【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题一 第四讲转化与化归思想.doc

第四讲转化与化归思想1转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题2转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性3转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决1 (2012北京)已知an为等差数列，sn为其前n项和若a1，s2a3，则a2_.答案1解析设出等差数列的公差，列方程求解设an的公差为d，由s2a3知，a1a2a3，即2a1da12d，又a1，所以d，故a2a1d1.2 (2013重庆)4cos 50tan 40等于()a. b. c. d21答案c解析4cos 50tan 40.3 (2012重庆)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()aabccabbc答案b解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a1)为增函数，alog23log221，clog32c.4 (2011天津)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xr.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()a(1,1(2，) b(2，1(1,2c(，2)(1,2 d2，1答案b解析依题意可得f(x)作出其示意图如图所示由数形结合知，实数c需有1c2或2c1，故选b.5 (2013山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()a0 b1 c. d3答案b解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.题型一特殊与一般的转化例1(1)，(其中e为自然常数)的大小关系是()a. b.c. d.(2)在定圆c：x2y24内过点p(1,1)作两条互相垂直的直线与c分别交于a，b和m，n，则的范围是_审题破题(1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点p(1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题答案(1)a(2)解析(1)由于，故可构造函数f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)，令f(x)0得x0或x2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.(2)设t，考虑特殊情况：当ab垂直op时，mn过点o，|ab|最小，|mn|最大，所以t最小，t最大.所以t.又因为t2 2，所以t.反思归纳当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题变式训练1已知等差数列an的公差d0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是_答案解析由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，an取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的因此，可把抽象数列化归为具体数列比如，可选取数列ann(nn*)，则.题型二正难则反转化例2若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_审题破题函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g(x)在区间(t,3)上为单调函数答案m5解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，则m49，即m.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为m5.反思归纳正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想变式训练2(2012北京)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若任竟xr，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_答案(4,0)解析将问题转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集的子集求解g(x)2x20，x1.又任意xr，f(x)0或g(x)0，1，)是f(x)0的解集的子集又由f(x)m(x2m)(xm3)0知m不可能大于等于0，因此m0.当m0时，f(x)0，若2mm3，即m1，此时f(x)m3，即1m0，此时f(x)2m或xm3，依题意2m1，即1m0；若2mm3，即m1，此时f(x)0的解集为x|xm3，依题意m34，4m1.综上可知，满足条件的m的取值范围是4m0，求证：ln aln b1.审题破题(1)求函数的极值可通过求导、列表的方法；(2)证明不等式可以观察式子和题中函数的关系，借助函数的极值进行求证(1)解f(x)(x1)由f(x)0，得x0.列表如下x(1,0)0(0，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，x0时f(x)取得极小值f(0)0.(2)证明在x0时，f(x)取得极小值，而且是最小值，于是f(x)f(0)0，从而ln(1x)在x1时恒成立，令1x0，则11，ln aln bln 1.因此ln aln b1在a0，b0时成立反思归纳函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围变式训练3已知函数f(x)eln x，g(x)f(x)(x1)(e2.718)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1ln(n1)(nn*)(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x0)令g(x)0，解得0x1；令g(x)1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)，取t(nn*)，则lnln，1ln 2，ln ，ln ，ln，叠加得1ln(2)ln(n1). 典例(14分)已知函数f(x)x3x2x(a是小于1的正实数，xr)若对于任意的三个实数x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，求实数a的取值范围规范解答解因为f(x)x2x(xa2)，所以令f(x)0，解得x1，x22a.2分由0a1，知12a0，得x2a；令f(x)0，得x2a，所以函数f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增6分所以函数f(x)在1,2上的最小值为f(2a)(2a)2，最大值为maxf(1)，f(2)max.因为当0a时，a；当a，由对任意x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得2f(x)minf(x)max(x1,2)9分所以当0，结合0a可解得1a；11分当aa，结合a1可解得a2.13分综上，知所求实数a的取值范围是1a2.14分评分细则(1)求出f(x)给1分；(2)讨论时将a的范围分为0a和a1一样给分；讨论时a的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上”结论不写扣1分阅卷老师提醒将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x)在1,2上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口此外，要注意函数f(x)在1,2上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1)与f(2)的大小关系1 设p为曲线c：yx22x3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为()a. b1,0c0,1 d.答案a解析设p(x0，y0)，倾斜角为，0tan 1，f(x)x22x3，f(x)2x2,02x021，1x0，故选a.2 设a(sin 17cos 17)，b2cos2131，c，则a，b，c的大小关系是()acab bacbcbac dcba答案a解析asin(1745)sin 62，bcos 26sin 64，csin 60，cab.3 方程sin2xcos xk0有解，则k的取值范围是()a1k bk0c0k dk1答案d解析求ksin2xcos x的值域kcos2xcos x1(cos x)2.当cos x时，kmin，当cos x1时，kmax1，k1，故选d.4 在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_答案(13,13)解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d，0|c|0的最小正整数n为()a7 b8 c9 d10答案b解析an为等差数列，s130，a1a132a70，又a1120的最小正整数n为8.3 ab是过抛物线x24y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于a，b的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为()a1 b4 c d答案a解析找特殊情况，当aby轴时，ab的方程为y1，则a(2，1)，b(2,1)，过点a的切线方程为y1(x2)，即xy10.同理，过点b的切线方程为xy10，则l1，l2的交点为(0，1)4 (2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()a. b. c5 d6答案c解析x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)2 5(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.5 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()a. b. c. d.答案c解析所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为a，高为正方体边长的一半，v22.6 设f1，f2分别是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点p，使()0，o为坐标原点，且|，则该双曲线的离心率为()a.1 b.c. d.答案a解析如图，取f2p的中点m，则2.又由已知得0，.又om为f2f1p的中位线，.在pf1f2中，2a|(1)|，2c2|.e1.7 p为双曲线1的右支上一点，m、n分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|pm|pn|的最大值为()a6 b7 c8 d9答案d解析设双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|pf1|pf2|236.要使|pm|pn|最大，需pm，pn分别过f1、f2点即可(|pm|pn|)max(|pf1|2)(|pf2|1)|pf1|pf2|39.8 已知函数f(x)1x，g(x)1x，设f(x)f(x4)g(x4)，且函数f(x)的零点在区间a1，a或b1，b(a0，x1时，f(x)2 0130.f(x)在r上单调递增又f(0)1，f(1)(11)0，f(x)在1,0内有唯一零点，故f(x4)的唯一零点在5，4内同理g(x4)的唯一零点在5,6内，因此，b6，a4，ab2.二、填空题9 设f(x)是定义在r上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，则x的取值范围为_答案x1或x0解析f(x)在r上是增函数，由f(1axx2)f(2a)可得1axx22a，a1,1a(x1)x210，对a1,1恒成立令g(a)(x1)ax21.则当且仅当g(1)x2x20，g(1)x2x0，解之，得x0或x1.故实数x的取值范围为x1或x0.10在rtabc中，c，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，r，s分别表示它的内切圆半径和面积，则的取值范围是_答案22,1)解析由题意，得sabc2sin asin b，r(abc)c(sin asin b1)，从而，设sin asin bt，则sin asin b(t21)，因为ab，所以tsin asin bsin(1，所以的取值范围是22,1)11 如果函数f(x)x