高三数学 知识点精析精练26 极限及其运算.doc

2014高三数学知识点精析精练26：极限及其运算【复习要点】极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限.2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：【例题】【例1】 求.【例2】 已知(axb)=0,确定a与b的值.解： 要使上式极限存在，则1a2=0,当1a2=0时， 解得【例3】 设数列a1,a2,an,的前n项的和sn和an的关系是sn=1ban,其中b是与n无关的常数，且b1.(1)求an和an1的关系式；(2)写出用n和b表示an的表达式；(3)当0b1时，求极限sn.解：(1)an=snsn1=b(anan1)=b(anan1)+ (n2)解得an= (n2)【例4】 一动点由原点出发，首先向右移动1个单位到点，然后沿着原方向逆时针旋转 的方向，移动个单位到点，若照此继续下去，移动上次所移动距离的一半，求动点移动的极限位置解：水平方向和垂直方向移动的代数和分别为 故动点移动的极限位置是点【例5】 若、，()求证：；()令，写出、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；()求的值. 解：(i)若，即解得：从而与题设矛盾，故原命题成立. () 、,.（）. 【例6】 已知函数数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q（qr且q1）的等比数列，设（i）求数列an和bn的通项公式；（ii）设数列cn的前n项和为sn，如果对一切都有成立，求解：（i）由题意. 同理 （ii） 又 cn是首项为8，公比为2的等比数列 【例7】 已知等比数列，若项数为且前项之和等于偶数项之和的11倍，第三项和第四项之和为第二项和第四项之积的11倍.(i) 求首项和公比；(ii) 若数列满足级前项和为，求及.解：（i）由条件知：，依题意得 （ii） 【例8】 下图是树形图形。第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层。设树的第n层的最高点到水平线的距离为n层的树形图的高度 （i）求第三层及第四层的树形图的高度； （ii）求第n层的树形图的高度；（n为偶数） （iii）求的值解：（i）逐一计算，得.（ii）当n为偶数时（iii）由（ii）知 【例9】 已知二次函数的图象的顶点坐标是 （）求的表达式，并求出f（1）、f（2）的值；（）数列an，bn，若对任意的实数x都满足，其中是定义在实数r上的一个函数，求数列an，bn的通项公式； （）设圆，若圆cn与圆cn+1外切，rn是各项都是正数的等比数列，记sn是前n个圆的面积之和，求.解：（i）由已知得 （ii） 由得（iii），设数列rn的公比为q，则 .,【极限及其运算练习】一、选择题1、an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数，则等于( )a.2b.0c.1d.12、若三数a,1,c成等差数列且a2,1,c2又成等比数列，则的值是( )a.0b.1c.0或1d.不存在二、填空题3、 =_.4、若=1,则ab的值是_.三、解答题5、在数列an中，已知a1=,a2=,且数列an+1an是公比为的等比数列，数列lg(an+1an是公差为1的等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)sn=a1+a2+an(n1),求sn.6、设f(x)是x的三次多项式，已知=1,试求的值.(a为非零常数).7、已知数列an,bn都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、q,其中pq,且p1,q1,设cn=an+bn,sn为数列cn的前n项和，求的值.8、已知数列an是公差为d的等差数列，d0且a1=0,bn=2 (nn*),sn是bn的前n项和，tn= (nn*).(1)求tn的通项公式；(2)当d0时，求tn.参考答案一、1.解析：，答案：a2.解析：答案：c二、3.解析：答案：4.解析：原式=ab=8答案：8三、5.解：(1)由an+1an是公比为的等比数列，且a1=,a2=,an+1an=(a2a1)()n-1=()()n-1=,an+1=an+又由数列lg(an+1an)是公差为1的等差数列，且首项lg(a2a1)=lg()=2,其通项lg(an+1an)=2+(n1)(1)=(n+1),an+1an=10(n+1),即an+1=an+10(n+1)联立解得an=()n+1()n+1(2)sn=6.解：由于=1，可知，f(2a)=0同理f(4a)=0由可知f(x)必含有(x2a)与(x4a)的因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=a(x2a)(x4a)(xc),这里a、c均为待定的常数，,即4a2a2aca=1同理，由于=1,得a(4a2a)(4ac)=1,即8a2a2aca=1由得c=3a,a=,因而f(x)= (x2a)(x4a)(x3a),由数列an、bn