高考数学总复习导学 第三篇 导数及其应用第3讲 导数的应用（二） 理 新人教A版.doc

第3讲导数的应用(二)【2013年高考会这样考】1利用导数求函数的极值2利用导数求函数闭区间上的最值3利用导数解决某些实际问题【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件双基自测1(2011福建)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()a2 b3 c6 d9解析f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号答案d2已知函数f(x)x4x32x2，则f(x)()a有极大值，无极小值 b有极大值，有极小值c有极小值，无极大值 d无极小值，无极大值解析f(x)x34x24xx(x2)2f(x)，f(x)随x变化情况如下x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)0因此有极小值无极大值答案c3(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()a13万件 b11万件 c9万件 d7万件解析yx281，令y0解得x9(9舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0，则当x9时，y取得最大值，故选c.答案c4(2011广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析f(x)3x26x3x(x2)当x0时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，故当x2时取得极小值答案25若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析f(x)在x1处取极值，f(1)0，又f(x)，f(1)0，即21(11)(1a)0，故a3.答案3考向一函数的极值与导数【例1】(2011重庆)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值审题视点 由条件x为yf(x)图象的对称轴及f(1)0求得a，b的值，再由f(x)的符号求其极值解(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)的图象关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(2,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6. 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值【训练1】 (2011安徽)设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为r上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.综合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以，x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为r上的单调函数，则f(x)在r上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在r上恒成立因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.考向二函数的最值与导数【例2】已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x)；(2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值审题视点 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值解(1)f(x)x3ax24x4a，得f(x)3x22ax4.(2)因为f(1)0，所以a，有f(x)x3x24x2，所以f(x)3x2x4.令f(x)0，所以x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，所以f(x)在2,2上的最大值、最小值分别为、. 一般地，在闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数yf(x)在闭区间a，b上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值【训练2】 函数f(x)x3ax2b的图象在点p(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax由已知条件即解得(2)由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x3x(x2)，f(x)与f(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)22由f(x)f(0)解得x0，或x3因此根据f(x)的图象当0t2时，f(x)的最大值为f(0)2最小值为f(t)t33t22；当23时，f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2.考向三用导数解决生活中的优化问题【例3】(2011江苏)请你设计一个包装盒如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒e、f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设aefbx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值审题视点 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)s4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，s取得最大值(2)va2h2(x330x2)，v6x(20x)由v0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，v0；当x(20,30)时，v0.所以当x20时，v取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为. 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点【训练3】 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x) (0x120)f(40)17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升(2)f(x) 又0x120，令f(x)0解得x80，当0x80时，f(x)0；当800.则当x80时，f(x)取到最小值f(80)11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升难点突破7有关导数热点问题的求解策略导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线一、研究曲线切线的导数问题导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题、因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据【示例】 (2011辽宁)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过p(1,0)，且在p点处的切线斜率为2(1)求a、b的值；(2)证明：f(x)2x2. 二、研究函数性质的导数问题导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题【示例】 (2011陕西)设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)对任意x0成立解决实际问题的导数问题(教师备选)对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来