北京市东城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为1，则a的值为( )A4B2C2D42二次函数y=x2+2x+4的最大值为( )A3B4C5D63下列图形中，是中心对称图形的为( )A1个B2个C3个D4个4一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A至少有1个球是黑球B至少有1个球是白球C至少有2个球是黑球D至少有2个球是白球5在RtABC中，C=90，若BC=1，AC=2，则cosA的值为( )ABCD26若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( )Ax1=0，x2=4Bx1=1，x2=5Cx1=1，x2=5Dx1=1，x2=57如图，在ABC中，DEBC，AD=6，DB=3，则的值为( )ABCD8如图，O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，P=30，则弦AB的长为( )A2B2CD29如图，点A，B，C在O上，CO的延长线交AB于点D，A=50，B=30，则ADC的度数为( )A70B90C110D12010如图1，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点O是BC的中点，点D沿BAC方向从B运动到C设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )ABDBODCADDCD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11请你写出一个一元二次方程，满足条件：二次项系数是1；方程有两个相等的实数根，此方程可以是_12抛物线y=x22x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_13已知，AB是O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与O相切于D点，若CD=，则O半径的长为_14如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为_米15如图，已知A（2，2），B（2，1），将AOB绕着点O逆时针旋转90，得到AOB，则图中阴影部分的面积为_16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线已知：O和点P求过点P的O的切线小涵的主要作法如下：如图，（1）连结OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交O于点B，C；（3）作直线PB和PC所以PB和PC就是所求的切线老师说：“小涵的做法正确的”请回答：小涵的作图依据是_三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17计算：4cos45+tan60（1）218解方程：x26x1=019如图，ABC中，D为BC上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求CD的长20已知：抛物线y=x2+（2m1）x+m21经过坐标原点，且当x0时，y随x的增大而减小（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出y0时，对应的x的取值范围；（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B，DCx轴于点C当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长21列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22如图，在方格网中已知格点ABC和点O（1）画ABC和ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形的D点23石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率24如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DFAC于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若sinC=，半径OA=3，求AE的长25如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路26请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：=证明：过C作CEDA，交BA的延长线于E1=E，2=3AD是角平分线，1=23=E又ADCE，=（1）上述证明过程中，步骤处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答，已知，ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究ABBD和ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理27在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx28mx+16m1（m0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若AB=2，求此抛物线的解析式（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx28mx+16m1（m0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围28已知，在等边ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）若将BDE绕点B逆时针旋转，得到BD1E1，设旋转角为（0180），记射线CE1与AD1的交点为P（1）判断BDE的形状；（2）在图2中补全图形，猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；求APC的度数；（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为_（直接填写结果）29已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y=x的对称函数，例如，y1=x和y2=x为关于y=x的对称函数（1）判断：y1=3x和y2=x；y1=x+1和y2=x1；y1=x2+1和y2=x21，其中为关于y=x的对称函数的是_（填序号）（2）若y1=3x+2和y2=kx+b（k0）为关于y=x的对称函数求k、b的值对于任意的实数x，满足xm时，y1y2恒成立，则m满足的条件为_（3）若y1=ax2+bx+c（a0）和y2=x2+n为关于y=x的对称函数，且对于任意的实数x，都有y1y2，请结合函数的图象，求n的取值范围2015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为1，则a的值为( )A4B2C2D4【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+a=0得13+a=0，解得a=2故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解2二次函数y=x2+2x+4的最大值为( )A3B4C5D6【考点】二次函数的最值 【专题】计算题【分析】先利用配方法得到y=（x1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解【解答】解：y=（x1）2+5，a=10，当x=1时，y有最大值，最大值为5故选：C【点评】本题考查了二次函数的最值：当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=；当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值3下列图形中，是中心对称图形的为( )A1个B2个C3个D4个【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：第1个、3个图形是中心对称图形，共2个故选B【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合4一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A至少有1个球是黑球B至少有1个球是白球C至少有2个球是黑球D至少有2个球是白球【考点】随机事件 【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件故选A【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5在RtABC中，C=90，若BC=1，AC=2，则cosA的值为( )ABCD2【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出斜边长，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：C=90，BC=1，AC=2，AB=，cosA=故选：B【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键6若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( )Ax1=0，x2=4Bx1=1，x2=5Cx1=1，x2=5Dx1=1，x2=5【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】根据对称轴方程=2，得b=4，解x24x=5即可【解答】解：对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，=2，解得：b=4，解方程x24x=5，解得x1=1，x2=5，故选：D【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大7如图，在ABC中，DEBC，AD=6，DB=3，则的值为( )ABCD【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】条件可以求出AD：AB=2；3，再由条件可以得出ADEABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论【解答】解：AD=6，DB=3，AB=9，DEBC，ADEABC，=（）2=（）2=故选D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键8如图，O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，P=30，则弦AB的长为( )A2B2CD2【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理 【分析】连接OA，作OCAB于C，根据垂直定理得到AC=BC，根据直角三角形的性质得到OC=2，根据勾股定理求出AC的长即可得到答案【解答】解：连接OA，作OCAB于C，则AC=BC，OP=4，P=30，OC=2，AC=，AB=2AC=2，故选：A【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键9如图，点A，B，C在O上，CO的延长线交AB于点D，A=50，B=30，则ADC的度数为( )A70B90C110D120【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理求得BOC=100，进而根据三角形的外角的性质求得BDC=70，然后根据邻补角求得ADC的度数【解答】解：A=50，BOC=2A=100，B=30，BOC=B+BDC，BDC=BOCB=10030=70，ADC=180BDC=110，故选C【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键10如图1，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点O是BC的中点，点D沿BAC方向从B运动到C设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )ABDBODCADDCD【考点】动点问题的函数图象 【分析】根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点D在AB上，当点D在AC上以及勾股定理分析得出答案即可【解答】解：当点D在AB上，则线段BD表示为y=x，线段AD表示为y=ABx为一次函数，不符合图象；同理当点D在AC上，也为为一次函数，不符合图象；如图，作OEAB，点O是BC中点，设AB=AC=a，BAC=120AO=，BO=a，OE=a，BE=a，设BD=x，OD=y，AB=AC=a，DE=ax，在RtODE中，DE2+OE2=OD2，y2=（ax）2+（a）2整理得：y2=x2ax+a2，当0xa时，y2=x2ax+a2，函数的图象呈抛物线并开口向上，由此得出这条线段可能是图1中的OD故选：B【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决问题的关键二、填空题（本题共18分，每小题3分）11请你写出一个一元二次方程，满足条件：二次项系数是1；方程有两个相等的实数根，此方程可以是x2+2x+1=0【考点】根的判别式 【专题】开放型【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0答案不唯一【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，b24ac=0，符合条件的一元二次方程可以为x2+2x+1=0（答案不唯一）故答案是：x2+2x+1=0【点评】此题考查了根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac的关系为：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立12抛物线y=x22x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=x28x+20【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【解答】解：y=x22x+3=（x1）2+2，其顶点坐标为（1，2）向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x4）2+4=x28x+20，故答案为：y=x28x+20【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减13已知，AB是O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与O相切于D点，若CD=，则O半径的长为1【考点】切线的性质 【分析】如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到ODC=90，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到C=30，利用锐角三角函数的定义可得OD=CD，可得结果【解答】解：如图，连接DO，CD是O切线，ODCD，ODC=90，AB是O的一条直径，AC=3BC，AB=2BC=OC=2OD，C=30，OD=CD，CD=，OD=BC=1故答案为：1【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答本题的关键14如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为11.5米【考点】相似三角形的应用 【分析】根据题意证出DEFDCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案【解答】解：由题意得：DEF=DCA=90，EDF=CDA，DEFDCA，则，即，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），即旗杆的高度为11.5m；故答案为：11.5【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键15如图，已知A（2，2），B（2，1），将AOB绕着点O逆时针旋转90，得到AOB，则图中阴影部分的面积为【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化-旋转 【分析】根据旋转的性质可知阴影部分的面积=S扇形AOAS扇形BOB，根据扇形的面积公式S=计算即可【解答】解：点A的坐标为（2，2），OA=4，点B的坐标为（2，1），OB=，由旋转的性质可知，SAOB=SAOB，阴影部分的面积=S扇形AOAS扇形BOB=，故答案为：【点评】本题考查的是扇形的面积计算和旋转的性质，掌握扇形的面积公式S=、正确根据旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关键16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线已知：O和点P求过点P的O的切线小涵的主要作法如下：如图，（1）连结OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交O于点B，C；（3）作直线PB和PC所以PB和PC就是所求的切线老师说：“小涵的做法正确的”请回答：小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角【考点】切线的判定；作图复杂作图 【分析】根据圆周角定理得出PBO=PCO=90，即OBPB，OCPC，即可证得PB、PC是O的切线【解答】解：OP是A的直径，PBO=PCO=90，OBPB，OCPC，OB、OC是O的半径，PB、PC是O的切线；则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角故答案为：直径所对的圆周角是直角【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的判定三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17计算：4cos45+tan60（1）2【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等运算，然后合并【解答】解：原式=2+21=1【点评】本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等知识，属于基础题18解方程：x26x1=0【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【解答】解：x26x1=0，移项得：x26x=1，配方得：x26x+9=10，即（x3）2=10，开方得：x3=，则x1=3+，x2=3【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解19如图，ABC中，D为BC上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求CD的长【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】易证BADBCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值【解答】解：BAD=C，B=B，BADBCA，=AB=6，BD=4，=，BC=9，CD=BCBD=94=5【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键20已知：抛物线y=x2+（2m1）x+m21经过坐标原点，且当x0时，y随x的增大而减小（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出y0时，对应的x的取值范围；（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B，DCx轴于点C当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长【考点】二次函数综合题 【分析】（1）根据图象过原点，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集，可得答案；（3）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、D点关于对称轴对称，根据ABx轴于点B，DCx轴于点C，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案【解答】解：（1）由y=x2+（2m1）x+m21经过坐标原点，得m21=0，解得m=1或m=1当x0时，y随x的增大而减小，得m=1抛物线的解析式y=x23x；（2）由图象1，得位于x轴下方的部分，y0时，对应的x的取值范围0x3；（3）如图2，由ADx轴，得A、D关于对称轴x=1.5对称，B、C关于对称轴x=1.5对称，且BC=1，得1.50.5=1，即B（1，0）当x=1时，y=13=2，即A（1，2）矩形ABCD的周长为2（AB+BC）=2（2+1）=6【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出A、D关于对称轴对称是解题关键21列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，根据题意可得，2013年的盈利额（1+增长率）2=2015年的盈利额，据此列方程求解【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，由题意得，200（1+x）2=242，解得：x=0.1答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是0.1【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解22如图，在方格网中已知格点ABC和点O（1）画ABC和ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形的D点【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定 【专题】作图题【分析】（1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形，（2）根据平行四边形的判定，画出使以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点即可【解答】解：（1）画ABC和ABC关于点O成中心对称的图形如下：（2）根据题意画图如下：【点评】此题考查了作图旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形23石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题【分析】（1）甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率；（2）画树状图展示所有27种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率=；（2）画树状图为：共有27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为9，所以甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率=【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率24如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DFAC于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若sinC=，半径OA=3，求AE的长【考点】切线的判定 【分析】（1）连接OD，根据等边对等角得出B=ODB，B=C，得出ODB=C，证得ODAC，证得ODDF，从而证得DF是O的切线；（2）连接BE，AD，AB是直径，AEB=ADB=90，根据等腰三角形的性质得出ABC=C，BD=DC，通过解直角三角形求得AD，根据勾股定理得出BD，进而求得BC，解直角三角形BCE求得BE，然后根据勾股定理即可求得AE【解答】（1）证明：连接OD，OB=OD，B=ODB，AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC，DFAC，ODDF，DF是O的切线；（2）解：连接BE，AD，AB是直径，AEB=ADB=90，AB=AC，ABC=C，BD=DC，sinC=，sinABC=，AB=2OA=6，AD=2，BD=2，BC=2BD=4，在RTBEC中，sinC=，BE=BC=4=4，在RTABE中，AE=2【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等25如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】延长PQ交直线AB于点E，设测出AB的长度为m米，在直角APE和直角BPE中，根据三角函数利用PE表示出AE和BE，根据AB=AEBE即可列出方程求得PE的值，再在直角BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解【解答】解：同意他们的测量方案；延长PQ交直线AB于点E，设测出AB的长度为m米在直角APE中，A=45，则AE=PE；PBE=60BPE=30在直角BPE中，BE=PE，AB=AEBE=m，则PEPE=m，解得：PE=m则BE=mm=m在直角BEQ中，QE=BE=（m）=mPQ=PEQE=mm=m【点评】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路26请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：=证明：过C作CEDA，交BA的延长线于E1=E，2=3AD是角平分线，1=23=E又ADCE，=（1）上述证明过程中，步骤处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答，已知，ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究ABBD和ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理【考点】相似形综合题 【分析】（1）由比例式=，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CEAD，写出比例式=，用到了平行线分线段成比例定理（推论）；（2）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果（3）根据三角形的面积公式进行证明即可【解答】解：（1）证明过程中用到的定理有：平行线的性质定理；等腰三角形的判定定理；平行线分线段成比例定理；（2）AD是角平分线，又AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，BD=（cm）（3）ABD和ACD的高相等，可得：ABD和ACD面积的比=，可得：【点评】此题是一道材料题，根据材料推得的结果进行解题，主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用27在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx28mx+16m1（m0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若AB=2，求此抛物线的解析式（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx28mx+16m1（m0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式 【专题】计算题【分析】（1）证明0即可；（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程mx28mx+16m1=0的两根，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，x1x2=，再变形|x1x2|=2得到（x1+x2）24x1x2=4，所以824=4，然后解出m即可得到抛物线解析式；（3）先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m16m+16m10，然后解不等式即可【解答】（1）证明：=64m24m（16m1）=4m，m0，0，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）根据题意，x1、x2为方程mx28mx+16m1=0的两根，x1+x2=8，x1x2=，|x1x2|=2，（x1+x2）24x1x2=4，824=4，m=1，抛物线的解析式为y=x28x+15；（3）抛物线的对称轴为直线x=4，抛物线开口向上，当x=2，y0时，抛物线与线段CD有交点，4m16m+16m10，m【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了根与系数的关系28已知，在等边ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）若将BDE绕点B逆时针旋转，得到BD1E1，设旋转角为（0180），记射线CE1与AD1的交点为P（1）判断BDE的形状；（2）在图2中补全图形，猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；求APC的度数；（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为2（直接填写结果）【考点】作图-旋转变换 【专题】作图题【分析】（1）由D，E分别是AB，BC的中点得到DE=BC，BD=BA，加上ABC为等边三角形，则B=60，BA=BC，所以BD=BE，于是可判断BDE为等边三角形；（2）根据旋转的性质得BD1E1为等边三角形，则BD1=BE1，D1BE1=60，而ABC=60，所以ABD1=CBE1，则路旋转的定义，ABD1可由CBE1绕点B逆时针旋转得到，然后根据旋转的性质得CE1=AD1；由于ABD1可由CBE1绕点