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第六讲六年级数学简便算法61、六年级分数加减运算（一）、分数加减法运算法则分数加法与整数加法意义相同，都是把两个数合并成一个数的运算.分数减法与整数减法意义相同，都是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.、同分母分数加、减法.同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减.即 、异分母分数加、减法：异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的法则进行计算.即 、带分数相加、减法：现可先把整数部分与分数部分分别相加、减，再把所得的数合并起来.即 、分数、小数加减混合运算：一是，能将算式中所有的分数都能化成有限小数的，把分数化成小数计算比较简便，这是因为减少了通分的麻烦.即 另一是，不能将算式中的分数化成有限小数的，可以把小数化成分数计算.即 （二）、分数加减法运算例题例6-1-1： 计算： 4.75 - 9.63 +（8.25 - 1.37）思路分析：先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：a b - c = a -（b + c），使运算过程简便.4.75 - 9.63 +（8.25 - 1.37）= 4.75 + 8.25 - 9.63 - 1.37= 13 -（9.63 + 1.37）= 1311 = 2例6-1-2： 计算： 1234 + 2341 + 3412 + 4123思路分析：整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1、2、3、4组成，且4个数字在每个数位上各出现一次.1234 + 2341 + 3412 + 4123 = 11111 + 21111 + 31111 + 41111=（1 + 2 + 3 + 4）1111 = 101111 = 11110例6-1-3： 计算： 思路分析：因为；.= = = 1- = 例6-1-4： 计算 ： 思路分析：这道题如果先通分再相加，就比较复杂.如果先“借”来一个，然后再“还”一个，就可以口算出结果. = +）-= 1- = 例6-1-5： 计算 ： （a） （b）思路分析：计算分数加减混合运算时，应认真观察数字的特点、运算符号等，灵活选择算法. （a）、= 7 + 11 = 18 （b）、 = = = 13-3= 9例6-1-6、计算： 思路分析：这道题可将分数的分母分解成两个连续自然数乘积的形式，就符合分数数列求和常用的公式： . = = = 1- = 62、六年级分数乘除巧算（一）、分数乘法的运算法则分数乘法有两种：一是分数乘以整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和简便运算.二是一个数乘以分数，就是求这个数的几分之几？分数乘以整数：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变. 分数乘以分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 分数乘法中有带分数的：通常先把带分数化成假分数，然后再乘. （二）、分数除法的运算法则分数除法与整数除法的意义相同，就是已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算.甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数. 、分数、小数乘、除混合运算分数、小数乘、除混合运算，应先把小数化成分数，再计算.有时可以先约分，约分后再计算比较简便.如果计算结果允许取近似值，也可以先把分数化成小数，取其近似值. 、分数四则运算的简便算法整数加法的交换律、结合律和乘法的交换律、结合律、分配律、减法的性质、商不变的性质都同样适用于分数的运算，使其计算简便. 在进行分数四则运算时，应牢记运算定律、性质外，还应仔细审题、仔细观察运算符号、数字特点，并合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于简便算法.（三）、六年级分数乘、除法运算例题例6-2-1： 计算： 33338779+79066661思路分析：如果式中出现分数，可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律，使计算简便.33338779 + 79066661= 333387.579 + 79066661.25= 33338.75790 + 79066661.25 =（33338.75 + 66661.25）790= 100000 790 = 79000000例6-2-2： 计算： 361.09 + 1.267.3思路分析：这道题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特点后可知：36 =1.230.这样一转化，就可运用乘法分配律了.361.09 + 1.267.3 = 1.2301.09 + 1.267.3= 1.2301.09 + 67.3）= 1.2（32.7 + 67.3）= 120例6-2-3： 计算： 325 + 37.96思路分析：虽然3与6的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不相同，则应想到把37.9分成25.4和12.5两部分.当出现12.56.4时，则部可以将6.4看成80.8，这样计算就简便多了. 3 25 + 37.96 = 325 +（25.4 + 12.5）6.4= 325 + 25.46.4 + 12.56.4 =（3.6 + 6.4）25.4 + 12.580.8= 25480 = 334 例6-2-4： 计算： 81.515.8 + 81.551.8 + 67.618.5 思路分析：先分组提取公因数，再笫二次提取公因数，使计算简便.81.515.8 + 81.551.8 + 67.618.5 = 81.5（15.8 + 51.8）+ 67.618.5 = 81.567.6 + 67.618.5=（81.5 + 18.5）67.6 = 10067.6 = 6760例6-2-5： 计算： 223.4+11.157.6+6.5428 思路分析：应先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算.223.4 + 11.157.6 + 6.5428 = 2.823.4 + 2.865.4 + 11.187.2= 2.8（23.4 + 65.4）+ 88.87.2 = 2.888.8 + 88.87.2= 88.82.8 + 7.2）= 88.810 = 888 例6-2-6： 计算：有一串1、4、9、16、25、36它们是按一定规律排列的，那么其中笫2000个数与笫2001个数相差多少？思路分析： 这串数中第2000个数是2000，而笫2001个数是2001，它们相差：2001 - 2000， 2001 - 2000 = 20012000 - 2000 + 2001 = 2000（2001 - 2000）+ 2001 = 2000 + 2001 = 4001例6-2-7： 计算： （9 + 7）（ + ） 思路分析：从这道题可以看出，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把与的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多.（9 + 7）（ + ）=（ + ）（ + ）=65（ + ）5（ + ）= 655 = 13例6-2-8： 计算： （a）37 （b） 27思路分析：分数与整数相乘，可以按照分子与整数相乘的积作分子、分毌不变的法则进行计算.但观察这两道题的数字特点.（a）中的与1只相差，如果把写成（1-）的差与37相乘，再运用乘法的分配律就能简化运算了.同样，（b）中的27可写成（26+1）.（a）、 37 =（1 - ）37 = 137 - 37 = 37 - = 36 （b）、 27 =（26 + 1） = 26 + = 15 + = 15例6-2-9： 计算： 73思路分析：把73改写成72 + ，再用乘法分配律计算要比用常规方法计算简便得多.73 =（72 + ） = 72 + = 9 + = 9例6-2-10： 计算： 27 + 41思路分析：仔细观察因数的特点可知，27可转换为9，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了.27 + 41 = 9 + 41 = （9 + 41）= 50 = 30例6-2-11： 计算： + + 思路分析：根据分数乘法计算法则和乘法的交换律， = ， = ， = . + + = + + =（ + + ） = = 例6-2-12： 计算： 16641思路分析：仔细观察就会发现，166可分成一个41的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质使计算简便.16641 =（164 + 2）41 = 16441 + 41= 4 + = 4例6-2-13： 计算： 思路分析：用拆分法（即裂项法）进行分数的简便运算.拆分法解题就是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的.例如，的分数可以拆成-；而的分数可以拆成（-）； 的分数可以拆成等.可结合以上例子，思考其中的规律.因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，例如，=；其中的部分分数可以互相抵消，这样计算就简便多了. = = = = 例6-2-14： 计算： 思路分析：因为； ；将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差求和，最后把求得的和再乘以.=（）=（）= = = 例6-2-15： 计算： （1+）（+）-（1+）（）思路分析：仔细观察，可以发现题中有些分数是多次出现的，于是可用代数法来解这道题.所谓代数法解计算题，就是将某个复杂的算式换成含有字毌的式子，然后再进行计算.设： 1+= 、 = . （1+）（+）-（1+）（）= = = = = 例6-2-16： 计算： 思路分析：应仔细观察，找到两个因数相关联处，利用拆分和乘法分配律进行简便运算.这时发现题中，88与的分母87相差1，于是把88分成（87 + 1），再运用乘法分配律，用（87 + 1）的两个加数分别与相乘，就能很快算出得数. =（87 + 1） = 87 + 1 = 2例6-2-17： 计算： 思路分析：这道题不能一步到位，而要经过几步才能找到简便算法.需仔细观察发现，先把原式中的除法转变成乘法，再进一步发现7777可分成（11117），77779可分成（111163），再运用乘法分配律进行简算. = 77779 + 111137 = 1111（63 + 37）= 111100例6-2-18： 计算： 思路分析：在解答这道题过程中，灵活运用解法1：带分数除法法则和乘法分配律、解法2：商不变性质和除法运算性质、解法3：乘法分配律和除法性质.则这道题有以下三种解法：解法1： = = = = 解法2： = = = 1= 解法3：= = = = 20042004= 例6-2-19： 比较： 把1.6、 0.16桉从大到小顺序排列：思路分析：比较分数的大小，可把小数转换成分数或把分数转换成小数.上面三个数中有一个是循环小数，需把另外两个数转换成小数后进行比较：1.6 = 0.016、 = 0.16. 1.6 0.16例6-2-20： 比较： 分数与的大小思路分析：比较分数大小的方法有“1分数”和倒数比较法，要灵活运用. 解法1： 这两个分数都比较接近1，且分子与分母相差1，可用“1分数”比较法. ； . 因为 则 解法2： 两个分数的分子、分母都很大，不能用通分母或通分的方法，可采用倒数比较法： 因为倒数大，本身反而小，则 例6-2-21： 比较： 和 的大小思路分析：仔细观察两个分数，发现如果在的分子、分母后各添一个1就得到，一个真分数的分子和分母都加上一个数后，就大于原数：即 由于 = 所以 则 例6-2-22、计算： 思路分析：这道题初看没有简便运算，但仔细观察发现题中数据的特点.三个分数的分母相同，第一个积中与第二个积中都有148，则应考虑第三积中能不能找到148，148 = 274.所以 则可运用运算定律进行简便算法. = = 148 = 148例6-2-23、计算： -思路分析：这道题可以使用代替法解答，使得运算更为简便.设： 、 - = = = = = 例6-2-24、计算： 在分母小于10的真分数中，最接近0.618的数是几？思路分析：根据数的特点，把数进行变形，便于找到要求的数.因为： 所以：最接近0.618的分数是.例6-2-25、计算： 求 的整数部分思路分析：要求整数部分，必须找到这个“和”介于哪两个连续整数之间，根据数的特点适当进行放大或缩小，算出它的不足近似数和过剩近似数，从而恰当地确定它的准确值的范围. 因为 所以 2 = = 的整数部分是2.例6-2-26、计算： 思路分析：这道题可以将分数的分母分解成两个连续自然数乘积的形式，就符合分数数列求和常用的公式： .分数数列求和的常用公式还有：， 或. = = = 例6-2-27、计算： 在分母小于10的真分数中，最接近0.618的分数是几？思路分析：根据数的特点把数进行变形，便于找到要求的数. 因为： 0.618 = = = 所以