高考数学总复习导学 第八篇 立体几何第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 理 新人教A版.doc

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2013年高考会这样考】1本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题【复习指导】1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理2异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键基础梳理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面三个作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线双基自测1(人教a版教材习题改编)下列命题是真命题的是()a空间中不同三点确定一个平面b空间中两两相交的三条直线确定一个平面c一条直线和一个点能确定一个平面d梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面，a错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，b错；经过直线和直线外一点确定一个平面，c错；故d正确答案d2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()a一定是异面直线 b一定是相交直线c不可能是平行直线 d不可能是相交直线解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾. 答案c3(2011浙江)下列命题中错误的是()a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析对于d, 若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的答案d4(2011武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()a12对 b24对 c36对 d48对解析如图所示，与ab异面的直线有b1c1；cc1，a1d1，dd1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案b5两个不重合的平面可以把空间分成_部分答案3或4考向一平面的基本性质【例1】正方体abcda1b1c1d1中，p、q、r分别是ab、ad、b1c1的中点，那么，正方体的过p、q、r的截面图形是()a三角形 b四边形 c五边形 d六边形审题视点 过正方体棱上的点p、q、r的截面要和正方体的每个面有交线解析如图所示，作rgpq交c1d1于g，连接qp并延长与cb交于m，连接mr交bb1于e，连接pe、re为截面的部分外形同理连pq并延长交cd于n，连接ng交dd1于f，连接qf，fg.截面为六边形pqfgre.答案d 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，p、q、r、s分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析在图中，可证q点所在棱与面prs平行，因此，p、q、r、s四点不共面可证中四边形pqrs为梯形；中可证四边形pqrs为平行四边形；中如图所示取a1a与bc的中点为m、n可证明pmqnrs为平面图形，且pmqnrs为正六边形答案考向二异面直线【例2】如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1、b1c1的中点问：(1)am和cn是否是异面直线？说明理由；(2)d1b和cc1是否是异面直线？说明理由审题视点 第(1)问，连结mn，ac，证mnac，即am与cn共面；第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下：连接mn、a1c1、ac.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，mna1c1.又a1a綉c1c，a1acc1为平行四边形，a1c1ac，mnac，a、m、n、c在同一平面内，故am和cn不是异面直线(2)是异面直线证明如下：abcda1b1c1d1是正方体，b、c、c1、d1不共面假设d1b与cc1不是异面直线，则存在平面，使d1b平面，cc1平面，d1，b、c、c1，与abcda1b1c1d1是正方体矛盾假设不成立，即d1b与cc1是异面直线 证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面【训练2】 在下图中，g、h、m、n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析如题干图(1)中，直线ghmn；图(2)中，g、h、n三点共面，但m面ghn，因此直线gh与mn异面；图(3)中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图(4)中，g、m、n共面，但h面gmn，gh与mn异面所以图(2)、(4)中gh与mn异面答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】(2011宁波调研)正方体abcda1b1c1d1中(1)求ac与a1d所成角的大小；(2)若e、f分别为ab、ad的中点，求a1c1与ef所成角的大小审题视点 (1)平移a1d到b1c，找出ac与a1d所成的角，再计算(2)可证a1c1与ef垂直解(1)如图所示，连接ab1，b1c，由abcda1b1c1d1是正方体，易知a1db1c，从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角ab1acb1c，b1ca60.即a1d与ac所成的角为60.(2)如图所示，连接ac、bd，在正方体abcda1b1c1d1中，acbd，aca1c1，e、f分别为ab、ad的中点，efbd，efac.efa1c1.即a1c1与ef所成的角为90. 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行【训练3】 a是bcd平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点(1)求证：直线ef与bd是异面直线；(2)若acbd，acbd，求ef与bd所成的角(1)证明假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a、b、c、d在同一平面内，这与a是bcd平面外的一点相矛盾故直线ef与bd是异面直线(2)解如图，取cd的中点g，连接eg、fg，则egbd，所以相交直线ef与eg所成的角，即为异面直线ef与bd所成的角在rtegf中，由egfgac，求得feg45，即异面直线ef与bd所成的角为45.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e、c、d1、f四点共面；(2)ce、d1f、da三线共点审题视点 (1)由efcd1可得；(2)先证ce与d1f相交于p，再证pad.证明(1)如图，连接ef，cd1，a1b.e、f分别是ab、aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e、c、d1、f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da，ce、d1f、da三线共点 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上【训练4】 如图所示，已知空间四边形abcd中，e、h分别是边ab、ad的中点，f、g分别是边bc、cd上的点，且，求证：三条直线ef、gh、ac交于一点证明e、h分别为边ab、ad的中点，eh綉bd，而，且fgbd.四边形efgh为梯形，从而两腰ef、gh必相交于一点p.p直线ef，ef平面abc，p平面abc.同理，p平面adc.p在平面abc和平面adc的交线ac上，故ef、gh、ac三直线交于一点阅卷报告10点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析【示例】(2011四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况实录甲同学：a乙同学：c丙同学：d.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故a错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，b正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故c错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故d错答案b【试一试】 (2010江西)过正方体abcda1b1c1d1的顶点a作直线l，使l与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，这样的直线l可