【创新设计】高考数学一轮复习 第九篇 解析几何2（考点梳理+考点自测+失分警示+专题集训）理 新人教A版.doc

第5讲双曲线【2014年高考会这样考】1考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问题2考查双曲线的离心率与渐近线问题77考点梳理1双曲线的定义(1)平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2)集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a0，c0；当ac时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)【助学微博】一条规律双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)两种方法求双曲线方程的两种方法：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程；(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值考点自测1(2011安徽)双曲线2x2y28的实轴长是()a2 b2 c4 d4解析将双曲线2x2y28化成标准方程1，则a24，所以实轴长2a4.答案c2(2013大连模拟)设p是双曲线1上一点，f1，f2分别是双曲线左、右两个焦点，若|pf1|9，则|pf2|()a1 b17c1或17 d以上答案均不对解析由双曲线定义|pf1|pf2|8，又|pf1|9，|pf2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|pf2|17.答案b3(2012全国)已知f1、f2为双曲线c：x2y22的左、右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2()a. b. c. d.解析因为c2224，所以c2,2c|f1f2|4，由题可知|pf1|pf2|2a2，|pf1|2|pf2|，所以|pf2|2，|pf1|4，由余弦定理可知，cosf1pf2，故选c.答案c4(2011山东)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bxay0，根据已知得2，即2，解得b2，则a25，故所求的双曲线方程是1.答案a5(2012江苏)在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e，所以m2.答案2考向一双曲线定义的应用【例1】(2012辽宁)已知双曲线x2y21，点f1，f2为其两个焦点，点p为双曲线上一点，若pf1pf2，则|pf1|pf2|的值为_审题视点 结合双曲线的定义与勾股定理求解解析不妨设|pf1|pf2|.由双曲线方程x2y21知ab1，c，由双曲线定义，得|pf1|pf2|2a2，由已知条件pf1pf2及勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)28，上述两式联立，解得|pf1|1，|pf2|1，故|pf1|pf2|2.答案2 双曲线定义的应用(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化【训练1】 (2012郑州二模)设f1，f2是双曲线x21的两个焦点，p是双曲线上的一点，且3|pf1|4|pf2|，则pf1f2的面积等于()a4 b8 c24 d48解析由可解得又由|f1f2|10可得pf1f2是直角三角形，则spf1f2|pf1|pf2|24.答案c考向二求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为yx，且经过点a(2，3)，则双曲线的标准方程为_审题视点 分别讨论双曲线的焦点在x轴上和y轴上，设出相应的标准方程可解；也可根据渐近线方程的形式设出双曲线的方程，再进行求解解析法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)a(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.答案1 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为1(mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为ax2by21(ab0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析由题意知双曲线的焦点为(，0)，(，0)，即c，又因为双曲线的离心率为e，所以a2，故b23，所以双曲线的方程为1.答案1考向三双曲线的几何性质及其应用【例3】设双曲线的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()a. b. c. d.审题视点 设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确定一个关于a，b，c的关系式，结合c2a2b2可解解析设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设一个焦点为f(c,0)，虚轴端点为b(0，b)，则kfb.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1(显然不符合)，即b2ac，又c2a2b2，所以c2a2ac，两边同除以a2，整理得e2e10，解得e(负值舍去)答案d (1)求双曲线的离心率，就是求c与a的比值，一般不需要具体求出a，c的值，只需列出关于a，b，c的方程或不等式解决即可(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求【训练3】 (2013杭州质检)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，渐近线分别为l1，l2，点p在第一象限内且在l1上，若l2pf1，l2pf2，则双曲线的离心率是()a. b2 c. d.解析如图，由l2pf1，l2pf2，可得pf1pf2，则|op|f1f2|c，设点p的坐标为，则 mc，解得ma，即得点p的坐标为(a，b)，则由kpf2，可得2ac，即e2，故应选b.答案b方法优化13巧妙运用双曲线的标准方程及其性质【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下【真题探究】 (2012浙江)如图，f1，f2分别是双曲线c：1(a，b0)的左，右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m.若|mf2|f1f2|，则c的离心率是()a. b. c. d.教你审题 第1步 求出直线f1b的方程；第2步 求出点p、q的坐标，及pq的中点坐标；第3步 求出pq的垂直平分线方程，令y0得m点的坐标；第4步 由|mf2|f1f2|建立等式关系，从而求得双曲线离心率一般解法 依题意，知直线f1b的方程为yxb，联立方程得点q，联立方程得点p，所以pq的中点坐标为.所以pq的垂直平分线方程为y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2，即3a22c2.所以e.故选b.答案 b优美解法 不妨设c1，则直线pq：ybxb，两渐近线为yx，因此有交点p，q，设pq的中点为n，则点n的坐标为，因为线段pq的垂直平分线与x轴交于点m，|mf2|f1f2|，所以点m的坐标为(3,0)，因此有kmn，所以34a2b21a2，所以a2，所以e.反思 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题另外，需注意双曲线的离心率e大于1，防止产生增解【试一试】 (2011新课标全国)设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为()a. b. c2 d3解析设双曲线c的方程为1，焦点f(c,0)，将xc代入1可得y2，所以|ab|222a，b22a2，c2a2b23a2，e.答案ba级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知双曲线中心在原点且一个焦点为f1(，0)，点p位于该双曲线上，线段pf1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是 () a.y21 bx21c.1 d.1解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由pf1的中点为(0,2)知，pf2x轴，p(，4)，即4，b24a，5a24a，a1，b2，双曲线方程为x21.答案b2(2012湖南)已知双曲线c：1的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，则c的方程为 ()a.1 b.1c.1 d.1解析不妨设a0，b0，c.据题意，2c10，c5.双曲线的渐近线方程为yx，且p(2,1)在c的渐近线上，1.由解得b25，a220，故正确选项为a.答案a3已知双曲线x21的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则的最小值为 ()a2 b c1 d0解析设点p(x，y)，其中x1.依题意得a1(1,0)，f2(2,0)，则有x21，y23(x21)，(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2，选a.答案a4.如图，中心均为原点o的双曲线与椭圆有公共焦点，m，n是双曲线的两顶点若m，o，n将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()a3 b2 c. d.解析设双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，由于m，o，n将椭圆长轴四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5已知双曲线c1：1(a0，b0)与双曲线c2：1有相同的渐近线，且c1的右焦点为f(，0)，则a_，b_.解析与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为(0)，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.答案126(2012江苏)在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析由题意得m0，a，b.c，由e，得5，解得m2.答案2三、解答题(共25分)7(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且|f1f2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若p为这两曲线的一个交点，求cosf1pf2的值解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设f1，f2分别为左、右焦点，p是第一象限的一个交点，则|pf1|pf2|14，|pf1|pf2|6，所以|pf1|10，|pf2|4.又|f1f2|2，cosf1pf2.8(13分)(2012合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求f1mf2的面积(1)解e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，f1(2，0)，f2(2，0)，kmf1，kmf2，kmf1kmf2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kmf1kmf21，mf1mf2，0.法二(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.m在双曲线上，9m26，m23，0.(3)解在f1mf2中，|f1f2|4，且|m|，sf1mf2|f1f2|m|46.b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013北京西城模拟)过双曲线1(a0，b0)的左焦点f(c,0)(c0)作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，若2，则双曲线的离心率为 ()a. b. c. d.解析设双曲线的右焦点为a，则，故2，即oeap.所以e是pf的中点，所以ap2oe2a.所以pf3a.在rtapf中，a2(3a)2(2c)2，即10a24c2，所以e2，即离心率为e ，选c.答案c2(2012福建)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ()a. b4 c3 d5解析易求得抛物线y212x的焦点为(3,0)，故双曲线1的右焦点为(3,0)，即c3，故324b2，b25，双曲线的渐近线方程为yx，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.答案a二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013临沂联考)已知点f是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_解析由题意知，abe为等腰三角形若abe是锐角三角形，则只需要aeb为锐角根据对称性，只要aef即可直线ab的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点a，则|af|，|ef|ac，只要|af|ef|就能使aef，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e0，b0)的两个焦点分别为f1，f2，点p在双曲线上，且pf1pf2，|pf1|8，|pf2|6.(1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点f1的直线与双曲线的两渐近线交于a，b两点，且2，求此直线方程解(1)由题意知，在rtpf1f2中，|f1f2|，即2c10，所以c5.由椭圆的定义，知2a|pf1|pf2|862，即a1.所以b2c2a224，故双曲线的方程为x21.(2)左焦点为f1(5,0)，两渐近线方程为y2x.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在设过左焦点的直线方程为yk(x5)，则与两渐近线的交点为和.由2，得2或者2，解得k.故直线方程为y(x5)6(13分)(2011江西)p(x0，y0)(x0a)是双曲线e：1(a0，b0)上一点，m，n分别是双曲线e的左，右顶点，直线pm，pn的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a，b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足，求的值解(1)由点p(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)联立得4x210cx35b20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又c为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化为240，解得0或4.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第6讲抛物线【2014年高考会这样考】1考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合2考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题3多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等考点梳理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(2)其数学表达式：|mf|d(其中d为点m到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离性质顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下【助学微博】一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”六个常见结论直线ab过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，如图y1y2p2，x1x2.|ab|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p.为定值.弦长ab(为ab的倾斜角)以ab为直径的圆与准线相切焦点f对a，b在准线上射影的张角为90.考点自测1(2011陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x2，则抛物线的方程是()ay28x by24x cy28x dy24x解析由准线方程x2，顶点在原点，可得两条信息：该抛物线焦点为f(2,0)；该抛物线的焦准距p4.故所求抛物线方程为y28x.答案c2(2011辽宁)已知f是抛物线y2x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为()a. b1 c. d.解析设抛物线的准线为l，作aa1l于a1，bb1l于b1，由抛物线的定义知|aa1|bb1|af|bf|3，则ab的中点到y轴的距离为(|aa1|bb1|).答案c3(2012四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|()a2 b2 c4 d2解析m(2，y0)在抛物线上，抛物线的标准方程可设为y22px(p0)，其准线方程为x.由抛物线的定义，m到该抛物线准线x的距离为3，即23，故p2，所以抛物线的标准方程为y24x.m(2，y0)在抛物线上，y8.由两点间的距离公式知|om|2.答案b4已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案y24x5(2013新乡模拟)若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为_解析双曲线1的右焦点f(3,0)是抛物线y22px的焦点，所以3，p6.答案6考向一抛物线的定义及其应用【例1】已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求|pa|pf|的最小值，并求出取最小值时p点的坐标审题视点 由定义知，抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d，求|pa|pf|的问题可转化为|pa|d的问题解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，a在抛物线内部如图，设抛物线上点p到准线l：x的距离为d，由定义知|pa|pf|pa|d，当pal时，|pa|d最小，最小值为，即|pa|pf|的最小值为，此时p点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点p的坐标为(2,2) 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解【训练1】 设p是曲线y24x上的一个动点，则点p到点b(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为_解析抛物线的顶点为o(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点f坐标为(1,0)，点p到点b(1,1)的距离与点p到准线x1的距离之和等于|pb|pf|.如图，|pb|pf|bf|，当b，p，f三点共线时取得最小值，此时|bf|.答案考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过p(2，4)的抛物线方程为_(2)设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a(0,2) b0,2c(2，) d2，)审题视点 (1)按焦点所在位置分类讨论求解；(2)由|fm|大于焦点到准线的距离(圆与抛物线相交)，再结合抛物线定义可求解析(1)由于点p在第三象限当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)，把点p(2，4)代入得：(4)22p(2)，解得p4，抛物线方程为y28x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，把点p(2，4)代入得：(2)22p(4)解得p.抛物线方程为x2y.综上可知抛物线方程为y28x或x2y.(2)抛物线的准线方程为y2，焦点f的坐标为(0,2)以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，|fm|4.据抛物线的定义知：|fm|2y0，2y04，y02.答案(1)y28x或x2y(2)c (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练2】 (2013郑州一模)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于点a，b，交其准线l于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为()ay29x by26xcy23x dy2x解析如图，分别过a，b作aa1l于a1，bb1l于b1，由抛物线的定义知：|af|aa1|，|bf|bb1|，|bc|2|bf|，|bc|2|bb1|，bcb130，afx60，连接a1f，则aa1f为等边三角形，过f作ff1aa1于f1，则f1为aa1的中点，设l交x轴于k，则|kf|a1f1|aa1|af|，即p，抛物线方程为y23x，故选c.答案c考向三抛物线的焦点弦问题【例3】已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)两点，且|ab|9.(1)求该抛物线的方程；(2)o为坐标原点，c为抛物线上一点，若，求的值审题视点 (1)利用焦点弦长公式可解；(2)设出c点坐标，找出关于c点坐标的关系式，代入抛物线方程可解解(1)直线ab的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得：|ab|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而a(1，2)，b(4,4)；设c(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2. 与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横(或纵)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差这是正确解题的关键【训练3】 若抛物线y24x的焦点为f，过f且斜率为1的直线交抛物线于a，b两点，动点p在曲线y24x(y0)上，则pab的面积的最小值为_解析由题意，得p2，直线ab过抛物线的焦点，则|ab|8(为直线ab的倾斜角)设p，则点p到直线ab的距离为d，pab的面积s|ab|d2，即pab的面积的最小值是2.答案2方法优化14有关抛物线焦点弦的解题技巧【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，选择题或填空题主要考查抛物线的基础知识(定义、方程、对称性等)，难度中等，解答题主要考查直线与抛物线的位置关系，但第一问往往是求抛物线的方程，难度较小，第二或第三问难度较大【真题探究】 (2012安徽)过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若|af|3，则aob的面积为()a. b. c. d2教你审题 第1步 由抛物线定义及|af|3求a点坐标；第2步 求直线ab的方程；第3步 联立直线ab与抛物线y24x的方程求b点横坐标；第4步 由公式求aob的面积一般解法 如图所示，由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又|af|3，由抛物线定义知：点a到准线x1的距离为3，点a的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点a的纵坐标y2，a(2,2)，直线af的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知b，saob|of|yayb|1|2|.故选c.优美解法 由题意，抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为l：x1，可得a点的横坐标为2，不妨设a(2,2)，则soaf，又知0sobfsoaf，故saob0)上一点p到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 ()a2 b18 c2或18 d4或16解析设p(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.答案c3(2011全国)已知抛物线c：y24x的焦点为f，直线y2x4与c交于a，b两点，则cosafb()a. b. c d解析由得x25x40，x1或x4.不妨设a(4,4)，b(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosafb.故选d.答案d4(2012山东)已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2y bx2ycx28y dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故c2：x216y，选d.答案d二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为8，则a的值为_解析依题意，有f，直线l为yx，所以a，oaf的面积为8.解得a16，依题意，只能取a16.答案166(2012陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py.由题意a(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设b(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米答案2三、解答题(共25分)7(12分)已知抛物线c：y22px(p0)过点a(1，2)(1)求抛物线c的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线c的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线c有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线oa与l的距离d，可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.8(13分)(2012温州十校联考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，直线l1过f2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点p.求线段pf1的垂直平分线与l2的交点m的轨迹方程，并指明曲线类型解(1)由e ，得.又由原点到直线yx2的距离等于椭圆短半轴的长，得b，则a.(2)法一由c1，得f1(1,0)，f2(1,0)设m(x，y)，则p(1，y)由|mf1|mp|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的m的轨迹方程为y24x，该曲线为抛物线法二因为点m在线段pf1的垂直平分线上，所以|mf1|mp|，即m到f1的距离等于m到l1的距离此轨迹是以f1(1,0)为焦点，l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1设f为抛物线y24x的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，若0，则| ()a9 b6 c4 d3解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，由于抛物线y24x的焦点f的坐标为(1,0)，由0，可得x1x2x33，又由抛物线的定义可得|x1x2x336.答案b2(2013洛阳统考)已知p是抛物线y24x上一动点，则点p到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()a. b. c2 d.1解析由题意知，抛物线的焦点为f(1,0)设点p到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点p到y轴的距离为|pf|1，所以点p到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|pf|1.易知d|pf|的最小值为点f到直线l的距离，故d|pf|的最小值为，所以d|pf|1的最小值为1.答案d二、填空题(每小题5分，共10分)3(2012北京)在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y24x的焦点f，且与该抛物线相交于a，b两点，其中点a在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为_解析直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得ya2(yb0，舍去)，故oaf的面积为12.答案4(2012重庆)过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a，b两点，若|ab|，|af|bf|，则|af|_.解析设过抛物线焦点的直线为yk，联立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|ab|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|af|0，y1y24，则|pq|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216，当，即时，|pq|2有最大值，|pq|的最大值为.探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值6(13分)(2012新课标全国)设抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，准线为l，a为c上一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点(1)若bfd90，abd的面积为4 ，求p的值及圆f的方程；(2)若a，b，f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得bfd为等腰直角三角形，|bd|2p，圆f的半径|fa|p.由抛物线定义可知a到l的距离d|fa| p.因为abd的面积为4 ，所以|bd|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以f(0,1)，圆f的方程为x2(y1)28.(2)因为a，b，f三点在同一直线m上，所以ab为圆f的直径，adb90.由抛物线定义知|ad|fa|ab|.所以abd30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与c只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的纵截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第7讲直线与圆锥曲线的位置关系【2014年高考会这样考】1考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想