高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值课件 理 新人教版.ppt

第2节函数的单调性与最值 考纲展示 知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 函数单调性定义中的x1 x2有何要求 提示 x1 x2必须是函数定义域中的任意两个值 2 若函数f x 在区间c和区间d上都是增 减 函数 则函数f x 在区间c d上是增 减 函数吗 3 当一个函数的增区间 或减区间 有多个时 能否用 将函数的单调增区间 减区间 连接起来 提示 不能直接用 将它们连接起来 例如 函数y x3 3x的单调增区间有两个 1 和 1 不能写成 1 1 4 函数一定存在值域 那么它一定存在最值吗 提示 对一个函数来说 其值域是确定的 但它不一定有最值 如函数y x3 值域是 既无最大值 也无最小值 如果函数有最值 其最值一定是值域中的一个元素 知识梳理 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间d上是或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做函数y f x 的单调区间 上升的 下降的 增函数 区间d 2 函数的最值 f x m f x m f x0 m f x0 m 重要结论 3 若函数f x 在闭区间 a b 上是增函数 则f x min f a f x max f b 若函数f x 在闭区间 a b 上是减函数 则f x min f b f x max f a 4 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定函数的定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数在相应区间上同增或同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 双基自测 1 2017 山东济南期末 下列函数中 在 0 上单调递减的是 a f x b f x x 1 2 c f x ex d f x ln x 1 a 解析 f x x 1 2在 0 上不单调 f x ex与f x ln x 1 在 0 上单调递增 故选a 2 若函数f x ax 1在r上单调递减 则函数g x a x2 4x 3 的单调递增区间是 a 2 b 2 c 2 d 2 解析 因为f x 为r上的减函数 所以a 0 所以g x 的单调递增区间为 2 b 3 导学号38486020若函数f x 是r上的减函数 且f a2 a f a 则a的取值范围是 a 0 2 b 0 2 c 0 d 2 解析 因为f x 是r上的减函数且f a2 a a 所以a2 2a 0 所以a 2或a 0 故选b b 4 若函数f x 4x2 kx 8在 5 8 上是单调函数 则k的取值范围是 a 40 b 40 64 c 40 64 d 64 c 5 函数f x 在 4 6 上的最大 最小值分别为 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 函数的单调性与单调区间 答案 1 b 2 函数f x lo x2 1 的单调递减区间是 解析 2 函数f x 的定义域为 1 1 所求区间即为内层函数在函数f x 定义域上的单调递增区间 即 1 答案 2 1 反思归纳求函数单调区间的常见方法 1 利用已知函数的单调性 转化为已知函数的和 差或复合函数 再求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义求解 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数确定函数的单调区间 5 复合函数法 如果是复合函数 应根据复合函数的单调性的判断方法 首先判断两个简单函数的单调性 再根据 同则增 异则减 的法则求解函数的单调区间 解析 1 设t x2 2x 3 由t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图象的对称轴为x 1 所以函数t在 1 上单调递减 在 3 上单调递增 所以函数f x 的单调递增区间为 3 故选b 考点二 函数单调性的应用 考查角度1 比较函数值大小 例2 导学号18702027已知函数y f x 的图象关于x 1对称 且在 1 上单调递增 设a f b f 2 c f 3 则a b c的大小关系为 a c b a b b a c c b c a d a b c 反思归纳利用单调性比较函数值大小时 应根据函数的性质 如对称性等 将自变量转化到函数的同一个单调区间上 利用单调性比较大小 考查角度2 利用函数单调性解不等式 例3 1 定义在 2 2 上的函数f x 满足 x1 x2 f x1 f x2 0 x1 x2 且f a2 a f 2a 2 则实数a的取值范围为 a 1 2 b 0 2 c 0 1 d 1 1 解析 1 函数f x 满足 x1 x2 f x1 f x2 0 x1 x2 所以函数在 2 2 上单调递增 所以 2 2a 2 a2 a 2 解得0 a 1 故选c 2 已知函数f x 为r上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 a 1 1 b 0 1 c 1 0 0 1 d 1 1 反思归纳求解与函数单调性有关的抽象函数不等式时 主要是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用 考查角度3 利用函数单调性求参数范围 例4 1 已知函数f x x a 在 1 上是单调函数 则a的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 1 因为函数f x 在 a 上是单调函数 所以 a 1 解得a 1 故选a 答案 1 a 答案 2 a 3 导学号38486021已知函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上具有单调性 则实数a的取值范围为 解析 3 函数f x x2 2ax 3的图象开口向上 对称轴为直线x a 因此要使函数f x 在区间 1 2 上具有单调性 则a 1 2 即a 1或a 2 从而a 1 2 答案 3 1 2 考点三 函数最值的求法 答案 1 c 解析 2 当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 答案 2 2 答案 3 8 反思归纳求函数最值 值域 的常用方法及适用类型 1 单调性法 易确定单调性的函数 利用单调性法研究函数最值 值域 2 图象法 能作出图象的函数 用图象法 观察其图象最高点 最低点 求出最值 值域 3 基本不等式法 分子 分母其中一个为一次 一个为二次的函数结构以及两个变量 如x y 的函数 一般通过变形使之具备 一正 二定 三相等 的条件 用基本不等式法求最值 值域 4 导数法 若f x 是三次 分式以及含ex lnx sinx cosx结构的函数且f x 可求 可用导数法求函数的最值 值域 跟踪训练2 1 函数f x 在区间 a b 上的最大值是1 最小值是 则a b 答案 1 6 2 函数f x 的值域为 备选例题 例1 a 0 是 函数f x ax 1 x 在区间 0 内单调递增 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 当a 0时 f x ax 1 x x 在区间 0 上单调递增 当a0时 函数f x ax 1 x ax2 x 的图象如图 2 所示 知函数在 0 上先增后减再增 不符合条件 所以 要使函数f x ax 1 x 在 0 上单调递增只需a 0 即 a 0 是 函数f x ax 1 x 在 0 上单调递增 的充要条件 故选c 例2 函数f x 在 1 2 的最大值和最小值分别是 答案 2 答案 2 6 例4 2016 四川南充高中模拟 已知函数f x 2x 2 x 若不等式f x2 ax a f 3 0对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围是 解析 y 2x y 2 x在r上分别为增函数 减函数 则f x 2x 2 x为增函数 因为f x 2 x 2x f x 所以f x 在r上为奇函数 因为f x2 ax a f 3 0 所以f x2 ax a f 3 所以f x2 ax a f 3 所以x2 ax a 3 所以x2 ax a 3 0在r上恒成立 所以 a 2 4 1 a 3 0 所以a2 4a 12 0 所以 2 a 6 易混易错辨析用心练就一双慧眼 复合函数的定义域考虑不周致误 典例 已知函数f x lg x2 6x 5 在区间 m m 1 上是增函数 则m的取值范围是 错解 函数f x lg x2 6x 5 在区间 m m 1 上是增函数 所以u x x2 6x 5在 m m 1 上单调递增 所以m 1 3 m 2 故答案为 2 易错分析 函数f x 是复合函数 不但要求函数