山东省潍坊一中高三数学上学期期末模拟试卷（含解析）.doc

山东省潍坊一中2015届高三上 学期期末数学模拟试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，共50分）；1（5分）设集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则pq=（）a3，0b3，0，1c3，0，2d3，0，1，22（5分）复数（）2的共轭复数是（）a34ib3+4ic34id3+4i3（5分）在二项式的展开式中，各项系数之和为a，各项二项式系数之和为b，且a+b=72，则展开式中常数项的值为（）a6b9c12d184（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的k=5，则输入的整数p的最小值为（）a16b15c8d75（5分）若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是（）a36 cm3b48 cm3c60 cm3d72 cm36（5分）将函数y=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（）a（0，0）bcx=1d7（5分）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）a72种b96种c108种d120种8（5分）已知p是abc所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在abc内，则黄豆落在pbc内的概率是（）abcd9（5分）设an是等比数列，a1=1，公比q=，sn为an的前n项和，qn为数列bn的前n项和，若（+1x）n=b1+b2x1+b3x2+bn+1xn记tn=，nn*，设为数列tn的最大项，则n0=（）a3b4c5d610（5分）函数f（x）=1+x+，则f（x）的零点个数是（）a0b1c2d3二、填空题11（5分）某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有下表的统计资料：根据该表可得回归方程=1.23x+，据此模型估计，该型号机器使用年限为9年的维修费用大约为万元 x23456y2.23.85.56.57.012（5分）已知变量x，y满足约束条件，若x+2ya恒成立，则实数a的取值范围为13（5分）过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点e，延长fe交双曲线于点p，o为原点，若=（+），则双曲线的离心率为14（5分）已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=a（x0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是15（5分）下列命题：（1）dx=|=；（2）不等式|x+1|+|x3|a恒成立，则a4；（3）随机变量x服从正态分布n（1，2），则p（x0）=p（x2）；（4）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，若=m，l，l，则lm其中正确命题的序号为三、解答题16（12分）设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acosc+c=b（）求角a的大小；（）若a=2，求abc的周长l的取值范围17（12分）如图，菱形abcd中，abc=60，ae平面abcd，cf平面abcd，ab=ae=2，cf=3（1）求证：ef平面bde；（2）求锐二面角ebdf的大小18（12分）某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：0123p0.12ab0.12（1）求p，q的值；（2）求数学期望e19（12分）已知数列an的前n项和sn=an（）n1+2（nn*），数列bn满足bn=2nan（）求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（）设cn=log2，数列的前n项和为tn，求满足tn（nn*）的n的最大值20（13分）椭圆e：（ab0）与双曲线有公共的焦点，过椭圆e的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线y2=2x于m、n两点，且omon（1）求椭圆e的方程；（2）设p是椭圆e上第一象限内的点，点p关于原点o的对称点为a、关于x轴的对称点为q，线段pq与x轴相交于点c，点d为cq的中点，若直线ad与椭圆e的另一个交点为b，试判断直线pa，pb是否相互垂直？并证明你的结论21（14分）已知函数f（x）=（x0）（）试判断函数f（x）在（0，+）上单调性并证明你的结论；（）若f（x）对于x（0，+）恒成立，求正整数k的最大值；（）求证：（1+12）（1+23）（1+34）1+n（n+1）e2n3山东省潍坊一中2015届高三上学期期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共50分）；1（5分）设集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则pq=（）a3，0b3，0，1c3，0，2d3，0，1，2考点：并集及其运算 专题：计算题分析：根据集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则log2a=0，b=0，从而求得pq解答：解：pq=0，log2a=0a=1从而b=0，pq=3，0，1，故选b点评：此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用2（5分）复数（）2的共轭复数是（）a34ib3+4ic34id3+4i考点：复数代数形式的混合运算 专题：计算题分析：首先利用复数的除法运算化简括号内部的复数，然后展开平方运算，则复数的共轭复数可求解答：解：（）2=所以（）2的共轭复数是34i故选a点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3（5分）在二项式的展开式中，各项系数之和为a，各项二项式系数之和为b，且a+b=72，则展开式中常数项的值为（）a6b9c12d18考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出b，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项解答：解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4na=4n据二项展开式的二项式系数和为2nb=2n4n+2n=72解得n=3=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为t2=3c31=9故选项为b点评：本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具4（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的k=5，则输入的整数p的最小值为（）a16b15c8d7考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 s k循环前/0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 否故s=7时，满足条件sps=15时，不满足条件sp故p的最小值为8故答案为：8点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模，本题属于基础知识的考查5（5分）若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是（）a36 cm3b48 cm3c60 cm3d72 cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：利用三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积即可解答：解：三视图复原的几何体是上部为长方体三度为：4，2，2；下部为放倒的四棱柱，底面是等腰梯形其下底为6，上底为2，高为2，棱柱的高为4，几何体的体积为两部分的体积和，即：422+=48（cm3）故选：b点评：本题考查简单几何体的三视图，三视图与几何体的对应关系，正确判断几何体的形状是解题的关键6（5分）将函数y=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（）a（0，0）bcx=1d考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用两角和的正弦公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心解答：解：y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），把它的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin2（x）+=2sin（2x）图象，令2x=k，kz，可得x=+，kz，故所得函数的图象的对称中心为（+，0），kz，结合所给的选项，故选：d点评：本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7（5分）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）a72种b96种c108种d120种考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果解答：解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法所以，不同的涂色种数有432（11+13）=96种故选b点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色8（5分）已知p是abc所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在abc内，则黄豆落在pbc内的概率是（）abcd考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点p是abc边bc上的中线ao的中点再根据几何概型公式，将pbc的面积与abc的面积相除可得本题的答案解答：解：以pb、pc为邻边作平行四边形pbdc，则，得=2由此可得，p是abc边bc上的中线ao的中点，点p到bc的距离等于a到bc的距离的spbc=sabc将一粒黄豆随机撒在abc内，黄豆落在pbc内的概率为p=故选c点评：本题给出点p满足的条件，求p点落在pbc内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题9（5分）设an是等比数列，a1=1，公比q=，sn为an的前n项和，qn为数列bn的前n项和，若（+1x）n=b1+b2x1+b3x2+bn+1xn记tn=，nn*，设为数列tn的最大项，则n0=（）a3b4c5d6考点：数列的求和 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：根据等比数列求和公式求出sn=，s2n=，利用赋值法在（+1x）n=b1+b2x1+b3x2+bn+1xn中令x=1则得qn+1=n，继而求得tn，利用基本不等式求最值解答：解：sn=，s2n=，在（+1x）n=b1+b2x1+b3x2+bn+1xn中令x=1则得qn+1=n=qn，设qn=t，则 tn=，当时最小时，tn最大而，即t=4时最小，所以n0=4故选b点评：本题考查等比数列求和公式，二项式定理的应用，基本不等式求最值，考查计算能力10（5分）函数f（x）=1+x+，则f（x）的零点个数是（）a0b1c2d3考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：求导数可判函数单调递增，又可判函数在（0，1）有零点，可得零点个数为1个解答：解：f（x）=1+x+，f（x）=1x+x2x3+x2011+x2012=0函数f（x）=1+x+单调递增，f（0）=1，f（1）=110，函数f（x）在（0，1）有零点且只有一个，故选：b点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及导数法判函数的单调性，属基础题二、填空题11（5分）某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有下表的统计资料：根据该表可得回归方程=1.23x+，据此模型估计，该型号机器使用年限为9年的维修费用大约为11.15万元 x23456y2.23.85.56.57.0考点：线性回归方程 专题：计算题分析：由表格可得平均值，由回归直线过点（，）可得其方程，把x=9代入计算可得解答：解：由表格可得=（2+3+4+5+6）=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5由于回归直线过点（4，5），故5=1.234+，解得=0.08，故可得回归方程为，把x=9代入上式可得=11.15，故该型号机器使用年限为9年的维修费用大约为11.15万元故答案为：11.15点评：本题考查线性回归方程，利用回归直线过点（，）得出回归直线的方程是解决问题的关键，属中档题12（5分）已知变量x，y满足约束条件，若x+2ya恒成立，则实数a的取值范围为a1考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，x+2ya恒成立可化为（x+2y）mina；从而转化为最值问题，从而由线性规划求解即可解答：解：由题意作出其平面区域，x+2ya恒成立可化为（x+2y）mina；结合图象可知，当x=1，y=1时，x+2y有最小值1；故a1故答案为：a1点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了恒成立问题，属于中档题13（5分）过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点e，延长fe交双曲线于点p，o为原点，若=（+），则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设知|ef|=b，|pf|=2b，|pf|=2a，再由|pf|pf|=2a，知b=2a，由此能求出双曲线的离心率解答：解：|of|=c，|oe|=a，oeef，|ef|=b，=（+），|pf|=2b，|pf|=2a，|pf|pf|=2a，b=2a，e=故答案为：点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题14（5分）已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=a（x0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（，）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得，方程 =a在（0，+）上有且仅有3个实数根，且 a0，x=1，2，3分别求得x=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围解答：解：因为f（x）=a，有且仅有3个零点，则方程 =a在（0，+）上有且仅有3个实数根，且a0x0，x0； 若x=0，则=0；若x1，因为xxx+1，1，a1，且 随着x的增大而增大故不同的x对应不同的a值，故有x=1，2，3若x=1，则有 1；若x=2，则有 1；若x=3，则有 1；若x=4，则有 1综上所述，a故答案为：（，）点评：本题考察了函数零点的判定定理，分类讨论思想，是一道基础题15（5分）下列命题：（1）dx=|=；（2）不等式|x+1|+|x3|a恒成立，则a4；（3）随机变量x服从正态分布n（1，2），则p（x0）=p（x2）；（4）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，若=m，l，l，则lm其中正确命题的序号为（2）（3）（4）考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：（1）利用定积分的概念解题（2）含两个不绝对值的不等式的求最值问题，转化为a（|x+1|+|x3|）min（3）随机变量x服从正态分布n（1，2），利用正态分布的性质解决本题（4）根据线面关系判断即可解答：解：对于（1）dx=，故（1）错对于（2）由于|x+1|+|x3|（x+1）（x3）|=4，不等式|x+1|+|x3|a恒成立，4a，故（2）正确，对于（3）由正态分布的图象可知p（x0）=p（x2）所以（3）正确对于（4），若l，l，=m，满足线面平行的性质定理，故lm；故正确；故答案为：（2）（3）（4）点评：本题主要考查绝对值不等式，函数的恒成立，定积分，正态分布，线面关系等问题，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题16（12分）设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acosc+c=b（）求角a的大小；（）若a=2，求abc的周长l的取值范围考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（）运用正弦定理和两角和的正弦公式化简整理，即可得到a；（）运用正弦定理，可得l=a+b+c=2+（sinb+sinc），再由c=b，运用两角差的正弦公式，化简计算结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围解答：解：（）由正弦定理可得，sinacosc+sinc=sinb，则sinacosc+sinc=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc，由于sinc0，则cosa=，由0a，可得a=；（）由正弦定理，=则b=sinb，c=sinc，l=a+b+c=2+（sinb+sinc）=2+（sinb+sin（b）=2+（cosb+sinb）=2+4（cosb+sinb）=2+4sin（b+），由于0b，则b+，sin（b+）1，则有4l6即为abc的周长l的取值范围是（4，6点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题17（12分）如图，菱形abcd中，abc=60，ae平面abcd，cf平面abcd，ab=ae=2，cf=3（1）求证：ef平面bde；（2）求锐二面角ebdf的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：综合题分析：（1）证明连接ac、bd，设acbd=o，以o为原点，oa，ob为xy轴正向，z轴过o且平行于cf，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积，即可证得ef平面bde； （2）由知（1）是平面bde的一个法向量，求出平面bdf的一个法向量，再利用向量的夹角公式，即可得到二面角ebdf的大小解答：（1）证明：连接ac、bd，设acbd=o，abcd为菱形，acbd，以o为原点，oa，ob为xy轴正向，z轴过o且平行于cf，建立空间直角坐标系，（2分）则，e（1，0，2），f（1，0，3），（4分），efde，efbe，又debe=e，ef平面bde； （6分）（2）由知（1）是平面bde的一个法向量，设是平面bdf的一个法向量，由，得：，取x=3，得z=1，y=0，于是，（10分）=，由于二面角ebdf为锐二面角，故其大小为45 （12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量18（12分）某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：0123p0.12ab0.12（1）求p，q的值；（2）求数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题；概率与统计分析：（1）用a表示“该生语文课程取得优秀成绩”，用b表示“该生数学课程取得优秀成绩”，用c表示“该生英语课程取得优秀成绩”，由题意得p（）=（10.5）（1p）（1q）=0.12，p（abc）=0.5pq=0.12，由此能求出p，q（2）由题设知的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望e解答：解：（1）用a表示“该生语文课程取得优秀成绩”，用b表示“该生数学课程取得优秀成绩”，用c表示“该生英语课程取得优秀成绩”，由题意得p（a）=0.5，p（b）=p，p（c）=q，pq，p（）=（10.5）（1p）（1q）=0.12，p（abc）=0.5pq=0.12，解得p=0.4，q=0.6（2）由题设知的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=0.12，p（=1）=p（）+p（）+p（）=0.5（10.4）（10.6）+（10.5）0.4（10.6）+（10.5）（10. 4）0.6=0.38，p（=2）=p（ab）+p（a）+p（）=0.50.4（10.6）+0.5（10.4）0.6+（10.5）0.40.6=0.38，p（=3）=0.12，e=00.12+10.38+20.38+30.12=1.5点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用19（12分）已知数列an的前n项和sn=an（）n1+2（nn*），数列bn满足bn=2nan（）求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（）设cn=log2，数列的前n项和为tn，求满足tn（nn*）的n的最大值考点：数列与不等式的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）利用“当n2时，an=snsn1”及其等差数列的通项公式即可得出（）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数n的最大值解答：（）证明：sn=an（）n1+2（nn+），当n2时，sn1=an1（）n2+2（nn+），an=snsn1=an+an1+（）n1，化为2nan=2n1an1+1bn=2nanbn=bn1+1，即当n2时，bnbn1=1令n=1，可得s1=a11+2=a1，即a1=又b1=2a1=1，数列bn是首项和公差均为1的等差数列于是bn=1+（n1）1=n=2nan，an=（）解：cn=log2=n，=，tn=（1）+（）+（）=1+，由tn，得1+，即+，f（n）=+单调递减，f（4）=，f（5）=，n的最大值为4点评：本题综合考查了“当n2时，an=snsn1”及其等差数列的通项公式、“裂项法”等基础知识与基本方法，考查恒成立问题，正确求通项与数列的和是关键20（13分）椭圆e：（ab0）与双曲线有公共的焦点，过椭圆e的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线y2=2x于m、n两点，且omon（1）求椭圆e的方程；（2）设p是椭圆e上第一象限内的点，点p关于原点o的对称点为a、关于x轴的对称点为q，线段pq与x轴相交于点c，点d为cq的中点，若直线ad与椭圆e的另一个交点为b，试判断直线pa，pb是否相互垂直？并证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设直线l：ty=xa，代入y2=2x，并整理，利用韦达定理，结合omon，即可求椭圆e的方程；（2）papb，设p（x0，y0），将直线ad的方程代入椭圆的方程，并整理，求出b的坐标，证明kpakpb=1，即可得到结论解答：解：（1）设