高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理课件 北师大版选修23.ppt

1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一章计数原理 学习目标1 理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理 2 会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一分类加法计数原理 加法原理 该志愿者从上海到天津的方案可分几类 答案 答案两类 即乘飞机 坐火车 第十三届全运会在中国天津盛大召开 一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务 每天有7个航班 6列火车 思考2 这几类方案中各有几种方法 答案 答案第1类方案 乘飞机 有7种方法 第2类方案 坐火车 有6种方法 思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法 答案共有7 6 13 种 不同的方法 分类加法计数原理 加法原理 完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类办法中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 那么 完成这件事共有n 种方法 梳理 m1 m2 mn 思考1 知识点二分步乘法计数原理 乘法原理 李娜从北京到a城需要经过几个步骤 答案 答案2个 李娜为备战网球公开赛 需从北京到a城进行封闭式训练 中途要在b城停留 若从北京到b城有7次航班 从b城到a城有6列动车 思考2 李娜从北京到a城共有多少种不同的方法 答案7 6 42 种 梳理 分步乘法计数原理 乘法原理 完成一件事需要经过n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这件事共有n 种方法 m1 m2 mn 题型探究 解答 例1在所有的两位数中 个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 类型一分类加法计数原理 解方法一一个两位数由十位数字和个位数字组成 可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能 一个两位数的个位数字可以是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 把这样的两位数分成10类 第一类 当个位数字为0时 十位数字可以是1 2 3 4 5 6 7 8 9 有9个满足条件的两位数 第二类 当个位数字为1时 十位数字可以是2 3 4 5 6 7 8 9 有8个满足条件的两位数 第三类 当个位数字为2时 十位数字可以是3 4 5 6 7 8 9 有7个满足条件的两位数 以此类推 当个位数字分别是3 4 5 6 7 8 9时 满足条件的两位数的个数分别为6 5 4 3 2 1 0 由分类加法计数原理 满足条件的两位数有9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45 个 故个位数字小于十位数字的两位数共有45个 方法二考虑两位数 ab 与 ba 中 个位数字与十位数字的大小关系 利用对应思想解决 在总共90个两位数中 个位数字等于十位数字的两位数为11 22 33 99 共9个 另有10 20 30 90 共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置 其余90 18 72个两位数 按 ab 与 ba 进行一一对应 则每一个 个位数字小于十位数字的两位数 就与另一个 十位数字小于个位数字的两位数 对应 故其中 个位数字小于十位数字的两位数 有72 2 36 个 故满足条件的两位数的个数为9 36 45 即个位数字小于十位数字的两位数共有45个 1 应用分类加法计数原理时 完成这件事的n类方法是相互独立的 无论哪种方案中的哪种方法 都可以独立完成这件事 2 利用分类加法计数原理解题的一般思路 反思与感悟 解析因为椭圆的焦点在x轴上 所以m n 当m 4时 n 1 2 3 当m 3时 n 1 2 当m 2时 n 1 即所求的椭圆共有3 2 1 6 个 跟踪训练1设集合a 1 2 3 4 m n a 则方程表示焦点位于x轴上的椭圆的有a 6个b 8个c 12个d 16个 解析 答案 例2 1 4名同学选报跑步 跳高 跳远3个项目 每人报一项 共有多少种报名方法 解答 解要完成的是 4名同学每人从3个项目中选一项报名 这件事 因为每人必报一项 4名同学都报完才算完成 于是按人分步 且分为四步 又每人可在三项中选一项 选法为3种 所以共有3 3 3 3 81 种 报名方法 类型二分步乘法计数原理 2 4名同学争夺跑步 跳高 跳远三项冠军 每项冠军只允许一人获得 共有多少种可能的结果 解答 解要完成的是 三个项目冠军的获取 这件事 因为每项冠军只能有一人获得 三项冠军都有得主 这件事才算完成 于是应以 确定三项冠军得主 为线索进行分步 而每项冠军是4名同学中的某一人 有4种可能的情况 于是共有4 4 4 64 种 可能的情况 在运用分步乘法计数原理解决问题时 应首先弄清分步的主体是什么 再根据主体进行分步 最后根据分步乘法计数原理进行解题 反思与感悟 跟踪训练2从 2 1 0 1 2 3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ax2 bx c的系数a b c 则可以组成抛物线的条数为 答案 解析 解析由题意知a不能为0 故a的值有5种选法 b的值也有5种选法 c的值有4种选法 由分步乘法计数原理 得抛物线的条数为5 5 4 100 100 类型三两个计数原理的应用 例3如图 一环形花坛分成a b c d四块 现有4种不同的花供选种 要求在每块地里种1种花 且相邻的2块种不同的花 问共有多少种不同的种植方法 解答 解方法一分为两类 第一类 当花坛a c中种的花相同时有4 3 3 36 种 第二类 当花坛a c中种的花不同时有4 3 2 2 48 种 共有36 48 84 种 方法二分为四步 第一步 考虑a 有4种 第二步 考虑b 有3种 第三步 考虑c 有两类 一是a与c相同 c的选法有1种 这样第四步d的选法有3种 二是a与c不同 c的选法有2种 此时第四步d的选法也有2种 共有4 3 1 3 2 2 84 种 综合应用两个原理时 一定要把握好分类与分步 分类是根据完成方法的不同类别 分步是根据一种方法进程的不同步骤 反思与感悟 解由题意 四棱锥s abcd的顶点s a b所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b染色确定时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染2 则d可染3或4或5 有3种染法 若c染4 则d可染3或5 有2种染法 若c染5 则d可染3或4 有2种染法 由分类加法计数原理知 当s a b染法确定时 c d有7种染法 由分步乘法计数原理得 不同的染色方法有60 7 420 种 解答 跟踪训练3如图所示 将四棱锥s abcd的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 当堂训练 2 3 4 5 1 1 在2 3 5 7 11这五个数字中 任取两个数字组成分数 其中假分数的个数为a 20b 10c 5d 24 解析 解析当分子为11时 分母可为2 3 5 7 所以可构成4个假分数 当分子为7时 分母可为2 3 5 所以可构成3个假分数 当分子为5时 分母可为2 3 所以可构成2个假分数 当分子为3时 分母可为2 所以可构成1个假分数 由分类加法计数原理可得 假分数的个数为4 3 2 1 10 答案 2 3 4 5 1 2 现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤 如果一条长裤与一件上衣配成一套 则不同的配法种数为a 7b 12c 64d 81 答案 解析 解析要完成配套 分两步 第1步 选上衣 从4件上衣中任选一件 有4种不同的选法 第2步 选长裤 从3条长裤中任选一条 有3种不同的选法 故共有4 3 12 种 不同的配法 2 3 4 5 1 3 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座 每名同学可自由选择其中的一个讲座 不同选法的种数是a 56b 65c d 6 5 4 3 2 答案 解析 解析每位同学都有5种选择 共有5 5 5 5 5 5 56 种 2 3 4 5 1 4 如图 用4种不同的颜色涂入图中的矩形a b c d中 要求相邻的矩形涂色不同 则不同的涂法有 种 答案 108 解析 解析a有4种涂法 b有3种涂法 c有3种涂法 d有3种涂法 共有4 3 3 3 108 种 涂法 5 如图 a c有 种不同的走法 答案 解析 解析a c的走法可分两类 第一类 a c 有2种不同走法 第二类 a b c 有2 2 4种不同走法 根据分类加法计数原理 得共有