2020高考数学大一轮复习第二章导数及其应用第四节导数的综合应用检测理新人教A版.docx

第四节 导数的综合应用限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018安徽合肥一中等六校联考)已知函数f(x)(xa1)ex，g(x)x2ax，其中a为常数(1)当a2时，求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若对任意的x0，)，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为a2，所以f(x)(x1)ex，所以f(0)1，f(x)(x2)ex，所以f(0)2，所以切点的坐标为(0，1)，所以切线方程为2xy10.(2)令h(x)f(x)g(x)，由题意得h(x)min0在x0，)上恒成立，h(x)(xa1)exx2ax，所以h(x)(xa)(ex1)，若a0，则当x0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)a1，则a10，得a1.若a0，则当x0，a)时，h(x)0，当x(a，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以h(x)minh(a)，又h(a)h(0)a10，所以不合题意综上，实数a的取值范围为1，)2(2018青岛调研)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)；f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点3(2018安徽十大名校联考)设函数f(x)exx2ax1(e为自然对数的底数)，aR.(1)证明：当a22ln 2时，f(x)没有零点；(2)当x0时，f(x)x0恒成立，求a的取值范围解：(1)证明：f(x)ex2xa，令g(x)f(x)，g(x)ex2.令g(x)0，解得xln 2；令g(x)0，解得xln 2，f(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，f(x)minf(ln 2)22ln 2a.当a22ln 2时，f(x)min0，f(x)的图象恒在x轴上方，f(x)没有零点(2)当x0时，f(x)x0恒成立，即exx2axx10恒成立，axexx2x1，即ax1恒成立令h(x)x1(x0)，则h(x).当x0时，exx10恒成立，令h(x)0，解得0x1，令h(x)0，解得x1，h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，h(x)minh(1)e1.a的取值范围是(，e1B级能力提升练4(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.5(2018太原调研)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0，故当a0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.C级素养加强练6(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递减()若a2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在，单调递减，在(，)单调递增(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x