全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题9 几何综合问题.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24. （2012湖北恩施12分）如图，ab是o的弦，d为oa半径的中点，过d作cdoa交弦ab于点e，交o于点f，且ce=cb（1）求证：bc是o的切线；（2）连接af，bf，求abf的度数；（3）如果cd=15，be=10，sina=，求o的半径【答案】解：（1）证明：连接ob，ob=oa，ce=cb，a=oba，ceb=abc。又cdoa，a+aed=a+ceb=90。oba+abc=90。obbc。bc是o的切线。（2）连接of，af，bf，da=do，cdoa，oaf是等边三角形。aof=60。abf=aof=30。（3）过点c作cgbe于点g，由ce=cb，eg=be=5。易证rtadertcge，sinecg=sina=，。又cd=15，ce=13，de=2，由rtadertcge得，即，解得。o的半径为2ad=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接ob，有圆的半径相等和已知条件证明obc=90即可证明bc是o的切线。（2）连接of，af，bf，首先证明oaf是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出abf的度数。（3）过点c作cgbe于点g，由ce=cb，可求出eg=be=5，由rtadertcge和勾股定理求出de=2，由rtadertcge求出ad的长，从而求出o的半径。25. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在abc中，acb=900，点p是线段ac上一点，过点a作ab的垂线，交bp的延长线于点m，mnac于点n，pqab于点q，a0=mn（1）如图l，求证：pc=an；（2） 如图2，点e是mn上一点，连接ep并延长交bc于点k，点d是ab上一点，连接dk，dke=abc，efpm于点h，交bc延长线于点f，若np=2，pc=3，ck：cf=2：3，求dq的长【答案】解：（1）证明：baam，mnap，bam=anm=90。 paq+man=man+amn=90，paq=amn。pqab mnac，pqa=anm=90。aq=mn。aqpmna（asa）。an=pq，am=ap。amb=apm。apm=bpcbpc+pbc=90，amb+abm=90，abm=pbc。pqab，pcbc，pq=pc（角平分线的性质）。pc=an。（2）np=2 pc=3，由（1）知pc=an=3。ap=nc=5，ac=8。am=ap=5。paq=amn，acb=anm=90，abc=man。，bc=6。nekc，pen=pkc。又enp=kcp，pnepck。ck：cf=2：3，设ck=2k，则cf=3k。，。过n作ntef交cf于t，则四边形ntfe是平行四边形。ne=tf=，ct=cftf=3k。efpm，bfh+hbf=90=bpc+hbf。bpc=bfh。efnt，ntc=bfh=bpc。，。ct= 。 。ck=2=3，bk=bcck=3。pkc+dkc=abc+bdk，dke=abc，bdk=pkc。tanbdk=1。过k作kgbd于g。tanbdk=1，tanabc=，设gk=4n，则bg=3n，gd=4n。bk=5n=3，n=。bd=4n+3n=7n=。，aq=4，bq=abaq=6。dq=bqbd=6。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形aqpmna，得到an=pq；然后推出bp为角平分线，利用角平分线的性质得到pc=pq；从而得到pc=an。（2）由已知条件，求出线段kc的长度，从而确定pkc是等腰直角三角形；然后在bdk中，解直角三角形即可求得bd、dq的长度。26. （2012湖北十堰10分）如图1，o是abc的外接圆，ab是直径，odac，且cbd=bac，od交o于点e（1）求证：bd是o的切线；（2）若点e为线段od的中点，证明：以o、a、c、e为顶点的四边形是菱形；（3）作cfab于点f，连接ad交cf于点g（如图2），求的值【答案】解：（1）证明：ab是o的直径，bca=90。abc+bac=90。又cbd=bac，abc+cbd=90。abd=90。obbd。bd为o的切线。（2）证明：如图，连接ce、oc，be， oe=ed，obd=90，be=oe=ed。obe为等边三角形。boe=60。又odac，oac=60。又oa=oc，ac=oa=oe。acoe且ac=oe。四边形oace是平行四边形。而oa=oe，四边形oace是菱形。（3）cfab，afc=obd=90。又odac，caf=dob。rtafcrtobd。，即。又fgbd，afgabd。，即。【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由ab是o的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到bca=90，则abc+bac=90，而cbd=ba，得到abc+cbd=90，即obbd，根据切线的判定定理即可得到bd为o的切线。（2）连接ce、oc，be，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到be=oe=ed，则obe为等边三角形，于是boe=60，又因为acod，则oac=60，ac=oa=oe，即有acoe且ac=oe，可得到四边形oace是平行四边形，加上oa=oe，即可得到四边形oace是菱形。（3）由cfab得到afc=obd=90，而odac，则caf=dob，根据相似三角形的判定易得rtafcrtobd，则有，即，再由fgbd易证得afgabd，则，即，然后求fg与fc的比即可。27. （2012江苏镇江11分）等边abc的边长为2，p是bc边上的任一点（与b、c不重合），连接ap，以ap为边向两侧作等边apd和等边ape，分别与边ab、ac交于点m、n（如图1）。（1）求证：am=an；（2）设bp=x。若，bm=，求x的值；记四边形adpe与abc重叠部分的面积为s，求s与x之间的函数关系式以及s的最小值；连接de，分别与边ab、ac交于点g、h（如图2），当x取何值时，bad=150？并判断此时以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：abc、apd和ape都是等边三角形， ad=ap，dap=bac=600，adm=apn=600。dam=pan。 admapn（asa），am=an。（2）易证bpmcap， bn=，ac=2，cp=2x，即。 解得x=或x=。 四边形ampn的面积即为四边形adpe与abc重叠部分的面积。 admapn，。如图，过点p作psab于点s，过点d作dtap于点t，则点t是ap的中点。在rtbps中，p=600，bp=x，ps=bpsin600=x，bs=bpcos600=x。ab=2，as=abbc=2x。当x=1时，s的最小值为。连接pg，设de交ap于点o。若bad=150，dap =600，pag =450。apd和ape都是等边三角形，ad=dp=ap=pe=ea。四边形adpe是菱形。do垂直平分ap。gp=ag。apg =pag =450。pga =900。设bg=t，在rtbpg中，b=600，bp=2t，pg=。ag=pg=。，解得t=1。bp=2t=22。当bp=22时，bad=150。猜想：以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形adpe是菱形，aode，ado=aeh=300。bad=150，易得ago=450，hao=150，eah=450。设ao=a，则ad=ae=2 a，od=a。dg=dogo=（1）a。又bad=150，bac=600，ado=300，dha=dah=750。dh=ad=2a，gh=dhdg=2a（1）a=（3）a，he=2dodh=2a2a=2（1）a。，。以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由abc、apd和ape都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用asa证明。 （2）由bpmcap，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示s，用二次函数的最值原理求出s的最小值。 由bad=150得到四边形adpe是菱形，应用相关知识求解。 求出dg、gh、he的表达式，用勾股定理逆定理证明。28. （2012福建三明14分）在正方形abcd中，对角线ac，bd交于点o，点p在线段bc上（不含点b），bpeacb，pe交bo于点e，过点b作bfpe，垂足为f，交ac于点g（1） 当点p与点c重合时（如图）求证：bogpoe；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（5分）（3）把正方形abcd改为菱形，其他条件不变（如图），若acb=，求的值（用含的式子表示）（5分） 【答案】解：（1）证明：四边形abcd是正方形，p与c重合，ob=op ， boc=bog=90。pfbg ，pfb=90，gbo=90bgo，epo=90bgo。gbo=epo 。bogpoe（aas）。（2）。证明如下：如图，过p作pm/ac交bg于m，交bo于n，pne=boc=900， bpn=ocb。obc=ocb =450， nbp=npb。nb=np。mbn=900bmn， npe=900bmn，mbn=npe。bmnpen（asa）。bm=pe。bpe=acb，bpn=acb，bpf=mpf。pfbm，bfp=mfp=900。又pf=pf， bpfmpf（asa）。bf=mf ，即bf=bm。bf=pe， 即。（3）如图，过p作pm/ac交bg于点m，交bo于点n，bpn=acb=，pne=boc=900。由（2）同理可得bf=bm， mbn=epn。 bnm=pne=900，bmnpen。在rtbnp中， ，即。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由正方形的性质可由aas证得bogpoe。（2）过p作pm/ac交bg于m，交bo于n，通过asa证明bmnpen得到bm=pe，通过asa证明bpfmpf得到bf=mf，即可得出的结论。（3）过p作pm/ac交bg于点m，交bo于点n，同（2）证得bf=bm， mbn=epn，从而可证得bmnpen，由和rtbnp中即可求得。29. （2012辽宁沈阳12分）已知，如图，mon=60，点a，b为射线om，on上的动点（点a，b不与点o重合），且ab=，在mon的内部、aob的外部有一点p，且ap=bp，apb=120.（1）求ap的长；（2）求证：点p在mon的平分线上；（3） 如图，点c，d，e，f分别是四边形aobp的边ao，ob，bp，pa的中点，连接cd，de，ef，fc，op.当abop时，请直接写出四边形cdef的周长的值；若四边形cdef的周长用t表示，请直接写出t的取值范围【答案】解： (1) 过点p作pqab于点q pa=pb，apb=120 ，ab=4，aq=ab=4=2 ，apq=apb=120=60。在rtapq中， sinapq=ap= 4。（2）证明：过点p分别作psom于点s， pton于点t，osp=otp=90。在四边形ospt中，spt=360-osp-sot-otp=360-90-60-90=120，apb=spt=120。 aps=bpt。又asp=btp=90， ap=bp，apsbpt（aas）。 ps=pt。点p在mon的平分线上。（3） 8+4 4+4t8+4。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】（1）过点p作pqab于点q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知aq=bq=ab，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得ap的长度。（2）作辅助线ps、pt（过点p分别作psom于点s，pton于点t）构建全等三角形apsbpt；然后根据全等三角形的性质推知ps=ot；最后由角平分线的性质推知点p在mon的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形cdef的周长的值是op+ab。当abop时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得op的长度；当abop时，op取最大值，即四边形cdef的周长取最大值；当点a或b与点o重合时，四边形cdef的周长取最小值，据此写出t的取值范围。30. （2012辽宁大连12分）如图1，梯形abcd中，adbc，abc2bcd2，点e在ad上，点f在dc上，且bef=a.（1）bef=_(用含的代数式表示)；（2）当abad时，猜想线段ed、ef的数量关系，并证明你的猜想；（3）当abad时，将“点e在ad上”改为“点e在ad的延长线上，且aeab，abmde，adnde”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。【答案】解：（1）1802。（2）eb=ef。证明如下：连接bd交ef于点o，连接bf。adbc，a=180-abc=1802，adc=180c=180-。ab=ad，adb=（180a）=。bdc=adcadb=1802。由（1）得：bef=1802=bdc。又eob=dof，eobdof。，即。eod=bof，eodbof。efb=edo=。ebf=180befefb=efb。eb=ef。（3） 延长ab至g，使ag=ae，连接be，ge，则g=aeg=。adbc，edf=c=，gbc=a，deb=ebc。edf=g。bef=a，bef=gbc。gbc+ebc=deb+bef，即ebg=fed。defgbe。ab=mde，ad=nde，ag=ae=（n+1）de。bg=agab=（n+1）demde=（n+1m）de。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形abcd中，adbc，abc=2bcd=2，根据平行线的性质，易求得a的度数，又由bef=a，即可求得bef的度数：梯形abcd中，adbc，a+abc=180。a=180abc=1802。又bef=a，bef=a=1802。（2）连接bd交ef于点o，连接bf，由ab=ad，易证得eobdof，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得eodbof，又由相似三角形的对应角相等，易得ebf=efb=，即可得eb=ef。（3）延长ab至g，使ag=ae，连接be，ge，易证得defgbe，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。31. （2012辽宁鞍山12分）如图，正方形abco的边oa、oc在坐标轴上，点b坐标（3，3），将正方形abco绕点a顺时针旋转角度（090），得到正方形adef，ed交线段oc于点g，ed的延长线交线段bc于点p，连ap、ag（1）求证：aogadg；（2）求pag的度数；并判断线段og、pg、bp之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线pe的解析式【答案】解：（1）证明：aog=adg=90，在rtaog和rtadg中，ao=ad，ag=ag，aogadg（hl）。（2）pag =45,pg=og+bp。理由如下：由（1）同理可证adpabp，则dap=bap。由（1）aogadg，1=dag。又1+dag+dap+bap=90，2dag+2dap=90，即dag+dap=45。pag=dag+dap=45。aogadg，adpabp，dg=og，dp=bp。pg=dg+dp=og+bp。（3）aogadg，ago=agd。又1+ago=90，2+pgc=90，1=2，ago=agd=pgc。又ago+agd+pgc=180，ago=agd=pgc=60。1=2=30。在rtaog中，ao=3，og=aotan30=，g点坐标为：（，0），cg=3。在rtpcg中，pc=，p点坐标为：（3，）。设直线pe的解析式为y=kx+b，则，解得。直线pe的解析式为y=x1。【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由ao=ad，ag=ag，利用“hl”可证aogadg。（2）利用（1）的方法，同理可证adpabp，得出1=dag，dap=bap，而1+dag+dap+bap=90，由此可求pag的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段og、pg、bp之间的数量关系。（3）由aogadg可知，ago=agd，而1+ago=90，2+pgc=90，当1=2时，可证ago=agd=pgc，而ago+agd+pgc=180，得出ago=agd=pgc=60，即1=2=30，解直角三角形求og，pc，确定p、g两点坐标，得出直线pe的解析式。32. （2012山东威海11分）探索发现：已知：在梯形abcd中，cdab，ad、bc的延长线相交于点e，ac、bd相交于点o，连接eo并延长交ab于点m，交cd于点n。（1）如图，如果ad=bc，求证：直线em是线段ab的垂直平分线；（2）如图，如果adbc，那么线段am与bm是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形abcd的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：ad=bc，cdab，ac=bd，dab=cba。ae=be。 点e在线段ab的垂直平分线上。 在abd和bac中，ab=ba，ad=bc，ac=bd， abdbac（sss）。dba=cab。oa=ob。 点o在线段ab的垂直平分线上。 直线em是线段ab的垂直平分线。（2）相等。理由如下： cdab，edneam，encemb，edceab。 cdab，ondomb，oncoma，ocdoab。 。am2=bm2。am=bm。（3）作图如下： 作法： 连接ac，bd，两线相交于点o1； 在梯形abcd外dc上方任取一点e，连接ea，eb，分别交dc于点g，h； 连接bg，ah，两线相交于点o2； 作直线eo2，交ab于点m； 作直线mo1。则直线mo1。就是矩形abcd的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】（1）一方面由已知可得点e在线段ab的垂直平分线上；另一方面可由sss证明abdbac，从而得dba=cab，因此oa=ob，得出点o在线段ab的垂直平分线上。从而直线em是线段ab的垂直平分线。（2）一方面由cdab，得edneam，encemb，edceab，利用对应边成比例可得；另一方面由cdab，得ondomb，oncoma，ocdoab，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到am=bm的结论。（3）按（2）的结论作图即可。33. （2012四川泸州9分）如图，abc内接于o，ab是o的直径，c是的弧ad中点，弦ceab于点h，连结ad，分别交ce、bc于点p、q，连结bd。(1)求证：p是线段aq的中点；(2)若o的半径为5，aq=，求弦ce的长。【答案】解：（1）证明：ab是o的直径，弦ceab，。又c是弧的中点，。acp=cap。pa=pc。ab是直径acb=90。pcq=90acp，cqp=90cap。pcq=cqp。pc=pq。pa=pq，即p是aq的中点。（2），caq=abc。又acq=bcq，caqcba。又aq=，ba=10，。设ac=3k， bc=4k，则由勾股定理得，解得k=2。ac=6，bc=8。根据直角三角形的面积公式，得：acbc=abch，68=10ch。ch=。又ch=he，ce=2ch=。【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）首先利用等角对等边证明：acp=cap得到：pa=pc，然再证明pc=pq，即可得到p是aq的中点。（2）首先证明：caqcba，依据相似三角形的对应边的比相等求得ac、bc的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得ch的长，则可以求得ce的长。34. （2012四川成都10分）如图，ab是o的直径，弦cdab于h，过cd延长线上一点e作o的切线交ab的延长线于f切点为g，连接ag交cd于k （1）求证：ke=ge； （2）若=kdge，试判断ac与ef的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sine=，ak=，求fg的长【答案】解：（1）证明：如答图1，连接og。eg为切线，kge+oga=90。cdab，akh+oag=90。又oa=og，oga=oag。kge=akh=gke。ke=ge。（2）acef，理由如下：连接gd，如答图2所示。kg2=kdge，。又kge=gke，gkdegk。e=agd。又c=agd，e=c。acef。（3）连接og，oc，如答图3所示。 由（2）e=ach，sine=sinach=。可设ah=3t，则ac=5t，ch=4t。ke=ge，acef，ck=ac=5t。hk=ckch=t。在rtahk中，根据勾股定理得ah2+hk2=ak2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。设o半径为r，在rtoch中，oc=r，oh=r3t，ch=4t，由勾股定理得：oh2+ch2=oc2，即（r3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。ef为切线，ogf为直角三角形。在rtogf中，og=r=，tanofg=tancah=，fg=。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【分析】（1）如答图1，连接og根据切线性质及cdab，可以推出连接kge=akh=gke，根据等角对等边得到ke=ge。（2）ac与ef平行，理由为：如答图2所示，连接gd，由kge=gke，及kg2=kdge，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出gkd与ekg相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到c=agd，可推知e=c，从而得到acef。（3）如答图3所示，连接og，oc首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在rtogf中，解直角三角形即可求得fg的长度。35. （2012广西钦州10分）如图，ab是o的直径，ac是弦，直线ef经过点c，adef于点d，dac=bac（1）求证：ef是o的切线；（2）求证：ac2=adab；（3）若o的半径为2，acd=30，求图中阴影部分的面积【答案】解：（1）证明：连接oc，oa=oc，bac=oca。dac=bac，oca=dac。ocad。adef，ocef。oc为半径，ef是o的切线。（2）证明：ab为o直径，adef，bca=adc=90。dac=bac，acbadc。ac2=adab。（3）acd=30，ocd=90，oca=60.oc=oa，oac是等边三角形。ac=oa=oc=2，aoc=60。在rtacd中，ad=ac=1。由勾股定理得：dc=，阴影部分的面积是s=s梯形ocdas扇形oca=（2+1）。【考点】圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。【分析】（1）连接oc，根据oa=oc推出bac=oca=dac，推出ocad，得出ocef，根据切线的判定推出即可。（2）证adcacb，得出比例式，即可推出答案。（3）求出等边三角形oac，求出ac、aoc，在rtacd中，求出ad、cd，求出梯形ocda和扇形oca的面积，相减即可得出答案。36. （2012广西贵港11分）如图，rtabc的内切圆o与ab、bc、ca分别相切于点d、e、f，且acb90，ab5，bc3。点p在射线ac上运动，过点p作phab，垂足为h。（1）直接写出线段ac、ad以及o半径的长；（2）设phx，pcy，求y关于x的函数关系式；（3）当ph与o相切时，求相应的y值。【答案】解：（1）ac=4；ad=3，o半径的长为1。（2）在rtabc中，ab=5，ac=4，则bc=3。 c=90，phab，c=pha=90。a=a， ahpacb。，即。，即y与x的函数关系式是。（3）如图，ph与o相切于点m，连接od，oe，of，om。omh=mhd=hdo=90，om=od，四边形omhd是正方形。mh=om=1。ce、cf是o的切线，acb=90，cfo=fce=ceo=90，cf=ce。四边形ceof是正方形，cf=of=1。ph=pm+mh=pf+fc=pc，即x=y。又由（2）知，解得。【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接ao、do，eo，fo，设o的半径为r，在rtabc中，由勾股定理得ac=，o的半径r=（ac+bc-ab）=（4+3-5）=1。ce、cf是o的切线，acb=90，cfo=fce=ceo=90，cf=ce。四边形ceof是正方形。cf=of=1。又ad、af是o的切线，af=ad。af=ac-cf=ac-of=4-1=3，即ad=3。（2）通过相似三角形ahpacb的对应边成比例知， ，将“ph=x，pc=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。（3）根据圆的切线定理证得四边形omhd、四边形cfoe为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知ph=pm+mh=pf+fc=pc，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值。37. （2012贵州安顺12分）如图，在o中，直径ab与弦cd相交于点p，cab=40，apd=65（1）求b的大小；（2）已知ad=6，求圆心o到bd的距离【答案】解：（1）apd=