【创新设计】北京大学附中高考数学二轮复习 考前抢分必备专题训练 导数及其应用.doc

1 北京大学附中北京大学附中 20132013 版版 创新设计创新设计 高考数学二轮复习考前抢分必备高考数学二轮复习考前抢分必备 专题训练 导数及其应用专题训练 导数及其应用 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 函数 333 1 2 100 f xxxx 在 1x 处的导数值为 a 0b 100 c 3 99 d 3 100 答案 c 2 曲线在点处的切线方程是 a b c d 答案 d 3 过曲线23 4 xypxxy处的切线平行于直线上点 点 p 的坐标为 a 1 0b 0 1 c 0 1d 1 0 答案 a 4 函数 2 cosf xxx 的导数为 a 2 2 cossinfxxxxx b 2 2 cossinfxxxxx c 2 cossinfxxxxx d 2 cos2 sinfxxxxx 答案 a 5 函数 32 f xxbxcxd 的大致图象如图所示 则 22 12 xx 等于 a 8 9 b 10 9 c 16 9 d 28 9 答案 c 6 若曲线 1 1 a f xx g xxp 在点处的切线分别为 1212 l llla 且则的值为 a 2b 2c 1 2 d 1 2 答案 a 2 7 已知函数 f x 当自变量由 0 x变化到 1 x时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函 数 a 在 0 x处的变化率b 在区间 01 x x上的 平均变化率 c 在 1 x处的变化率d 以上结论都不对 答案 b 8 设曲线 1 1 x y x 在点 3 2 处的切线与直线10axy 垂直 则a a 2b 2 c 1 2 d 1 2 答案 b 9 已知函数 32 11 2 r 32 f xxaxbxc a b c 在区间 0 1内取得极大值 在区 间 1 2内取得极小值 则 22 3 ab 的取值范围为 a 2 2 2 b 1 4 2 c 1 2 d 1 4 答案 a 10 已知函数 f x在r上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 a 32yx b yx c 21yx d 23yx 答案 c 11 在函数 xxy8 3 的图象上 其切线的倾斜角小于4 的点中 坐标为整数的点的个 数是 a 3b 2c 1d 0 答案 d 12 2 23 1 111 dx xxx a 8 7 2ln b 8 7 2ln c 4 5 2ln d 8 1 2ln 答案 d 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 若直线2yxm 是曲线lnyxx 的切线 则实数m的值为 3 答案 e 14 已知函数 0 1 2 1 3 1 23 axx a axxf 则 xf在点 1 1 f处的切线的斜 率最大时的切线方程是 答案 3 1 y 15 曲线 sinf xxx 在 2 x 处的切线方程为 答案 0 xy 16 曲线 2 yx 过点 2 1 的切线斜率为 答案 324 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式 2 10 6 3 a yx x 其中 3 x 6 a 为常数 已知 销售价格为 5 元 千克时 每日可售出该商品 11 千克 i 求 a 的值 ii 若该商品的成品为 3 元 千克 试确定销售价格 x 的值 使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 答案 i 因为 x 5 时 y 11 所以 1011 2 2 a a ii 由 i 可知 该商品每日的销售量 2 2 10 6 3 yx x 所以商场每日销售该商品所获得的利润 22 2 3 10 6 2 10 3 6 36 3 f xxxxxx x 从而 2 10 6 2 3 6 30 4 6 fxxxxxx 于是 当 x 变化时 fxf x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4 是函数 f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 4 所以 当 x 4 时 函数 f x 取得最大值 且最大值等于 42 答 当销售价格为 4 元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 18 已知函数 xf的导数babfaxxxf 0 33 2 为实数 21 a 若 xf在区间 1 1 上的最小值 最大值分别为 2 1 求 a b 的值 在 的条件下 求经过点 1 2p且与曲线 xf相切的直线l的方程 设函数 x exxfxf 2 16 试判断函数 xf的极值点个数 答案 由已知得 baxxxf 23 2 3 由 0 xf得axx 21 0 21 1 1 axq 当 0 1 x时 0 xfxf 递增 当 1 0 x时 0 xf xf递减 xf 在区间 1 1 上的最大值为1 0 bbf 又 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 21 2 3 1 1 ffaafaaf 由题意得2 1 f 即2 2 3 a 得1 3 4 3 4 baa故为所求 由 1 得xxxfxxxf43 12 223 点 p 2 1 在曲线 xf上 1 当切点为 p 2 1 时 切线l的斜率4 2 x xfk l 的方程为074 2 41 yxxy即 2 当切点 p 不是切点时 设切点为 2 000 xyxq切线l的余率 0 2 0 43 0 xxxfk xx l 的方程为 43 00 2 00 xxxxyy 又点 p 2 1 在l上 2 43 1 00 2 00 xxxy 2 43 2 2 43 12 1 00 2 00 2 000 2 0 2 0 3 0 xxxxxxxxxx 0 0 2 2 43 0000 2 0 2 0 xxxxxx即 切线l的方程为1 y 故所求切线l的方程为074 yx或1 y 5 xx exaxexaxxxf 2222 1 2 33 1633 xx exaxeaxxf 222 1 2 33 2 2 36 x eaxax 22 38 3 66 二次函数axaxy38 3 66 2 的判别式为 0 1 2 3 12 11123 12 38 24 3 36 222 令aaaaa得 3 3 2 3 3 2 3 1 2 2 aa 令0 得 3 3 2 a 或 3 3 2 a 21 0 2 ae x 2 3 3 2 a当时 0 xf 函数 xf为单调递增 极值点个数 0 当 3 3 21 a时 此时方程0 xf有两个不相等的实数根 根据极值点的定义 可知函数 xf有两个极值点 19 已知函数 lnfxxxx 1 求函数 fx的图像在点 1 1 处的切线方程 2 若k z 且 1 k xf x 对任意1x 恒成立 求k的最大值 答案 1 因为 ln2fxx 所以 12 f 函数 fx的图像在点 1 1 处的切线方程21yx 2 由 1 知 lnfxxxx 所以 1 k xf x 对任意1x 恒成立 即 ln 1 xxx k x 对任意1x 恒成立 令 ln 1 xxx g x x 则 2 ln2 1 xx gx x 令 ln2h xxx 1x 则 11 10 x h x xx 所以函数 h x在 1 上单调递增 6 因为 31 ln30 422ln20hh 所以方程 0h x 在 1 上存在唯一实 根 0 x 且满足 0 3 4x 当 0 1 0 xxh x 时 即 0g x 当 0 0 xxh x 时 即 0g x 13 分 所以函数 ln 1 xxx g x x 在 0 1 x上单调递减 在 0 x 上单调递增 所以 0000 00 min 00 1 ln12 3 4 11 xxxx g xg xx xx 所以 0 min 3 4kg xx 故整数k的最大值是 3 20 已知a为实数 函数 2 1 f xxxa 1 若 1 0f 求函数y f x在 1 1 上的最大值和最小值 2 若函数 f x的图象上有与x轴平行的切线 求a的取值范围 答案 1 22 2 23 xxxxfa 通过列表讨论得 27 50 3 1 6 1 minmax fxffxf 2 3 30 123 2 aaaxxxf 21 已知函数 32 3 2 63 2 f xaxaxx 1 当2a 时 求函数 f x的极小值 2 试讨论函数 yf x 零点的个数 答案 2 33 2 63 2 1 fxaxaxaxx 1 当2a 时 2 01 a 1 2 a ff 值 值值 值值 值 2 当 a 0 时 显然 f x 只有一个零点 2 3 1 fxa xx a 7 当 a 0 时 f x 在 2 a 1 递减 在 2 1 a 递增 2 1 0 0ff a 则 f x 有三个零点 当 0 a2 时 f x 在 2 a 1 递减 在 2 1 a 递增 2 1 0 0ff a 则 f x 只有一个零点 综上所述 当0a 时 f x只有一个零点 当0a 时 f x有三个零点 22 已知函数 lnf xx 1 求函数 1g xf xx 的最大值 2 若对任意 x 0 不等式 2 1f xaxx 恒成立 求实数a的取值范围 3 若 12 0 xx 求证 12 2 22 1212 2f xf xx xxxx 答案 1 先求出 ln11g xxx x 然后求导确定单调区间 极值 最 值即可 2 本小题转化为 ln 1 x a x ax x 在0 x 上恒成立 进一步转化为 maxmin ln1 x ax xx 然后构造函数 ln x h x x 利用导数研究出 h x 的最大值 再利用基础不等式可知 1 2x x 从而可知 a 的取值范围 1 ln11g xxx x 则 1 1 11 x gx xx 当 1 0 x 时 0gx 则 g x在 1 0 上单调递增 当 0 x 时 0gx 则 g x在 0 上单调递减 所以 g x在0 x 处取得最大值 且最大值为 0 8 2 由条件得 ln 1 x a x ax x 在0 x 上恒成立 设 ln x h x x 则 2 1ln x h x x 当 1 xe 时 0h x 当 xe 时 0h x 所以 1 h x e 要使 f xax 恒成立 必须 1