广东省高三数学寒假作业（二）.doc

广东省2014届高三寒假作业（二）数学一、选择题#no.#某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）abcd#no.#在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则该几何体的体积为（） acm3（bcm3ccm3dcm3#no.#某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是abcd#no.#已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是abcd#no.#经过空间任意三点作平面（ ）a只有一个b可作二个c可作无数多个d只有一个或有无数多个#no.#如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）abc三棱锥的体积为定值d异面直线所成的角为定值#no.#某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ()a4b8c12d24二、填空题#no.#一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是#no.#某几何体的三视图如右，其中正视图与侧视图上半部分为半圆，则该几何体的表面积为#no.#已知梯形abcd是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中,，则直角梯形以bc为旋转轴旋转一周形成的几何体的体积为 。cdao(b)xy#no.#考察下列三个命题，在“_”都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中为不同直线，为不同平面)，则此条件为_ ； ； #no.#一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 .#no.#若某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的体积为 cm2三、解答题#no.#（本小题满分13分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图，俯视图，在直观图中，m是bd的中点，n是bc的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(1）求该几何体的体积；(2）求证：an平面cme；(3）求证：平面bde平面bcd#no.#如图1，过动点a作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示） (1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；(2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小#no.#（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，面，为中点。(1）求证：面。(2）求证：面。(3）求直线与平面所成角的正切值。#no.#(本小题满分12分) 已知一个四棱锥的三视图如图所示，其中，且,分别为、的中点(1）求证：pb/平面efg(2）求直线pa与平面efg所成角的大小(3）在直线cd上是否存在一点q，使二面角的大小为？若存在，求出cq的长；若不存在，请说明理由。#no.#（本题6分）已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积 #no.#（本小题满分13分）如图（甲），在直角梯形abed中，ab/de，abbe，abcd,且bc=cd,ab=2,f、h、g分别为ac ,ad ,de的中点，现将acd沿cd折起，使平面acd平面cbed,如图（乙）(1）求证：平面fhg/平面abe；(2）记表示三棱锥bace 的体积，求的最大值；(3）当取得最大值时，求二面角dabc的余弦值广东省2014届高三寒假作业（二）数学一、选择题 1a【解析】由三视图知：原几何体为一个棱长为2的正方体，里面挖去一个四棱锥，四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为。 2b【解析】结合题意可知该几何体是圆锥，底面是半径为2的圆锥，高位4，那么可知该几何体的体积为,故选b. 3a【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边为1和2，侧棱长为2，所以体积为 4b【解析】根据题意可知该几何体是一个球体和一个半个圆柱体的组合体，球体的半径为1，而圆柱体的半径为1高为2，那么可知其表面积为,故选b. 5d【解析】若三点不在同一直线上，则只有一个平面；若三点在同一条直线上，则有无数个平面。 6d【解析】本试题主要是考查了正方体中线线的位置关系，线面的平行，以及异面直线的角和体积求解的综合运用。对于a，可得出ac平面bbdd，而be是平面bbdd内的直线，因此acbe成立，故a项不错；对于b，点a到平面bef的距离也是点a到平面bbdd的距离，等于正方体面对角线的一半，而三角形bef的边ef=，且ef到b点距离为1，所以其面积s=为定值，故vabef=，故c项不错；对于b，因为平面abcd平面abcd，ef平面abcd，所以ef平面abcd，故b不错；对于d，当ef变化时，异面直线ae、bf所成的角显然不是一个定值，故d项错误故选d解决该试题的关键是对于正方体性质的理解和熟练运用。 7a【解析】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，三棱锥的高是，它的体积为，故选a 8a【解析】设正方体的棱长为a，则正方体内切球的半径为，所以，即a=6，所以正方体的表面积是216.二、填空题 9【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积v1为：22=2，剪去的三棱锥体积v2为：21=，所以几何体的体积为：2= 10【解析】三视图复原几何体是下部为圆柱，其底面半径为1，高为2；上部为半球，半径为1；所以几何体的表面积为：半球的表面积和圆柱的侧面积之和即：12+212+22=7 11【解析】因为按照斜二测画法可知圆直角梯形的上底为2，下底为4，高为2，那么直角梯形以bc为旋转轴旋转一周形成的几何体为圆台，那么根据圆台的上底面积，和下底面积，高，可知其体积为。 12【解析】解：体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面外的直线”，即“l”它同样适合，故填l故答案为：l 13【解析】由三视图可知几何体由半个圆锥和四棱锥组合而成，圆锥底面圆半径为1，高为，四棱锥底面为边长是1的正方形，高为，所以 14.【解析】由三视图可知此几何体是一个组合体，上方是一个圆锥，下方是一个圆柱，所以三、解答题 15(1)4 ；(2)连接mn，则mncd，且.又aecd，且，=四边形anme为平行四边形，anem.an平面cme，em平面cme，an平面cme (3)acab，n是bc的中点，anbc,又平面abc平面bcd，an平面bcd则(2)知：anem,em平面bcd，又em平面bde，平面bde平面bcd【解析】 (1)由题意可知：四棱锥bacde中，平面abc平面acde，abac，ab平面acde，又acabae2，cd4，2分则四棱锥bacde的体积为：，即该几何体的体积为44分(2)证明：由题图知，连接mn，则mncd，且.又aecd，且，6分，=四边形anme为平行四边形，anem.an平面cme，em平面cme，an平面cme8分(3)证明：acab，n是bc的中点，anbc,又平面abc平面bcd，an平面bcd10分则(2)知：anem,em平面bcd，又em平面bde，平面bde平面bcd13分 16（1）时, 三棱锥的体积最大（2）【解析】（1）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是，当且仅当，即时，等号成立故当，即时, 三棱锥的体积最大解法2：同解法1，得令，由，且，解得当时，；当时， 所以当时，取得最大值故当时, 三棱锥的体积最大.（2）解法1：以d为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系d.由（）知，当三棱锥abcd的体积最大时，bd1,adcd2.于是可得d（0,0,0,），b（1,0,0），c（0,2,0），a（0,0,2）m（0,1,1）e（，1,0），且bm（1，1,1）.设n（0, 0），则en,1,0).因为enbm等价于enbm0,即（，1,0）（1,1,1）+10，故，n（0, ，0）所以当dn时（即n是cd的靠近点d的一个四等分点）时，enbm.设平面bmn的一个法向量为n=(,),由可取(1,2,1）设与平面所成角的大小为，则由，可得，即故与平面所成角的大小为解法2：由（）知，当三棱锥的体积最大时，如图b，取的中点，连结，则.由（）知平面，所以平面.如图c，延长至p点使得，连，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则，所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以.因为当且仅当，而点f是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一个四等分点），连接，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面在平面中，过点作于，则平面故是与平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 17（1）利用中位线证出，再利用线面平行的判定定理即可；（2）先证，再证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可；（3）【解析】（1）连结,，4分（2），8分（3）、12分 18(1)根据已知中的线线平行来证明得到线面平行的证明。(2) (3) 【解析】解：（1）取ab中点m，ef/ad/mg efgm共面，由em/pb,pb面efg，em面efg，得pb/平面efg4分（2）如图建立直角坐标系，e(0,0,1),f(1,0,1),g(2,1,0)=(1,0,0), =(1,1,1),设面efg的法向量为=（x,y,z）由得出x=0, 由得出x+yz=0从而=（0,1,1）,又=(0,0,1),得cos=（为与的夹角）=45o8分（3）设q(2,b,0)，面efq的法向量为=（x,y,z），=(2,b,1)由得出x=0, 由得出2x+byz=0，从而=（0,1,b）面efd的法向量为=（0,1,0），所以，解得，b=cq=12分 19为s(r2r)424(cm2) 【解析】本题考查圆台的侧面积公式，轴截面知识，考查计算能力，是基础题画出将圆台还原为圆锥后的轴截面，设o1c=r，依据题目数据关系，求出r，利用圆台侧面积公式求解即可解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知ac4 cm，aso30，o1coa，设o1cr，则oa2r，又sin30，sc2r，sa4r，acsasc2r4 (cm)，r2 cm.所以圆台的侧面积为s(r2r)424(cm2) 6分20（1）证明：见解析；（2）当时有最大值， (3) 【解析】本题的考点是面面平行的判断，主要考查证明面面平行，考查几何体的体积，考查二面角的平面角，关键是正确运用面面平行的判定，利用向量法求面面角，关键是求出相应的法向量（1）欲证平面fhg平面abe，只需证明线面平行，故只需要在平面fhg中寻找两条相交直线与平面平行；（2）由于平面acd平面cbed 且accd，所以ac平面cbed，故可表示三棱锥bace的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；（3）求解二面角dabc的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面acb的法向量，平面abd的法向量，利用向量的夹角