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高等数学讲义第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解函数的概念2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.（二） 内容提要1.函数的定义(1) 函数的定义定义1 设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量.当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集=称为函数的值域.定义2 设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记为 ,称为对应的函数值，记为,其中，称为自变量，称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应于自变量的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，确定的对应规则为就是一个函数.(2) 函数的两要素函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是相同的函数.2 函数的三种表示方法(1) 图像法 (2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如 就是一个定义在区间上的分段函数. 用参数方程确定的函数 用参数方程 （）表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数可以用参数方程表示. 隐函数 如果在方程中，当在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的值存在，则称方程在区间I内确定了一个隐函数.例如方程就确定了变量是变量之间的函数关系.注意 能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如可以化成显函数.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如.3 函数的四种特性设函数的定义域为区间，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表函数的特性定 义图像特点奇偶性 设函数的定义域关于原点对称，若对任意满足则称是上的偶函数；若对任意满足则称是上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于原点对称单调性 若对任意，当时，有,则称函数是区间上的单调增加函数；当时，有,则称函数是区间上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区间单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线; 单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线有界性 如果存在，使对于任意满足则称函数是有界的图像在直线与之间周期性 如果存在常数，使对于任意，有则称函数是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期在每一个周期内的图像是相同的4 基本初等函数六种基本初等函数见下表 六种基本初等函数表函数解析表达式常函数（为常数）幂函数（为常数）指数函数（,为常数）对数函数（,为常数）三角函数反三角函数arcarc,arc5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1求函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域:(1) =+ ，(2) =.小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零；(II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 ，要满足；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求.2将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1) ， （2） . 小结 （I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.3 建立实际问题的函数模型的方法 例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型. 小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为 ：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式，并指明其定义域.三、学法建议1本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法.2本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高. 3从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.第二章 极限与函数一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解极限的描述性定义2了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质3会用两个重要极限公式求极限4掌握极限的四则运算法则5理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类6了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7会用函数的连续性求极限（二）内容提要极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号设函数在 为某个正实数)时有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于无穷”）时函数的极限或设函数为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于正无穷”）时函数的极限或设函数(为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大且时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于负无穷”）时函数的极限或设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限或设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的左极限或设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的右极限或数列的极限对于数列，若当自然数无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数,则称为当趋于无穷时数列的极限，或称数列收敛于或若数列的极限不存在，则称数列发散不存在（2）单侧极限与极限的关系定理的充分必要条件是的充分必要条件是（）极限存在准则单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限夹逼准则若当时，有，且，则2. 极限的四则运算法则设及都存在，则(1) ；(2) , (为任意常数);(3) 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立3 两个重要极限(1) 一般形式为（其中代表的任意函数）(2) 一般形式为 （其中代表的任意函数） 无穷小量与无穷大量（）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小例如,如果，则称当时,是无穷小量注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数（） 无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” （）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量（）无穷小量的运算 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 常数与无穷小量的乘积是无穷小量（5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义无穷小量的比较表设在自变量的变化过程中，均是无穷小量无穷小的比较定 义记 号（）（）（） 极限与无穷小量的关系定理的充分必要条件是，其中是当时的无穷小量（） 无穷小的替换定理设当时，存在，则5函数的连续性 函数在一点连续的概念函数在一点连续的两个等价的定义：定义设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ，则称函数在点处连续，或称是的一个连续点定义若，则称函数在点处连续 左右连续的概念若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续 函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：函数在点的某邻域内有定义，存在，这个极限等于函数值函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 间断点若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点 间断点的分类设为的一个间断点，如果当时，的左极限、右极限都存在，则称为的第一类间断点；否则，称为的第二类间断点对于第一类间断点有以下两种情形： 当与都存在，但不相等时，称为的跳跃间断点； 当存在，但极限不等于时，称为的可去间断点 初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得 介值定理 设是闭区间上连续函数，且，则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点，使得二、主要解题方法1求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：（1）， （2） 当为何值时，在的极限存在.解 (1),因为左极限不等于右极限，所以极限不存在（2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限于是，有， ，为使存在，必须有=，因此 ，当=1 时， 存在且 =1小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在 （3）利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 解 (1) =(2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则原式=(3) 当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则即原式=(4) 当时，分子分母均无极限，呈现形式需分子分母同时除以，将无穷大的约去，再用法则求原式=小结 （）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用（II）求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法（）对于型，往往需要先通分，化简，再求极限，（）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，（）对分子、分母进行因式分解，再求极限，（）对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限（3）利用无穷小的性质求极限例3 求下列函数的极限（1） ， （2）解（1） 因为 而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 （2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而 ，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得.小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）（4）利用两个重要极限求函数的极限例4 求下列函数的极限：（1） ， （2）解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=（2）解一 原式=，解二 原式=小结 （）利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量；（）用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型,为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；（）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。(5) 利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有当 时,例5 求下列函数的极限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）= （） 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错如上题 , 即得一错误结果（6）利用函数的连续性求极限例6 求下列函数的极限 （1） ， （2）解 (1) 因为是初等函数，在处有定义，所以 ，(2) 函数看成由 复合而成，利用分子有理化，然后利用复合函数求极限的法则来运算 =小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序2判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性 例 7 讨论函数 ， 在点处的连续性 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续三、学法建议1本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分知识，建议读者自己去总结经验体会，多做练习2本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要注意弄清它们之间的实质关系3要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性第三章 导数与微分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点 求复合函数和隐函数的导数的方法.（二） 内容提要1.导数的概念导数设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限 存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即 .若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为 . 左导数与右导数 函数在点处的左导数 . 函数在点处的右导数.函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等 导数的几何意义曲线的切线在曲线上点的附近，再取一点，作割线，当点沿曲线移动而趋向于时，若割线的极限位置存在，则称直线为曲线在点处的切线导数的几何意义函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:曲线上点处的切线斜率是纵标变量对横标变量的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.如果函数在点处的导数为无穷(即,此时在处不可导),则曲线上点处的切线垂直于轴.函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.5. 高阶导数二阶导数函数的一阶导数仍然是的函数，则将一阶导数的导数称为函数的二阶导数，记为或或，即= 或 =.阶导数 阶导数的导数称为阶导数（=3，4，,）分别记为, , ,，或, , ,，或, , , ，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6 . 微分微分的定义如果函数在点处的改变量，可以表示成 ，其中是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为的线性主部，又称为函数在点处的微分，记为或，即.微分的计算，其中,为自变量.一阶微分形式不变性对于函数,不论是自变量还是因变量,总有成立.7. 求导公式 微分公式表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表3.1求导与微分公式求导公式微分公式基本初等函数求导公式 基本初等函数微分公式 对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式表示函数对自变量的导数，即=,(2) 求导公式表示函数对函数的导数，即=.8. 求导法则 微分法则求导法则,微分法则见下表3.2复合函数求导法则参数方程求导法则隐函数求导法对数求导法表3.2 求导与微分法则表求导法则微分法则函数的四则运算求导法则函数的四则运算微分法则 复合函数求导法则设，则复合函数的导数为 复合函数微分法则设函数，,则函数的微分为，此式又称为一阶微分形式不变性参数方程确定的函数的导数若参数方程确定了是的函数，则 或 =反函数求导法则设的反函数为，则或 9. 微分近似公式（1）微分进行近似计算的理论依据对于函数,若在点处可导且导数，则当很小时，有函数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式.(2) 微分进行近似计算的4个近似公式设函数在点处可导且导数，当很小时，有近似公式，即， 令，则， 特别地，当，很小时，有 . 二、主要解题方法1用导数的定义求函数导数的方法例1 求在处的导数.解 由导数的定义知.例2 求 ，的导数.解 当时， ， 当时，当时，所以 ，因此 ，于是 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.2 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3 设求.解 ，.例 4 设 求 .解 利用复合函数求导法求导，得.小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数在点可导，否则法则失效.如在点，用四则运算法则求导，不存在，但由例1知 在的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.3对数求导方法例 5 已知 = ，求.解 两边取对数，得：，两边对同一自变量求导，得，.小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.4隐含数的求导法例 6 已知 求.解 两端对求导，得 ，整理得 ，故 ，上式两端再对求导，得=，将 代入上式，得.小结 在对隐函数求二阶导数时，要将的表达式代入中，注意，在的最后表达式中，切不能出现.5由参数方程所确定的函数的求导法例7 设 求 .解 ，.小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.6求函数微分的方法例8 求函数的微分.解一 用微分的定义求微分， 有. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 .小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.7利用微分求近似值例9 求的近似值.解 设 ，由近似公式，得 ，取 ，则有 .例10 有一批半径为的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为）解 所镀铜的体积为球半径从增加时，球体的增量.故由知，所镀铜的体积为 ，质量为 .小结 利用公式计算函数近似值时，关键是选取函数的形式及正确选取.一般要求 便于计算，越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，必须换成弧度.8求曲线的切线方程例11 求曲线的切线，使该切线平行于直线. 解 方程 两端对求导，得 ， ， ，由于该切线平行于直线 所以有 ， ， ，.因为切线必在曲线上，所以，将代入曲线方程得 ，解之 ，此时 ，切点的坐标为,，切线的斜率分别为 ，因此得切线的方程分别为 ， 即 ， ， 即 .9求函数的变化率例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是，问2末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解 设最外圈波纹半径为，扰动水面面积为，则 两边同时对 求导，得 从而 ， 又 为常数，故 （类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系），因此 ，故有 .因此，2末受到扰动的水面面积的增大率为.小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数.三、学法建议 1本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.2 要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限，微分是函数增量的线性主部，在概念上两者有着本质的区别.3 复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式必须弄清每一项是对哪个变量求导，如 , 因为 理解公式还要和微商结合起来，右边的微分约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质. 4利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率及切点的坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，一定要弄清是对哪个变量的变化率，如速度再有一类是用微分近似计算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系，正确选取及，切莫用中学数学方法求问题的准确值，否则是不符合题意的.第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1. 三个微分中值定理 罗尔（Rolle）定理如果函数满足下列三个条件：在闭区间上连续;在开区间内可导;,则至少存在一点使. 拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数满足下列两个条件：在闭区间上连续；在开区间内可导,则至少存在一点，使得或. 柯西（Cauchy）中值定理如果函数与满足下列两个条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，且,则在内至少存在一点，使得 .2.洛必达法则如果;函数与在某个邻域内（点可除外）可导，且；,则 .注意 上述定理对于时的型未定式同样适用,对于或时的型未定式也有相应的法则.3. 函数的单调性定理设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则有若在内，则函数在上单调增加；若在内，则函数在上单调减少.4 . 函数的极值、极值点与驻点 极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点，都有，则称是函数的极大值；如果对于该邻域内任一点，都有，则称是函数的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点. 驻点 使的点称为函数的驻点. 极值的必要条件 设函数在处可导，且在点处取得极值，那么. 极值第一充分条件设函数在点连续，在点的某一去心邻域内的任一点处可导,当在该邻域内由小增大经过时，如果由正变负，那么是的极大值点，是的极大值；由负变正，那么是的极小值点，是的极小值；不改变符号，那么不是的极值点. 极值的第二充分条件设函数在点处有二阶导数，且，则是函数的极值点，为函数的极值，且有如果，则在点处取得极大值；如果，则在点处取得极小值.5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点曲线凹向定义 若在区间内曲线各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.曲线凹向判定定理 设函数在区间内具有二阶导数， 如果在区间内，则曲线在内是上凹的. 如果在区间内，则曲线在内是下凹的.拐点若连续曲线上的点是曲线凹、凸部分的分界点，则称点是曲线的拐点.7. 曲线的渐近线水平渐近线若当(或或)时，有（为常数），则称曲线有水平渐近线.垂直渐近线若当(或或)（为常数）时，有，则称曲线有垂直渐近线.斜渐近线若函数满足， (其中自变量的变化过程可同时换成或)，则称曲线有斜渐近线.二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法例1 求下列极限（1） （2） （3）（4） （5） 解 （1）由于时，故原极限为型，用洛必达法则 所以 （分母等价无穷小代换）.（2） 此极限为，可直接应用洛必达法则 所以 = .（3） 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. .（4）所求极限为型，得 （型） =（5）此极限为 型，用洛必达法则，得不存在，但 .小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于或未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当不存在时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限.2 . 单调性的判别与极限的求法例2 试证当时，.证 令，易见在内连续，且.当时，可知为上的严格单调减少函数，即当时，可知为上的严格单调增加函数，即.故对任意 有即 .例 3 求函数的单调性与极值.解 函数的定义域为. ，令 驻点 列表 -0-0+极小由上表知，单调减区间为，单调增区间为，极小值 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 不能确定处是否取极值，得是极小值.小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数；利用导数判定的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对、及同时不存在的点不能使用.3. 求函数的凹向及拐点的方法例4 求函数的凹向及拐点.解 函数的定义域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐点拐点 由此可知，上凹区间,下凹区间，曲线的拐点是.小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使不存在的点取得.4. 求函数的最大值与最小值的方法例5 求函数 在区间上的最大值与最小值 . 解 函数在上连续， 由于，令 ， 则 ，在处不存在. 故.小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出在内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5 . 求曲线渐近线的的方法.例6 求下列曲线的渐近线（1） （2） .解 （1）所给函数的定义域为.由于 ，可知 为 所给曲线的水平渐近线.由于 ，可知 为曲线的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域,.由于 ， ，可知 为所给曲线的铅直渐近线（在的两侧的趋向不同）.又 ，所以 是曲线的一条斜渐近线.6 . 函数图形的描绘例 7 作出函数 的图形.解 函数的定义域， ， ，令 ， 解得 .列表-10+0+0 极小拐点 由上表可知： 极小值， 拐点 .（3）渐近线-1 xyO，所以 是水平渐近线，所以 是铅直渐近线. （4）作图如图所示.7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法 例 8 一条边长为的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解 设截取的小方块的边长为 ，则方盒子的容积为 令 ， 得驻点 （不合题意，舍去）由于在内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.因此， 当时 取得最大值.故当正方形薄片四角各截去一个边长是的小方块后，折成一个无盖方盒子的容积最大 .小结 求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数，若根据实际问题本身可以断定可导函数一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部有惟一的极值点，则该极值点一定是最值点.三 、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例1 中的几点注意，并且和教科书第二章求极限的方法结合起来使用.4. 函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等，这就要求读者按教材中指出的步骤完成.第五章 不定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解原函数、不定积分的概念及其性质2掌握不定积分的基本公式3掌握不定积分的换元法和分部积分法重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法难点 不定积分的换元法和分部积分法（二）内容提要1原函数与不定积分（1）原函数设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有,则称为在该区间上的一个原函数关于原函数的问题，还要说明两点:原函数的存在问题：如果在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）原函数的一般表达式：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数(2)不定积分若是在某区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）称为在该区间上的不定积分，记为，即 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数对于这两个式子，要记准，要熟练运用2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式如下： 3不定积分的性质（1）积分对于函数的可加性，即,可推广到有限个函数代数和的情况，即 (2)积分对于函数的齐次性，即 4分部积分公式 二、主要解题方法1直接积分法例1 计算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即 =（2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换 得原式=+=小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理然后分项计算2换元积分法（1）第一换元积分法(凑微分法） = .例2 计算 （1） ， （2）解 （1） 选择换元函数使所给积分化为基本积分形式，再求出结果 为此，令 ，则 ，于是 =为简便起见，令 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,= （ 称为凑微分）（2）=小结 凑微分法一般不明显换新变量，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便（2）第二换元积分法= （其中 是单调可微函数） 例3 计算 （1） ， （2）解（1） 令, 则 , ,于是原式=.（2） 设 , , 于是1原式= = = = 小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 也可用函数的三角代换求出结果通常 当被积分函数含有根式 时，可令 ,当被积分函数含有根式 时，可令 , 当被积分函数含有根式 时，可令 .3. 分部积分法 分部积分的公式为 =.应用此公式应注意:（1） 要用凑微分容易求出,（2） 比容易求.例4 计算 （1） ， （2） 解 （1） 选 ， ， , 于是 原式 , 对于 再使用分部积分法,选， , 则 ，,从而 =原式=（）,为了简便起见，所设 , 等过程不必写出来，其解题步骤如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出现了“循环”，即再出现了移至左端，整理得=+小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有以及上面所讲的等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数三、学法建议1本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式如 ， ，,等等2不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法如 ，先换元，令，再用分部积分法即可， =，也可多次使用分部积分公式3求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握第六章定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1理解定积分的概念