高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.1 平均变化率课件 苏教版选修22.ppt

1 1 1平均变化率 第1章1 1导数的概念 学习目标1 了解平均变化率的实际背景 2 理解平均变化率的含义 3 会求函数在某一点附近的平均变化率 并能用平均变化率解释一些实际问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图 并建立如图所示平面直角坐标系 a是出发点 h是山顶 爬山路线用函数y f x 表示 自变量x表示某旅游者的水平位置 函数值y f x 表示此时旅游者所在的高度 设点a的坐标为 x1 y1 点b的坐标为 x2 y2 思考1 若旅游者从点a爬到点b 自变量x和函数值y的改变量分别是多少 答案 答案自变量x的改变量为x2 x1 函数值y的改变量为y2 y1 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度 答案 思考3 答案 1 一般地 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率为 2 平均变化率是曲线陡峭程度的 或者说 曲线陡峭程度是平均变化率的 特别提醒 在函数平均变化率的定义中 应注意以下几点 函数在区间 x1 x2 上有意义 在式子中 x2 x1 0 而f x2 f x1 的值可正 可负 可为0 实质 的增量与的增量之比 作用 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 梳理 数量化 视觉化 函数值 自变量 题型探究 例1 1 求函数f x 3x2 2在区间 2 2 1 上的平均变化率 解答 类型一函数在某区间上的平均变化率 解函数f x 3x2 2在区间 2 2 1 上的平均变化率为 2 求函数g x 3x 2在区间 2 1 上的平均变化率 解答 解函数g x 3x 2在区间 2 1 上的平均变化率为 求函数平均变化率的步骤 1 求自变量的改变量x2 x1 2 求函数值的改变量f x2 f x1 反思与感悟 跟踪训练1 1 已知函数f x x2 2x 5 则f x 在区间 1 0 上的平均变化率为 解析 f 1 1 2 2 1 5 6 f 0 5 1 答案 解析 2 如图所示是函数y f x 的图象 则函数f x 在区间 1 1 上的平均变化率为 函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 答案 解析 解析函数f x 在区间 1 1 上的平均变化率为 所以函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 例2物体的运动方程为s 位移单位 m 时间单位 s 求物体在t 1s到t 1 t s这段时间内的平均速度 类型二实际问题中的平均变化率 解答 平均变化率问题在生活中随处可见 常见的有求某段时间内的平均速度 加速度 膨胀率 经济效益等 分清自变量和因变量是解决此类问题的关键 反思与感悟 跟踪训练2 1 圆的半径r从0 1变化到0 3时 圆的面积s的平均变化率为 解析 s r2 圆的半径r从0 1变化到0 3时 0 4 答案 解析 2 在f1赛车中 赛车位移 单位 m 与比赛时间t 单位 s 存在函数关系s 10t 5t2 则赛车在 20 20 1 上的平均速度是多少 解答 例3甲 乙两人走过的路程s1 t s2 t 与时间t的关系如图所示 则在 0 t0 这个时间段内 甲 乙两人的平均速度v甲 v乙的关系是 填序号 v甲 v乙 v甲 v乙 v甲 v乙 大小关系不确定 类型三函数平均变化率的应用 答案 解析 解析由图象可知s1 t0 s2 t0 s1 0 s2 0 所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢 平均变化率的绝对值越大 函数在区间上的变化率越快 平均变化率的绝对值越小 函数在区间上的变化率越慢 反思与感悟 跟踪训练3汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示 在时间段 t0 t1 t1 t2 t2 t3 上的平均速度分别为则三者的大小关系是 答案 解析 由图象知 koa kab kbc 当堂训练 1 一物体的运动方程是s 3 2t 则在 2 2 1 这段时间内的平均速度是 答案 2 3 4 5 1 解析 2 2 已知函数f x x2 3 当x 2 x 0 1时 y的值是 答案 2 3 4 5 1 解析 0 41 解析 y f x x f x f 2 0 1 f 2 0 41 3 函数f x 2x 4在区间 a b 上的平均变化率为 2 3 4 5 1 答案 解析 2 4 某人服药后 人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c 单位 mg ml 来表示 它是时间t 单位 min 的函数 表示为c c t 下表给出了c t 的一些函数值 2 3 4 5 1 答案 解析 服药后30 70min这段时间内 药物浓度的平均变化率为 0 002 5 如图 函数y f x 在 x1 x2 x2 x3 x3 x4 这几个区间上 平均变化率最大的一个区间是 2 3 4 5 1 x3 x4 结合图象可以发现函数y f x 的平均变化率最大的一个区间是 x3 x4 答案 解析 规律与方法 1 求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题 1 平均变化率的公式中 分子是区间两端点间的函数值的差 分母是区间两端点间的自变量的差 2 平均变化率公式中 分子 分母中被减数同为右端点 减数同为左端点 2 一次函数的平均变化率 由上述计算可知 一次函数y kx b在区间 m n 上的平均变化率与m n的取值无关 只与一次项系数有关 且其平均变化率等于一次项的系数 一次函数y kx b