高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时等比数列的性质 1 复习巩固等比数列的概念及其通项公式 2 掌握等比中项的应用 3 掌握等比数列的性质 并能解决有关问题 1 等比数列的定义及通项公式 a 3b 9c 27d 81答案 c 2 等比中项如果在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 这三个数满足关系式g2 ab 做一做2 已知10是a与20的等比中项 则a 答案 5 1 等比数列的性质剖析已知在等比数列 an 中 首项为a1 公比为q q 0 则an a1 qn 1 1 当q 1 a1 0或01 a10时 数列 an 是递减数列 当q 1时 数列 an 是常数列 当q 0时 数列 an 是摆动数列 它所有的奇数项同号 所有的偶数项同号 但是奇数项与偶数项异号 2 an am qn m m n n 3 当m n p q m n p q n 时 有am an ap aq 但am an ap aq 当m n 2k m n k n 时 有am an 4 若数列 an 是有穷数列 则与首末两项等距离的两项的积相等 且等于首末两项之积 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 am an m 1 5 数列 an 为不等于零的常数 仍是公比为q的等比数列 若数列 bn 是公比为q 的等比数列 则数列 an bn 是公比为q q 的等比数 2 等差数列与等比数列的区别与联系剖析等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示 题型一 题型二 题型三 等比数列的性质的应用 例1 已知在等比数列 an 中 a2a6a10 1 求a3a9 分析既可以利用通项公式计算 也可以运用等比数列的性质计算 解法一设公比为q 反思在等比数列的有关运算中 常涉及次数较高的指数运算 若按常规解法 往往是建立关于a1和q的方程 组 这样解起来比较麻烦 而利用等比数列的性质 进行整体变换 会起到化繁为简的效果 题型一 题型二 题型三 变式训练1 1 已知在等比数列 an 中 a4 7 a6 21 则a12 2 已知数列 an 为等比数列 若an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 36 则a3 a5 3 在等比数列 an 中 若公比q 1 且a2a8 6 a4 a6 5 an 0 a3 a5 6 3 a4a6 a2a8 6 a4 a6 5 a4 a6是方程x2 5x 6 0的两个根 解得x1 2 x2 3 题型一 题型二 题型三 等比中项的应用 例2 已知四个数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 中间两数之积为16 前后两数之积为 128 求这四个数 分析适当地设这四个数是解决本题的关键 可利用a q表示四 解得a 4 q 2或a 4 q 2或a 4 q 2或a 4 q 2 因此所求的四个数为 4 2 8 32或4 2 8 32 题型一 题型二 题型三 反思合理地设出所求的数是解决此类问题的关键 一般地 三个 题型一 题型二 题型三 变式训练2 1 在等比数列 an 中 若a3 9 a7 1 则a5的值 a 是3或 3b 是3c 是 3d 不存在 又a3 0 a7 0 a5 0 a5 3 答案 c 2 在等差数列 an 中 公差d 0 且a1 a3 a9成等比数列 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点 忽视等比数列中项的符号致错 例3 在等比数列 an 中 a5 a9是方程7x2 18x 7 0的两个根 则a7 错解 a5 a9是方程7x2 18x 7 0的两个根 错因分析在等比数列中 所有奇数项同