山东省青岛市平度市华侨中学高二数学下学期4月月考试卷 理（含解析）.doc

山东省青岛市平度市华侨中学2 014-2015学年高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）a 2x+y+3=0b 2x+y3=0c 2x+y+1=0d 2xy1=02定义运算，则符合条件的复数z为（）a 3ib 1+3ic 3+id 13i3用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）a 假设至少有一个钝角b 假设没有一个钝角c 假设至少有两个钝角d 假设没有一个钝角或至少有两个钝角4观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nn*）个等式应为（）a 9（n+1）+n=10n+9b 9（n1）+n=10n9c 9n+（n1）=10n1d 9（n1）+（n1）=10n105曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）a 4b 2c d 36平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）a b c d 7若f（x0）=3，则=（）a 3b 12c 9d 68复数z=，|是（）a 25b 5c 1d 79一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）令p（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记p（0）=0，则下列结论中错误的是（）a p（3）=3b p（5）=1c p（2007）p（2006）d p（2003）p（2006）10如图是导函数y=f（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）a （x1，x3）b （x2，x4）c （x4，x6）d （x5，x6）11设，当n=2时，s（2）=（）a b c d 12如果10n的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）a 0.28jb 0.12jc 0.26jd 0.18j13曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）a b c d 14已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）a eb ec d 15有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）a 大前提错误b 小前提错误c 推理形式错误d 结论正确16在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中o为坐标原点，则=（）a b 2c d 417某个命题与自然数n有关，若n=k（kn*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）a 当n=6时，该命题不成立b 当n=6时，该命题成立c 当n=4时，该命题不成立d 当n=4时，该命题成立18若点p在曲线y=x33x2+（3）x+上移动，经过点p的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）a 0，）b 0，），）c ，）d 0，）（，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上19（2x）dx=20设z1=i4+i5+i6+i12，z2=i4i5i6i12，则z1，z2关系为21已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是22函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间（，）内单调递减，则a的取值范围是三、解答题：本大题共4小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤23已知f（x）=dt，（x0）（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在1，3上的最值24设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值25某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？26已知数列an的前n项和sn=1nan（nn*）（1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论山东省青岛市平度市华侨中学2014-2015学年高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）a 2x+y+3=0b 2x+y3=0c 2x+y+1=0d 2xy1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：先求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式解答：解：由题意知，y=2x，在（1，1）处的切线的斜率k=2，则在（1，1）处的切线方程是：y1=2（x1），即2xy1=0，故选d点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题2定义运算，则符合条件的复数z为（）a 3ib 1+3ic 3+id 13i考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的混合运算专题：计算题分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可解答：解：根据定义，可知1zi（1）z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，z=3i故选a点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键3用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）a 假设至少有一个钝角b 假设没有一个钝角c 假设至少有两个钝角d 假设没有一个钝角或至少有两个钝角考点：反证法与放缩法专题：应用题分析：根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论解答：解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选c点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口4观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nn*）个等式应为（）a 9（n+1）+n=10n+9b 9（n1）+n=10n9c 9n+（n1）=10n1d 9（n1）+（n1）=10n10考点：归纳推理专题：探究型分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（nn*）个等式解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（nn*）个等式为：9（n1）+n=10n9故选b点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）5曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）a 4b 2c d 3考点：余弦函数的图象专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可解答：解：由定积分定义及余弦函数的对称性，可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：s=3cosxdx=3sinx|=3sin3sin0=3，所以围成的封闭图形的面积是3故选：d点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用6平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）a b c d 考点：类比推理专题：规律型；空间位置关系与距离分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到bf=，bo=ao=aoe，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到bo2=be2+oe2，把数据代入得到oe=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故选b点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力7若f（x0）=3，则=（）a 3b 12c 9d 6考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据=4=4（ ）=4f（x0），利用条件求得结果解答：解：f（x0）=3，则 =4=4（ ）=4f（x0）=4（3）=12，故选：b点评：本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题8复数z=，|是（）a 25b 5c 1d 7考点：复数求模专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的模求解运算法则，直接求解即可解答：解：复数z=，|=1故选：c点评：本题考查复数的模的求法，分式的模等于分子的模除以分母的模，是基础题9一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）令p（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记p（0）=0，则下列结论中错误的是（）a p（3）=3b p（5）=1c p（2007）p（2006）d p（2003）p（2006）考点：进行简单的合情推理专题：计算题；规律型分析：按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，即可得解解答：解：根据题中的规律可得：p（0）=0，p（1）=1，p（2）=2，p（3）=3，p（4）=2，p（5）=1，以此类推得：p（5k）=k （k为正整数）因此p（2003）=403，且p（2006）=402，所以p（2003）p（2005）故选：d点评：本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题10如图是导函数y=f（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）a （x1，x3）b （x2，x4）c （x4，x6）d （x5，x6）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论解答：解：若函数单调递减，则f（x）0，由图象可知，x（x2，x4）时，f（x）0，故选：b点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键11设，当n=2时，s（2）=（）a b c d 考点：数列的函数特性专题：等差数列与等比数列分析：利用最后一项是的形式即可得出解答：解：当n=2时，s（2）=，故选c点评：知道最后一项是的形式是解题的关键12如果10n的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）a 0.28jb 0.12jc 0.26jd 0.18j考点：函数模型的选择与应用分析：因为f=10nl=10cm=0.1m，所以k=100，由此能求出在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功解答：解：f=klf=10n，l=10cm=0.1mk=100在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功：w=ep=0.18j故选d点评：本题考查物体的弹力做功问题，是基础题解题时要认真审题，仔细解答13曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）a b c d 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=x3，y=3x2，当x=1时，y=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y1=3（x1），即3xy2=0令y=0得：x=，切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：s=（2）4=故选a点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）a eb ec d 考点：导数的几何意义专题：计算题分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=lnx，y=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：ylnm=（xm）它过原点，lnm=1，m=e，k=故选c点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题15有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）a 大前提错误b 小前提错误c 推理形式错误d 结论正确考点：演绎推理的基本方法专题：阅读型分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选a点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论16在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中o为坐标原点，则=（）a b 2c d 4考点：复数求模；复数的基本概念专题：计算题分析：根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式，根据模长公式做出要求向量的模长解答：解：复数1+i与1+3i分别对应向量，=1+3i1i=2i=2故选b点评：本题考查向量的减法运算，考查向量的模长，这种问题比较容易出错的知识点是求两个向量的差时，不要把减数和被减数弄错17某个命题与自然数n有关，若n=k（kn*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）a 当n=6时，该命题不成立b 当n=6时，该命题成立c 当n=4时，该命题不成立d 当n=4时，该命题成立考点：数学归纳法专题：计算题分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由p（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当p（n）对n=k不成立时，则它对n=k1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立，由此不难得到答案解答：解：由题意可知，p（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）同理可推得p（n）对n=3，n=2，n=1也不成立故选c点评：当p（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当p（n）对n=k不成立时，则它对n=k1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立18若点p在曲线y=x33x2+（3）x+上移动，经过点p的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）a 0，）b 0，），）c ，）d 0，）（，考点：导数的几何意义；直线的倾斜角专题：计算题分析：先求出函数的导数y的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围解答：解：函数的导数y=3x26x+3=3（x1）2，tan，又 0，0 或 ，故选 b点评：本题考查函数的导数的几何意义，直线的倾斜角和斜率的关系二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上19（2x）dx=1考点：定积分专题：计算题；数形结合分析：由差的积分等于积分的差得到（2x）dx=（）dx2xdx，然后由微积分基本定理求出（）dx，求出定积分2xdx，则答案可求解答：解：（2x）dx=（）dx2xdx令，则（x1）2+y2=1（y0），表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆（）等于四分之一圆的面积，为又2xdx=（2x）dx=故答案为：点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题20设z1=i4+i5+i6+i12，z2=i4i5i6i12，则z1，z2关系为z1=z2考点：虚数单位i及其性质专题：数系的扩充和复数分析：由虚数单位的性质分别计算可得结论解答：解：z1=i4+i5+i6+i12=1+i1i+1=1，z2=i4i5i6i12=1i（1）（i）1=（1）21=1z1=z2，故答案为：z1=z2点评：本题考查复数的代数运算，涉及虚数单位的性质，属基础题21已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是57考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在3，3上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可解答：解析：f（x）=3x2+6x，令f（x）=0，得3x（x+2）=0x=0，x=2（i）当0x3，或3x2时，f（x）0，f（x）单调递增，（ii）当2x0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（3）或f（0）f（3）=（3）3+3（3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（2）或f（3），f（2）=（2）3+3（2）2+3=7，f（3）=33+332+3=57，则最大值为57故答案为：57点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力22函数g（x）=ax3+2（1a）x23ax在区间（，）内单调递减，则a的取值范围是1，0考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：由g（x）=3ax2+4（1a）x3a，g（x）在（，a/3）递减，则g（x）在（，a/3）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a0，（3）a0时的情况，从而求出a的范围解答：解：g（x）=3ax2+4（1a）x3a，g（x）在（，a/3）递减，则g（x）在（，a/3）上小于等于0（1）a=0时，g（x）0，解得：x0，即g（x）的减区间是（，0），0，才能g（x）在（，）递减，解得a=0 （2）a0，g（x）是一个开口向上的抛物线，要使g（x）在（，）上小于等于0 解得：a无解 （3）a0，g（x）是一个开口向下的抛物线，设g（x）与x轴的左右两交点为a（x1，0），b（x2，0）由韦达定理，知x1+x2=，x1x2=1，解得：x1=，则在a左边和b右边的部分g（x）0 又知g（x）在（，）递减，即g（x）在（，）上小于等于0，x1，解得1a5，取交集，得1a0，a的取值范围是1a0点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题三、解答题：本大题共4小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤23已知f（x）=dt，（x0）（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在1，3上的最值考点：微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的概念及应用分析：（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究f（x）的正负，即可得到函数f（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）根据f（x）的单调性，分别求出f（1）、f（2）、f（3）的值并比较大小，可得f（x）在1，3上的最大值是f（3）=6，最小值是解答：解：依题意得，定义域是（0，+）（2分）（1）f（x）=x2+2x8，令f（x）0，得x2或x4； 令f（x）0，得4x2，且函数定义域是（0，+），函数f（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（6分）（2）令f（x）=0，得x=2（x=4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且，f（3）=6，f（x）在1，3上的最大值是f（3）=6，最小值是（10分）点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题24设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值考点：导数的运算；函数解析式的求解及常用方法；定积分专题：函数的性质及应用分析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，=0，求得c的值，即可得到函数的解析式（2）由题意可得 （ x2+2x+1）dx=（ x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），化简得2（t1）3=1，由此求得t的值解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又因为 f（x）=2x+2，a=1，b=2，f（x）=x2+2x+c由于方程f（x）=0有两个相等的实根，=44c=0，解得