福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中联考高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

福建省莆田一中、泉州五 中、漳州一中联考2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）1设集a=x|0x2，集合b=x|log2x0，则ab 等于( )ax|x2bx|x0cx|0x2dx|1x2考点：交集及其运算 专题：计算题分析：运用对数函数的单调性化简集合b，然后直接进行交集运算解答：解：由a=x|0x2，b=x|log2x0=x|x1所以，ab=x|0x2x|x1=x|1x2故选d点评：本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的单调性，是基础题2已知函数f（x）=sin（2x+）（xr）的最小正周期为，为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只要将y=f（x）的图象( )a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值分析：利用已知条件化简函数的解析式，然后利用左加右减的原则，确定平移的方向与单位解答：解：因为函数f（x）=sin（2x+），函数的解析式化为：f（x）=sin，为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只要将函数f（x）的图象向右平移个单位长度即可故选b点评：本题考查三角函数的图象的变换，考查计算能力3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )a8bcd16考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体是三棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算解答：解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中sa平面abc，sa=2，bc=4，adbc，ad=2，几何体的体积v=422=故选：c点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量是解题的关键4已知向量=（m2，4），=（1，1），则“m=2”是“”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：规律型分析：根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：向量=（m2，4），=（1，1），若，则m2141=0，即m2=4，解得m=2或m=2“m=2”是“”的充分而不必要条件故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量平行的条件求出m是解决本题的关键，比较基础5若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是( )abacbabcccbadbca考点：不等式比较大小 专题：不等式的解法及应用分析：根据 a=1，b=1，c=a，从而得出结论解答：解：a=log23=1，b=log32=1，c=log46=，故有 bca，故选d点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题6已知数列an满足an+1+an=n，若a1=1，则a8a4=( )a1b1c2d4考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由数列递推式得到an+an1=n1（n2），和原递推式作差后得到an+1an1=1，由已知求出a2，则依次可求得a4，a6，a8，则答案可求解答：解：由an+1+an=n，得an+an1=n1 （n2），两式作差得：an+1an1=1 （n2），由a1=1，且an+1+an=n，得a2=a1+1=0则a4=a2+1=1，a6=a4+1=2，a8=a6+1=1+2=3，a8a4=31=2故选：c点评：本题考查了数列递推式，解答的关键是由已知递推式得到n取n1时的递推式，作差后得到数列的项之间的关系，属中档题7若实数a，b满足a2+b21，则关于x的方程x22x+a+b=0无实数根的概率为( )abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在单位圆及其内部，如图所示若关于x的方程x22x+a+b=0无实数根，则点（a，b）满足a+b1，即在单位圆内且直线a+b=1的上方由此结合几何概型计算公式，用图中弓形的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率解答：解：实数a，b满足a2+b21，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在以o为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示若关于x的方程x22x+a+b=0无实数根，则满足=44（a+b）0，解之得a+b1符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的上方，其面积为s1=1211=又单位圆的面积为s=12=关于x的方程x22x+a+b=0无实数根的概率为p=故选：d点评：本题给出a、b满足的关系式，求关于x的方程无实数根的概率，着重考查了弓形面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题8双曲线=1（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式为0，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式能求出结果解答：解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，把y=x代入抛物线抛物线y=x2+1，得bx2ax+b=0，渐近线与抛物线y=x2+1相切，=a24b2=0，a=2b，e=故选a点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解，考查双曲线的渐近线方程，是基础题，解题应注意相切的性质的灵活运用9定义在r上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在上是增函数，a、b是锐角三角形的两个内角，则( )af（sina）f（cosb）bf（sina）f（cosb）cf（sina）f（sinb）df（cosa）f（cosb）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断解答：解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，因为f（x）在上是增函数，所以f（x）在上为增函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在上为单调减函数因为在锐角三角形中，ab，所以a+b，所以ab0，所以sinasin（b）=cosb，因为f（x）在上为单调减函数所以f（sina）f（cosb），故选：a点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多10如图：已知方程为+=1的椭圆，a，b为顶点，过右焦点的弦mn的长度为y，中心o到弦mn的距离为d，点m从右顶点a开始按逆时针方向在椭圆上移动到b停止，当0mfa90时，记x=d，当90mfa180，记x=2d，函数y=f（x）图象是( )abcd考点：椭圆的简单性质；函数的图象 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过对称性只需考虑x考点：余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：运用余弦定理，可得bccosa=（c2+b2a2），代入数据计算即可得到解答：解：由余弦定理可得bccosa=bc=（c2+b2a2）=（36+169）=故答案为：点评：本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题13从6名候选人中选派出3人参加a、b、c三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加a活动，则不同的选派方法有100种考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：根据题意，分类讨论：若选的3人中选了甲，选的3人中不选甲两种情况分别求解即可解答：解：若选的3人中选了甲：共有=40种选法若选的3人中不选甲：共有=60种根据分类计数原理可知，共有40+60=100故答案为：100点评：本题考查排列、组合的综合运用，本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与组合的意义14正偶数列有一个有趣的现象：2+4=6； 8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，按照这种规律，则2014在第31个等式中考点：进行简单的演绎推理；等差数列的通项公式 专题：计算题；推理和证明分析：确定规律为：各等式首项分别为21，2（1+3），2（1+3+5），即可得出结论解答：解：2+4=6； 8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，其规律为：各等式首项分别为21，2（1+3），2（1+3+5），所以第n个等式的首项为2=2n2，当n=31时，等式的首项为1921，所以2014在第31个等式中故答案为：31点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定各等式的首项15定义一个对应法则g：o（m，n）o（，n）（m0），现有点a（1，3）与b（9，5），点m是线段ab上一动点，按定义的对应法则g：mm，当点m在线段ab上从点的a开始运动到点b结束时，则点m的对应点m所形成的轨迹与x轴围成的面积为4考点：轨迹方程；定积分 专题：导数的综合应用分析：先求m的轨迹，要根据点m与点m的关系用代入法点m的轨迹方程，此方法特点是先设出点m的坐标为（x，y），用之表示出点p的坐标，代入点m的坐标满足的方程，得到点m的横纵坐标之间的关系，即轨迹为m，再由定积分其面积解答：解：ab的斜率k=，直线l为ab：y+3=x1，则y=x+4，且1x9ab上的一点（x，y）通过法则变（x，y），则y=y，x=，故x=x2，y=x24，1x3所求面积s=（4x2）dx+（x24）dx=（4x）|+（4x）|=4点评：本题考查代入法求轨迹方程，根据对应法则求出对应关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数的最小正周期为（1）求值及f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，a、b、c分别是三个内角a、b、c所对边，若a=1，求b的大小考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）先利用二倍角、辅助角公式化简函数，利用最小正周期为，求出值，进而可求f（x）的单调递增区间；（2）先利用解析式求出a，再利用正弦定理求出b解答：解：（1）f（x）=sin（2x+）f（x）的最小正周期为，=1，f（x）=sin（2x+）由2x+，可得，f（x）的单调递增区间为（kz）；（2）f（）=，sin（a+）=ab，a=1，由正弦定理可得=，ab，b=或点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题17如图，abcd是正方形，de平面abcd，afde，de=da=3af（） 求证：acbe；（） 求面fbe和面dbe所形成的锐二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）通过de平面abcd，证明deac，推出ac平面bde，然后证明 acbe（）以da，dc，de为坐标轴，建立空间直角坐标系dxyz，设ad=3，求出相关点的坐标，平面bef的法向量，平面bde的法向量，通过向量的数量积求解面fbe和面dbe所形成的锐二面角的余弦值解答：（）证明：因为de平面abcd，所以deac因为abcd是正方形，所以acbd，所以ac平面bde，从而 acbe（）解：因为da，dc，de两两垂直，所以建立空间直角坐标系dxyz如图所示设ad=3，可知de=3，af=1则d（0，0，0），a（3，0，0），f（3，0，1），e（0，0，3），b（3，3，0），c（0，3，0），所以，设平面bef的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=3，则=（2，1，3）因为ac平面bde，所以为平面bde的法向量，所以cos= 所以面fbe和面dbe所形成的锐二面角的余弦值为点评：本题考查直线与平面垂直的判断与性质，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力18抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品a1、a2、a3，假定a1正面向上的概率为，a2正面向上的概率为，a3正面向上的概率为t（0t1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设表示正面向上的枚数（1）求的分布列及数学期望e（用t表示）；（2）令an=（2n1）cos（e）（nn*），求数列an的前n项和考点：离散型随机变量的期望与方差；数列的求和 专题：概率与统计分析：（1）由已知得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望e（2）由=（2n1）cosn=（1）n（2n1），利用分类讨论思想能求出sn解答：解：（1）由已知得的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，的分布列为： 0 1 2 3 pe=+3=（2）=（2n1）cosn=（1）n（2n1），当n为偶数时，sn=+=，当n为奇数时，sn=+=，sn=（1）nn点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型之一19已知椭圆的焦点坐标为f1（1，0），f2（1，0），过f2垂直于长轴的直线交椭圆于p、q两点，且|pq|=3（1）求椭圆的方程；（2）过f2的直线l与椭圆交于不同的两点m、n，则f1mn的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|pq|=3，可得=3，又a2b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），不妨y10，y20，设f1mn的内切圆的径r，则f1mn的周长=4a=8，（|mn|+|f1m|+|f1n|）r=4r，因此最大，r就最大设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示f1mn的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论解答：解：（1）设椭圆方程为=1（ab0），由焦点坐标可得c=1由|pq|=3，可得=3，又a2b2=1，解得a=2，b=，故椭圆方程为=1（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），不妨y10，y20，设f1mn的内切圆的径r，则f1mn的周长=4a=8，（|mn|+|f1m|+|f1n|）r=4r因此最大，r就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my9=0，得，则=，令t=，则t1，则，令f（t）=3t+，则f（t）=3，当t1时，f（t）0，f（t）在，求函数（x）的最小值；（）设函数f（x）的图象c1与函数g（x）的图象c2交于点p、q，过线段pq的中点r作x轴的垂线分别交c1、c2于点m、n，问是否存在点r，使c1在m处的切线与c2在n处的切线平行？若存在，求出r的横坐标；若不存在，请说明理由考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（i）根据a=2时，函数h（x）=f（x）g（x）在其定义域内是增函数，知道h（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（ii）先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；（iii）先假设存在点r，使c1在m处的切线与c2在n处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出r的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在解答：解：（i）依题意：h（x）=lnx+x2bxh（x）在（0，+）上是增函数，对x（0，+）恒成立，x0，则b的取值范围是（ii）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t当，即时，函数y在上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；当12，即4b2时，当t=时，；，即b4时，函数y在上是减函数，当t=2时，ymin=4+2b综上所述：（iii）设点p、q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0x1x2则点m、n的横坐标为c1在点m处的切线斜率为c2在点n处的切线斜率为假设c1在点m处的切线与c2在点n处的切线平行，则k1=k2即则=，设，则，（1）令，则，u1，r（u）0，所以r（u）在故r（u）r（1）=0，则，与（1）矛盾！点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题本题设有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.【选修4-2：矩阵与变换】21选修42：矩阵与变换若二阶矩阵m满足（）求二阶矩阵m；（）把矩阵m所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程考点：矩阵变换的性质 专题：选作题；矩阵和变换分析：（）先求矩阵的逆矩阵，即可求二阶矩阵m；（）设二阶矩阵m所对应的变换为，根据矩阵变换求出坐标之间的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可解答：解：（）记矩阵，故|a|=2，故2分由已知得3分（）设二阶矩阵m所对应的变换为，得，解得，5分又3x2+8xy+6y2=1，故有3（x+2y）2+8（x+2y）（xy）+6（xy）2=1，化简得x2+2y2=1故所得曲线的方程为x2+2y2=17分点评：本题主要考查来了逆矩阵与矩阵变换的性质，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键，属于基础题【选修4-4：坐标系与参数方程】22在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy+4=0，曲线c的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点p的