高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 函数与方程课件 理.ppt

第10讲函数与方程 1 函数的零点 1 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有零点 交点 2 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的 且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 上有零点 一 般把这一结论称为零点存在性定理 2 二分法 如果函数y f x 在区间 m n 上的图象是一条连续不断的曲线 且f m f n 0 通过不断地把函数y f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 1 如图2 10 1所示的是函数f x 的图象 它与x轴有4个不同的公共点 给出下列四个区间 不能用二分法求出函数f x 零点的区间是 图2 10 1 a 2 1 1 c 4 1 5 b 1 9 2 3 d 5 6 1 b 2 利用计算器 列出自变量和函数值的对应值如下表 c 那么方程2x x2的一个根位于下列区间中的 a 0 6 1 0 b 1 4 1 8 c 1 8 2 2 d 2 6 3 0 解析 由f 0 6 1 516 0 36 0 f 1 0 2 0 1 0 0 排除a 由f 1 4 2 639 1 96 0 f 1 8 3 482 3 24 0 排除b 由f 1 8 3 482 3 24 0 f 2 2 4 595 4 84 0 可确定方程2x x2的一个根位于区间 1 8 2 2 上 c 3 方程2x x 4 0的解所在的区间为 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 令f x 2x x 4 f 1 f 2 2 0 f x 在 1 2 内有零点 即方程2x x 4 0的解所在区间为 1 2 包含f x 的零点的区间是 a 0 1 c 2 4 b 1 2 d 4 c 考点1 函数零点的判定 例1 1 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内c b c 和 c 内 b a 和 a b 内d a 和 c 内 解析 f a a b a c 0 f b b c b a 0 f c c b c a 0 f a f b 0 f b f c 0 所以两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 答案 a 图d9 答案 2 3 2015年天津 已知函数f x 2 x x 2 x 2 2 x 2 函数g x 3 f 2 x 则函数y f x g x 的零点的个数为 a 2 b 3 c 4 d 5 答案 a 规律方法 判断函数y f x 在某个区间上是否存在零点 常用以下三种方法 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落在给定区间上 如第 3 题 利用函数零点的存在性定理进行判断 如第 1 题 通过函数图象 观察图象给定区间上的交点来判断 如第 2 题 考点2根据函数零点的存在情况 求参数的值 实数a的取值范围是 a 1 3 b 1 2 c 0 3 d 0 2 答案 c 2 2015年湖南 若函数f x 2x 2 b有两个零点 则实 数b的取值范围是 解析 由函数f x 2x 2 b有两个零点 可得 2x 2 b有两个不等的根 从而可得函数y 2x 2 与函数y b的图象有两个交点 结合函数的图象可得 0 b 2 故答案为 0 2 答案 0 2 互动探究 三个不同的实数根 则实数a的取值范围是 a 1 3 b 0 3 c 0 2 d 0 1 解析 画出函数f x 的图象如图d10 观察图象可知 若方程f x a 0有三个不同的实数根 则函数y f x 的图象与直线y a有3个不同的交点 此时需满足0 a 1 故选d 图d10 答案 d 考点3 二分法的应用 例3 已知函数f x lnx 2x 6 1 求证 函数f x 在其定义域上是增函数 2 求证 函数f x 有且只有一个零点 3 求这个零点所在的一个区间 使这个区间的长度不超过 14 1 证明 函数f x 的定义域为 0 设x1 x2 则lnx1 lnx2 2x1 2x2 lnx1 2x1 6 lnx2 2x2 6 f x1 f x2 f x 在 0 上是增函数 2 证明 f 2 ln2 20 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 上至少有一个零点 又由 1 知 f x 在 0 上是增函数 因此f x 0至多有一个根 从而函数f x 在 0 上有且只有一个零点 3 解 由 2 知 f x 的零点x0在 2 3 上 规律方法 1 二分法是求方程根的近似值的一种计算方 法 它只能用来求函数的变号零点 2 给定精度 用二分法求函数y f x 的零点近似值的步 骤如下 确定区间 m n 验证f m f n 0 给定精度 求区间 m n 的中点x1 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数y f x 的零点 若f m f x1 0 则令n x1 此时零点x0 m x1 若f x1 f n 0 则令m x1 此时零点x0 x1 n 互动探究 2 若函数f x 的零点与g x 4x 2x 2的零点之差的绝对 值不超过0 25 则f x 可以是 a f x 4x 1 b f x x 1 2 c f x ex 1 d f x 答案 a 思想与方法 运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题 已知函数f x ax2 x 1 3a a r 在区间 1 1 上有零点 求实数a的取值范围 解 方法一 当a 0时 f x x 1 令f x 0 得x 1是区间 1 1 上的零点 当a 0时 函数f x 在区间 1 1 上有零点分三种情况 方程f x 0在区间 1 1 上有重根 3 a 1 x在区间 1 1 上有解 a 问题转化为求函数y 方法二 当a 0时 f x x 1 令f x 0 得x 1 是区间 1 1 上的零点 当a 0时 f x ax2 x 1 3a在区间 1 1 上有零点 x2 1 xx2 3 在区间 1 1 上有 解 在区间 1 1 上的值域 设t 1 x 由x 1 1 得t 0 2 1 xx2 3 t1 t2 t1t2 4 t1t2 由00 所以g t 在t 0 2 上单调递减 故g t g 2 4 规律方法 1 函数f x ax2 x 1 3a a r 在区间 1 1 上有零点 应该分类讨论 讨论a 0与a 0 讨论有一个零点或有两个零点 如果只有一个零点还要讨论是否是重根 2 函数f x 的零点不是 点 它是一个数 是方程f x 0 的实数根 3 准确理解根的存在性定理 f x 在 a b 上连续 f a f b 0 其中 是零点存在的一个充分条件 不是必要条件 并且满足f a f b 0时 f x 在 a b 上至少有一个零点 不满足f a f b 0时 f x 在 a b 上未必无零点 也可能有多个零点 1 全面认识深刻理解函数零点 函数的零点不是点 而是 数 1 从 数 的角度看 即是使f x 0的实数x 2 从 形 的角度看 即是函数f x 的图象与x轴交点的 横坐标 3 若函数f x 的图象在x x0处与x轴相切 则零点x0通常 称为不变号零点 4 若函数f x 的图象在x x0处与x轴相交 则零点x0通常 称为变号零点 2 判定函数零点的常用方法有 1 零点存在性定理 2 数形结合 3 解方程f x 0 3 研究方程f x g x 的解 实质上就是研究函数g x f x g x 的零