前n项和sn最小；(3)将等差数列的前n项和snan2bn (a、b为常数)看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意nn*.变式训练4 (1) 已知数列an满足2an1anan2 (nn*)，它的前n项和为sn，且a310，s672.若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值解方法一2an1anan2，an是等差数列设an的首项为a1，公差为d，由a310，s672，得，.an4n2.则bnan302n31.解得n.nn*，n15.bn前15项为负值. s15最小可知b129，d2，s15225.方法二同方法一求出bn2n31.snn230n(n15)2225，当n15时，sn有最小值，且最小值为225. (2)设等差数列an的前n项和为sn，若a10，s2 0090.求sn的最小值及此时n的值；求n的取值集合，使ansn.解方法一设公差为d，则由s2 00902 009a1d0a11 004d0， da1，a1ana1，sn(a1an)a1(2 009nn2)a10，nn*，当n1 004或1 005时，sn取最小值a1.ana1.snan(2 009nn2)a1.a10，即数列cn为单调递增数列，所以c2最小，c2.所以的取值范围为(，等差数列及其前n项和（2）一、选择题1.设数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a62且s530，则s8等于 ()a.31 b.32 c.33 d.342.数列an为等差数列，a1033，a21，sn为数列an的前n项和，则s202s10等于()a.40 b.200 c.400 d.203设sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，sk2sk24，则k等于()a.8 b.7 c.6 d.54.已知数列an中，a32，a51，若是等差数列，则a11等于 ()a.0 b. c. d.5.在各项均不为零的等差数列an中，若an1aan10 (n2)，则s2n14n等于()a.2 b.0 c.1 d.26已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为an和bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()a2 b3 c4 d56d解析 7，所以当n1,2,3,5,11时满足二、填空题7 设sn为等差数列an的前n项和，若s33，s624，则a9_15_.8. 等差数列an的前n项和为sn，且6s55s35，则a4_.9. 等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为sn，则数列的前10项和为_75_.10. 设等差数列an、bn的前n项和分别为sn、tn，若对任意自然数n都有，则的值为_.三、解答题11.已知数列an的通项公式anpn2qn (p、qr，且p、q为常数).(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列. (1)解an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使an是等差数列，则2pnpq应是一个与n无关的常数，所以只有2p0，即p0.故当p0，qr时，数列an是等差数列.(2)证明an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，(an2an1)(an1an)2p为一个常数.an1an是等差数列.12在等差数列an中，a16a17a18a936，其前n项和为sn.(1)求sn的最小值，并求出sn取最小值时n的值解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)d3n63， an13n60，令，得20n21，s20s21630，n20或21时，sn最小且最小值为630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项