高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6节 空间向量及其运算和空间位置关系课件 理.ppt

第6节空间向量及其运算和空间位置关系 最新考纲1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 了解空间向量的正交分解及其坐标表示 2 了解空间向量的线性运算及其坐标表示 3 了解空间向量的数量积及其坐标表示 1 空间向量的有关概念 知识梳理 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理空间两个向量a a 0 与b共线的充要条件是存在实数 使得 b a 2 共面向量定理 3 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3 使得a 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个基底 xa yb 1 1e1 2e2 3e3 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角 a b 0 互相垂直 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则 叫做向量a b的数量积 记作 即a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b cos a b a b a b cos a b a b b a a b a c 4 空间向量的坐标表示及其应用 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 5 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 或 则称此向量a为直线l的方向向量 2 平面的法向量 直线l 取直线l的方向向量a 则向量a叫做平面 的法向量 平行 重合 6 空间位置关系的向量表示 n2 n1 n2 0 n m 0 m m n m 0 常用结论与微点提醒 1 共线向量定理的推论 诊断自测1 思考辨析 在括号内打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 对任意两个空间向量a b 若a b 0 则a b 3 若 a b c 是空间的一个基底 则a b c中至多有一个零向量 4 若a b 0 则 a b 是钝角 解析对于 2 因为0与任何向量数量积为0 所以 2 不正确 对于 3 若a b c中有一个是0 则a b c共面 所以 3 不正确 对于 4 若 a b 则a b 0 故 4 不正确 答案 1 2 3 4 2 在空间直角坐标系中 a 1 2 3 b 2 1 6 c 3 2 1 d 4 3 0 则直线ab与cd的位置关系是 a 垂直b 平行c 异面d 相交但不垂直 ab cd 答案b 答案a 4 已知a 2 3 1 b 4 2 x 且a b 则 b 解析a b 2 4 3 2 1 x 0 x 2 6 2018 嘉兴测试 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 2 2 4 若a 1 1 2 则直线l与平面 的位置关系为 若a 1 1 1 则直线l与平面 的位置关系为 答案l l 或l 考点一空间向量的线性运算 规律方法 1 选定空间不共面的三个向量作基向量 这是用向量解决立体几何问题的基本要求 用已知基向量表示指定向量时 应结合已知和所求向量观察图形 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算 2 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 答案b 考点二共线定理 共面定理的应用 例2 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 用向量方法求证 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 训练2 1 若a 1 2 3 b 2 1 4 c m n 1 三点共线 则m n 2 已知空间四点a 2 0 2 b 1 1 2 c 3 0 4 d 1 2 t 若四点共面 则t的值为 答案 1 3 2 0 考点三空间向量数量积的应用 例3 如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 训练3 如图所示 四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面为平行四边形 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 2 求证 ac1 bd 3 求bd1与ac夹角的余弦值 考点四利用空间向量证明平行与垂直 证明 pq 平面bcd 规律方法 1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 3 用向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 训练4 如图所示 已知四棱锥p abcd的底面是直角梯形 abc bcd 90 ab bc pb pc 2cd 侧面pbc 底面abcd 证明 1 pa bd 2 平面pad 平面