【备考 志鸿优化设计】（湖南专用）中考数学总复习 第19讲 矩形、菱形和正方形二次函数（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 湘教版.doc

第19讲矩形、菱形和正方形考标要求考查角度1.掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系2掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质3灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.特殊的平行四边形是中考考查的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.知识梳理一、矩形的性质与判定1定义有一个角是直角的_是矩形2性质(1)矩形的四个角都是_(2)矩形的对角线_(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是_3判定(1)有三个角是_的四边形是矩形(2)对角线_的平行四边形是矩形二、菱形的性质与判定1定义一组邻边相等的_叫做菱形2性质(1)菱形的四条边都_(2)菱形的对角线_，并且每一条对角线平分一组对角3判定(1)对角线互相垂直的_是菱形(2)四条边都相等的_是菱形三、正方形的性质与判定1定义一组邻边相等的_叫做正方形2性质(1)正方形的四条边都_，四个角都是_(2)正方形的对角线_，且互相_；每条对角线平分一组对角(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3判定(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的_是正方形(2)一组邻边相等的_是正方形(3)对角线互相垂直的_是正方形(4)有一个角是直角的_是正方形(5)对角线相等的_是正方形自主测试1. 如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，aob=60，ab=5，则ad的长是() a5b5c5d102. (2012四川成都)如图，在菱形abcd中，对角线ac，bd交于点o，下列说法错误的是() aabdcbacbdcacbddoaoc3(2012江苏泰州)下列四个命题：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形其中真命题共有()a1个 b2个 c3个 d4个4. (2012江苏苏州)如图，矩形abcd的对角线ac，bd相交于点o，cebd，deac若ac4，则四边形code的周长是() a4b6 c8 d105(2012贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心o为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于a，b两点，则线段ab的最小值是_6如图，在正方形abcd中，点e，f分别在边bc，cd上，ae，bf交于点o，aof90. 求证：becf.考点一、矩形的性质与判定【例1】 如图，在abc中，点o是ac边上(端点除外)的一个动点，过点o作直线mnbc设mn交bca的平分线于点e，交bca的外角平分线于点f，连接ae，af.那么当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并证明你的结论分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等解：当点o运动到ac的中点(或oaoc)时，四边形aecf是矩形证明：ce平分bca，12.又mnbc，13，32，eoco.同理，foco，eofo.又oaoc，四边形aecf是平行四边形又12，45，1524.又1524180，2490，即ecf90.四边形aecf是矩形方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90.触类旁通1如图，将矩形纸片abcd沿对角线bd折叠，点c落在点e处，be交ad于点f，连接ae. 求证：(1)bf=df；(2)aebd考点二、菱形的性质与判定【例2】 如图，矩形abcd的对角线相交于点o，deac，cebd(1)求证：四边形oced是菱形；(2)若acb30，菱形oced的面积为8，求ac的长分析：(1)先证明四边形oced是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为doc是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出ac的长解：(1)证明：deoc，ceod，四边形oced是平行四边形四边形abcd是矩形，aoocbood四边形oced是菱形(2)acb30，dco903060.又od=oc，ocd是等边三角形过d作dfoc于f，则cfoc，设cfx，则oc2x，ac4x.在rtdfc中，tan 60，dffctan 60x.由已知菱形oced的面积为8得ocdf8，即2xx8.解得x2.ac428.方法总结 菱形的定义既可作为性质，也可作为判定证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形触类旁通2如图，在abcd中，对角线ac，bd相交于点o，过点o作直线efbd，分别交ad，bc于点e和点f，求证：四边形bedf是菱形考点三、正方形的性质与判定【例3】 如图，在正方形abcd中，e，f，g，h分别为边ab，bc，cd，da上的点，haebfcgd，连接eg，fh，交点为o.(1)如图，连接ef，fg，gh，he，试判断四边形efgh的形状，并证明你的结论；(2)将正方形abcd沿线段eg，hf剪开，再把得到的四个四边形按图的方式拼接成一个四边形若正方形abcd的边长为3 cm，haebfcgd1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.分析：根据题目的条件可先证aeh，bfe，cgf，dhg四个三角形全等，证得四边形efgh的四边相等，然后由全等再证一个角是直角解：(1)四边形efgh是正方形证明：四边形abcd是正方形，abcd90，abbccddahaebfcgd，aebfcgdh.aehbfecgfdhg.effgghhe.四边形efgh是菱形由dhgaeh，知dhgaeh.aehahe90，dhgahe90.ghe90.菱形efgh是正方形(2)1方法总结 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”“一组邻边相等”“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”“一组邻边相等”；(3)“矩形”“对角线互相垂直”；(4)“菱形”“一个角为直角”；(5)“菱形”“对角线相等”1. (2012湖南长沙)如图，菱形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，oedc且交bc于点e，ad6 cm，则oe的长为()a6 cm b4 cmc3 cm d2 cm2(2012湖南张家界)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是()a正方形 b矩形c菱形 d等腰梯形3. (2012湖南娄底)如图，在矩形abcd中，m，n分别是ad，bc的中点，p，q分别是bm，dn的中点(1)求证：mbandc；(2)四边形mpnq是什么样的特殊四边形？请说明理由4(2012湖南常德)已知四边形abcd是正方形，o为正方形对角线的交点，一动点p从b点开始，沿射线bc运动，作cndp于点m，且交直线ab于点n，连接op，on.(当p在线段bc上时，如图1；当p在bc的延长线上时，如图2)(1)请从图1，图2中任选一图形证明下面结论：bncp；opon，且opon.(2)设ab4，bpx，试确定以o，p，b，n为顶点的四边形的面积y与x的函数关系图1图21菱形具有而矩形不一定具有的性质是()a对角线互相垂直 b对角线相等c对角线互相平分 d对角互补2如图，四边形abcd的对角线ac，bd互相垂直，则下列条件能判定四边形abcd为菱形的是() ababc bac，bd互相平分cacbd dabcd3已知四边形abcd中，abc90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()ad90 babcd cadbc dbccd4如图，四边形abcd为矩形纸片，把纸片abcd折叠，使点b恰好落在cd边的中点e处，折痕为af.若cd6，则af等于()a4 b3 c4 d85如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点o，村庄c的村民在公路的旁边建三个加工厂a，b，d，已知abbccdda5千米，村庄c到公路l1的距离为4千米，则村庄c到公路l2的距离是()a3千米 b4千米 c5千米 d6千米6如图，四边形abcd是正方形，延长ab到e，使aeac，则bce的度数是_7如图，ef过矩形abcd对角线的交点o，且分别交ab，cd于e，f，那么阴影部分的面积是矩形abcd面积的_8如图，点p是边长为1的菱形abcd对角线ac上一个动点，点m，n分别是ab，bc边上的中点，mpnp的最小值是_9如图(1)所示，在正方形abcd中，m是ab的中点，e是ab延长线上一点，mndm，且交cbe的平分线于点n.(1)求证：mdmn.(2)若将上述条件中“m是ab的中点”改为“m是ab上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“mdmn”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由参考答案【知识梳理】一、1.平行四边形2(1)直角(2)相等(3)对角线的交点3(1)直角(2)相等二、1.平行四边形2(1)相等(2)互相垂直且平分3(1)平行四边形(2)四边形三、1.矩形2(1)相等直角(2)相等垂直平分3(1)平行四边形(2)矩形(3)矩形(4)菱形(5)菱形导学必备知识自主测试1b2b因为菱形的对边平行且相等，所以a正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以c，d正确，b错误3b一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题故选b.4ccebd，deac，四边形code是平行四边形四边形abcd是矩形，acbd4，oaoc，obod，odocac2，四边形code是菱形，四边形code的周长为4oc428.故选c.5.如图：四边形cdef是正方形，ocdodb45，cod90，ocod.aoob，aob90，coaaod90，aoddob90，coadob.在coa和dob中，有coadob，oaob.aob90，aob是等腰直角三角形，由勾股定理得：aboa，要使ab最小，只需oa取最小值即可根据垂线段最短，oacd时，oa最小此时oacf1，即ab.6证明：如题图，四边形abcd为正方形，abbc，abcbcd90.eabaeb90.eobaof90，fbcaeb90.eabfbc.abebcf.becf.探究考点方法触类旁通1. 证明：(1)在矩形abcd中，adbc，ad=bc，1=2.2=3，1=3，bf=df.(2)ad=bc=be，bf=df，af=ef，aeb=eaf.afe=bfd，1=3，aeb=3，aebd.触类旁通2.证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，obod，edofbo，oedofb，oedofb，debf.又debf，四边形bedf是平行四边形efbd，四边形bedf是菱形品鉴经典考题1co为ac的中点，oedc，oe为bcd的中位线oecd.又cdad6 cm，oe63(cm)2c由矩形的性质知，矩形的对角线相等，又矩形四边中点连线等于对角线的一半，所以所得四边形是菱形3解：(1)在矩形abcd中，abcd，adbc，ac90.m，n分别是ad，bc的中点，amcn.mbandc.(2)mbandc，bmdn.连接mn，则mnabcd，得bnmdmn90.p，q分别是bm，dn的中点，pnmpbm，mqqndn，pnmpmqqn.四边形mpnq是菱形4(1)证明：如题图1，cndp，则cdpdcm90.四边形abcd是正方形，则bcd90，即bcndcm90.cdpbcn.又四边形abcd是正方形，cdbc，dcpcbn90.dcpcbn(asa)bncp.四边形abcd是正方形，abbc.又由可知bncp，anbp.又正方形abcd中有oanobp45，aobo，oanobp(sas)onop，aonbop.又正方形abcd中有aob90，即aonnob90，bopnob90，即nop90.opon.(2)解：当0x4时，如题图1，oanobp，ysaob4.当x4时，如图，连接np，bp=x，bc=ab=4，则bn=cp=x-4，y=sbnp+sbop=x(x-4)+ 2x，即y=x2-x.y与x的函数关系为y=4(0x4)或yx2x(x4)研习预测试题1a2.b3.d4a点e是cd的中点，dececd3.四边形abcd是矩形，abcd6.由折叠性质可知，aeab6，bfef，在rtade中，ad3，bc3.设cfx，bfef3x，在rtcef中，(3x)2x232，x.bf2.在rtabf中，af4.5b6.22.57.81在dc上找n点关于ac的对称点n，连接mn，则mn的长即为mpnp的最小值，此时mnad1.9分析：(1)证mdmn，可证它们所在的三角形全等，易知mn在钝角mbn中，而md在直角amd中，显然