最新命题题库大全高考数学试题解析 分项专题10 圆锥曲线 文.doc

1 20132013 最新命题题库大全最新命题题库大全 2008 20122008 2012 年高考数学试题解析年高考数学试题解析 分项专题分项专题 1010 圆锥曲线圆锥曲线 文文 20122012 年高考试题年高考试题 一 选择题 1 2012 高考新课标文 4 设 12 ff是椭圆的左 右焦点 为 22 22 1 0 xy eab ab p 直线 3 2 a x 上一点 是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 12pf f e a 1 2 b 2 3 c d 2 2012 高考新课标文 10 等轴双曲线的中心在原点 焦点在轴上 与抛物线cxc 的准线交于两点 则的实轴长为 xy16 2 a b4 3ab c a2 b2 2 c d 答案 c 解析 设等轴双曲线方程为 抛物线的准线为 由 0 22 mmyx4 x 则 把坐标代入双曲线方程得34 ab32 a y 32 4 所以双曲线方程为 即 所以41216 22 yxm4 22 yx1 44 22 yx 所以实轴长 选 c 2 4 2 aa42 a 3 2012 高考山东文 11 已知双曲线 的离心率为 2 若抛物线 1 c 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 的焦点到双曲线的渐近线的距离为 2 则抛物线的方程为 2 2 2 0 cxpy p 1 c 2 c a b 2 16 3 3 xy c d 2 8 3 3 xy 2 8xy 2 16xy 4 2012 高考全国文 5 椭圆的中心在原点 焦距为 一条准线为 则该椭圆的44x 方程为 a b 22 1 1612 xy 22 1 128 xy c d 22 1 84 xy 22 1 124 xy 5 2012 高考全国文 10 已知 为双曲线的左 右焦点 点在 1 f 2 f 22 2c xy p 上 则c 12 2 pfpf 12 cosfpf a b c d 1 4 3 5 3 4 4 5 答案 c 解析 双曲线的方程为 所以 因为 pf1 2pf2 所以1 22 22 yx 2 2 cba 3 点 p 在双曲线的右支上 则有 pf1 pf2 2a 所以解得 pf2 pf1 222224 所以根据余弦定理得 选 c 4 3 24222 14 24 22 cos 22 21 pff 6 2012 高考浙江文 8 如图 中心均为原点 o 的双曲线与椭圆有公共焦点 m n 是双 曲线的两顶点 若 m o n 将椭圆长轴四等分 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 a 3 b 2 c d 32 7 2012 高考四川文 9 已知抛物线关于轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点xo 若点到该抛物线焦点的距离为 则 0 2 mym3 om a b c d 2 22 342 5 答案 b 解析 根据题意可设设抛物线方程为 则点焦点 2 2ypx 2 2 mp q 0 2 p 点到该抛物线焦点的距离为 m3 解得 所以 2 249 2 p p 2p 44 22 3om 8 2012 高考四川文 11 方程中的 且互不相 22 ayb xc 2 0 1 2 3 a b c a b c 同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 a 28 条 b 32 条 c 36 条 d 48 条 答案 b 4 9 2012 高考上海文 16 对于常数 是 方程的曲线是mn0mn 22 1mxny 椭圆 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充 分也不必要条件 10 2012 高考江西文 8 椭圆的左 右顶点分别是 a b 左 右 22 22 1 0 xy ab ab 焦点分别是 f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 a b c d 1 4 5 5 1 2 5 2 答案 b 解析 椭圆的顶点 焦点坐标为 所以 0 0 abaa 0 0 21 cfcf 又因为 成等比数列 所以有cabfcaaf 11 cff2 21 1 af 21f fbf1 即 所以 离心率为 选 222 4cacacac 22 5ac ca5 5 5 a c e b 11 2012 高考湖南文 6 已知双曲线 c 1 的焦距为 10 点 p 2 1 在 c 2 2 x a 2 2 y b 的渐近线上 则 c 的方程为 a 1 b 1 c 1 d 1 w ww zzy 0 18 5 x 0 57 5 y 或 或 或 2 3 2 3 1857 55 1857 55 点评 本题考查曲线与方程 直线与曲线的位置关系 考查运算能力 考查数形结合思 想 函数与方程思想等数学思想方法 第一问根据条件设出椭圆方程 求出即得椭圆 c a b 21 e 的方程 第二问设出点 p 坐标 利用过 p 点的两条直线斜率之积为 得出关于点 p 坐 1 2 标的一个方程 利用点 p 在椭圆上得出另一方程 联立两个方程得点 p 坐标 31 2012 高考湖北文 21 本小题满分 14 分 设 a 是单位圆 x2 y2 1 上任意一点 l 是过点 a 与 x 轴垂直的直线 d 是直线 l 与 x 轴的交 点 点 m 在直线 l 上 且满足当点 a 在圆上运动时 记点 m 的 轨迹为曲线 c 1 求曲线 c 的方程 判断曲线 c 为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 2 过原点斜率为 k 的直线交曲线 c 于 p q 两点 其中 p 在第一象限 且它在 y 轴上的 射影为点 n 直线 qn 交曲线 c 于另一点 h 是否存在 m 使得对任意的 k 0 都有 pq ph 若存在 求 m 的值 若不存在 请说明理由 21 答案 22 解析 本题考查椭圆的标准方程 直线与圆锥曲线的位置关系 考查分类讨论的数学思 想以及运算求解的能力 本题是一个椭圆模型 求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论 不要漏解 对于探讨性问题一直是高考考查的热点 一般先假设结论成立 再逆推所需要 求解的条件 对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求 32 2012 高考全国文 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线与圆有一个公共点 且在 2 1 c yx 222 1 1 0 2 mxyrr a 点处两曲线的切线为同一直线 al 求 r 设 是异于 且与及都相切的两条直线 的交点为 求到mnlcmmndd 的距离 l 答案 23 24 33 2012 高考辽宁文 20 本小题满分 12 分 如图 动圆 1 t 3 222 1 cxyt 与椭圆 相交于 2 c 2 2 1 9 x y a b c d 四点 点分别为的 12 a a 2 c 左 右顶点 当 t 为何值时 矩形 abcd 的面积取得最大值 并求出其最大面积 求直线 aa1与直线 a2b 交点 m 的轨迹方程 答案答案 解析解析 本题主要考查直线 圆 椭圆的方程 椭圆的几何性质 轨迹方程的求法 考查 25 函数方程思想 转化思想 数形结合思想 运算求解能力和推理论证能力 难度较大 34 2012 高考江西文 20 本小题满分 13 分 已知三点 o 0 0 a 2 1 b 2 1 曲线 c 上任意一点 m x y 满足 1 求曲线 c 的方程 2 点 q x0 y0 2 x00 因为直线 od 的方程为 所以由得 3 m yx 2 2 3 1 3 m yx x y 交点 g 的纵坐标为 又因为 且 2 2 3 g m y m 2 1 3 e n y k d ym 2 ogod oe 36 所以 又由 知 所以解得 所以直线 的方程为 2 22 31 3 mn m mk 1 m k kn l 即有 令得 y 0 与实数 k 无关 所以直线 过定点 l ykxk 1 l yk x 1x l 1 0 19 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 19 19 本小题满分 12 分 已知过抛物线的焦点 斜率为的直 02 2 ppxy22 线交抛物线于 两点 且 12 a x y 22 b xy 12 xx 9 ab 1 求该抛物线的方程 2 为坐标原点 为抛物线上一点 若 求的值 ocoboaoc 解析 1 直线 ab 的方程是 05x4px2y 2 22 222 ppx p xy联立 从而有与 所以 由抛物线定义得 所以 p 4 4 5 21 p xx 9 21 pxxab 抛物线方程为 xy8 2 2 由 p 4 05x4 22 ppx 化简得 从而045 2 xx 4 1 21 xx 从而 a 1 b 4 24 22 21 yy22 24 37 设 又 即 24 4 22 1 3 3 yxoc 2422 41 3 2 3 8xy 8 4 即 解得 2 1222 1 14 12 2 2 0 或 20 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 18 18 本小题满分 12 分 如图 直线 l y x b 与抛物线 c x2 4y 相切于点 a 1 求实数 b 的值 11 求以点 a 为圆心 且与抛物线 c 的准线相切的圆的方程 21 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 21 21 已知平面内一动点p到点 f 1 0 的距离与点p到 y轴的距离的等等于 1 i 求动点p的轨迹c的方程 ii 过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 l l 设 1 l与轨迹c相交于点 a b 2 l与 轨迹c相交于点 d e 求ad eb 的最小值 解析 i 设动点p的坐标为 x y 由题意为 22 1 1 xyx 化简得 2 22 yxx 当 2 0 4 0 xyxx 时当时 y 0 所以动点 p 的轨迹 c 的方程为 2 4 0 0 yx xx 和y 0 ii 由题意知 直线 1 l的斜率存在且不为 0 设为k 则 1 l的方程为 1 yk x 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24 0 k xkxk 38 设 1122 a x yb xy则 12 x x是上述方程的两个实根 于是 1212 2 4 2 1xxx x k 因为 12 ll 所以 2 l的斜率为 1 k 22 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 17 17 本小题满分 12 分 设椭圆 c 过点 0 4 离心率为 求 c 的方程 求过点 22 22 10 xy ab ab 3 5 3 0 且斜率为的直线被 c 所截线段的中点坐标 4 5 解 将 0 4 代入 c 的方程得 b 4 又 得即 2 16 1 b 3 5 c e a 22 2 9 25 ab a 2 169 1 25a c 的方程为5a 22 1 2516 xy 过点且斜率为的直线方程为 3 0 4 5 4 3 5 yx 设直线与 的交点为 将直线方程代入 的方程 11 x y 22 xy 4 3 5 yx 得 即 解得 2 2 3 1 2525 xx 2 380 xx 1 341 2 x 2 341 2 x ab 的中点坐标 即中点为 12 3 22 xx x 12 12 26 6 255 yy yxx 39 36 25 注 注 用韦达定理正确求得结果 同样给分 23 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 21 21 本小题共 12 分 过点 0 1 c的椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 椭圆与x轴交于两点 0a a 0 ba 过点c的直线l与椭圆交于另一点d 并与x轴交于点p 直线ac与直线 bd交于点q i 当直线l过椭圆右焦点时 求线段cd的长 当点 p 异于点 b 时 求证 op oq 为定值 解析 i 因为椭圆过 c 1 0 所以 b 1 因为椭圆的离心率是 所以 3 2 故 椭圆方程为 222 3 2 c abc a 又2 3ac 2 2 1 4 x y 当直线 过椭圆右焦点时 直线 的方程为 由得或ll1 3 x y 2 2 1 4 1 3 x y x y 8 3 7 1 7 x y 则 故 0 1 x y 8 3 0 1 1 7 cd 2 2 8 31 1 77 cd 16 7 直线 ca 的方程为 设点 p 则直线 ap 的方程为1 2 x y 0 0 x 0 2 x 0 1 x y x 40 24 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 22 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知o为坐标原点 f为椭圆在y轴正半轴上的焦点 过f且斜率为 2 2 1 2 y c x 的直线 与c交与a b两点 点p满足 证明 点p在c上 2 l0 oaobop 设点p关于点o的对称点为q 证明 a p b q四点在同一圆上 解析 证明 由 2 2 1 0 1 2 y xf 得 21l yx 由 2 2 2 12 42 210 1 2 yx xx y x 得 设 11111 2 284 4 1 26 2 44 a x yb x yx 则 2 2 284 4 1 26 2 44 x 1 2631 21 42 y 2 2613 21 42 y 0 oaobop 12 12 2 2 1 p p xxx yyy 故点 p 在 c 上 2 2 22 21 1 222 p p y x 法一 点 p p 关于点 o 的对称点为 q 2 1 2 2 1 2 q 41 即 同 2 2 111 2 2 1 11 31 1 111 2 1 1 22261 2 2242 aqap yyy kk x xx 90paq 理即 a p b q 四点在同一圆1 pbbq kk 90pbq 180paqpbq 上 25 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 21 21 本小题满分 13 分 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹 加 12 0 0 0 aaa aa 上 a1 a2两点所在所面的曲线 c 可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线 c 的方程 并讨论 c 的形状与 m 的位置关系 当 m 1 时 对应的曲线为 c1 对给定的 对应的曲线为 c2 1 0 0 m 设 f1 f2是 c2的两个焦点 试问 在 c1上 是否存在点 n 使得 f1nf2的面 积 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 2 sm a 12 tanf nf 42 本小题主要考查曲线与方程 圆锥曲线等基础知识 同时考查推理运算的能力 以及分类 与整合和数形结合的思想 2 由 1 知 当时 c1的方程为 1m 222 xya 当时 c2的两个焦点分别为 1 0 0 m 12 1 0 1 0 famf am 对于给定的 c1上存在点使得的充要条 1 0 0 m 000 0 n xyy 2 sm a 件是 222 000 2 0 0 1 21 2 xyay am ym a 由 得 由 得 0 0 ya 0 1 m a y m 当即 或时 0 1 m a a m 15 0 2 m 15 0 2 m 存在点 n 使 2 sm a 当即 或时 1 m a a m 15 1 2 m 15 2 m 不存在满足条件的点 n 当时 1515 0 0 22 m 由 100200 1 1 nfamxynfamxy 43 26 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 22 22 本题满分 15 分 如图 设是p 抛物线 上动点 圆 的圆心为点 1 c 2 xy 2 c 22 3 1xy m 过点做圆的两条切线 交直线 于两点 p 2 cl3y a b 求的圆心到抛物线 准线的距离 2 cm 1 c 是否存在点 使线段被抛物线在点处得切线平pab 1 cp 分 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 p 解析 由得准 线方程为 由 2 xy 1 4 y 得 m 圆心 m 到抛物线的准 线的距离为 22 3 1xy 0 3 1 c 111 3 44 设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线 于点 再设p 2 00 x x 1 cpld 横坐标分别为 过点的抛物线的切线方程为 a b d abd xxxp 2 00 x x 1 c 1 2 000 2 yxx xx 当时 过点与圆的切线为可得 0 1x p 1 1 2 cpa 15 1 1 8 yx 当时 过点与圆的切线 17 1 1 15 abd xxx 2 abd xxx 0 1x p 1 1 2 c 为可得 所以pa 15 1 1 8 yx 17 1 1 15 abd xxx 2 abd xxx 44 设切线 的斜率为则 2 2 0 10 x papb 12 k kpa 2 010 yxk xx pb 2 020 yxkxx 27 27 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 18 18 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 设椭圆设椭圆的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为 点点满足满足 22 22 1 0 xy ab ab 12 f f p a b 212 pfff 求椭圆的离心率 求椭圆的离心率 e 设直线设直线与椭圆相交于与椭圆相交于 a ba b 两点两点 若直线若直线与圆与圆相交于相交于 m nm n 2 pf 2 pf 22 1 3 16xy 两点两点 且且 mn mn ab ab 求椭圆的方程求椭圆的方程 5 8 解析 设 因为 所以 1 0 fc 2 0 f c0c 212 pfff 整理得 22 2acbc 45 即 解得 2 2 10 cc aa 2 210ee 1 2 e 28 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 18 18 如图 在平面直角坐标系中 m n 分别是椭圆xoy 的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于 p a 两点 其中 p 在第一象限 过 p 作1 24 22 yx x 轴的垂线 垂足为 c 连接 ac 并延长交椭圆于点 b 设直线 pa 的斜率为 k 1 当直线 pa 平分线段 mn 求 k 的值 2 当 k 2 时 求点 p 到直线 ab 的距离 d 3 对任意 k 0 求证 pa pb 解析 1 因为 2 0 m 0 2 n 所以 mn 的中点坐标为 1 又因为直线 pa 平分线段 mn 2 2 所以 k 的值为 2 2 2 因为 k 2 所以直线 ap 的方程为 由得交点 p a 2yx 22 2 1 42 yx xy 2 4 3 3 24 33 n m p a x y b c 46 因为 pc x 轴 所以 c 所以直线 ac 的斜率为 1 直线 ab 的方程为 2 0 3 2 3 yx 所以 点 p 到直线 ab 的距离 d 242 333 2 2 2 3 3 法一 由题意设 0000110 0 p xyaxyb x yc x 则 a c b 三点共线 又因为点 p b 在椭圆上 0101 10010 2 yyyy xxxxx 两式相减得 2222 0011 1 1 4242 xyxy 01 01 2 pb xx k yy 0011001 0011001 1 2 papb yxxyyxx k k xyyxxyy papb 法二 设 112200111 a bn x y p c 0 a x yb xyxyx 中点则 a c b 三点共线 又因为点 a b 在椭圆上 2211 21211 2 ab yyyy k xxxxx 两式相减得 2222 2211 1 1 4242 xyxy 0 0 1 2 ab y xk 01 01 1 21 2 onpaab ab y y kkk x xk onpbpapb a 29 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 21 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 c1的中心在圆点 o 长轴左 右端点 m n 在 x 轴上 椭圆 c1的短轴为 mn 且 c1 c2的离心率都为 e 直线 l mn l 与 c1交于两点 与 c1交于两点 这四点按 纵坐标从大到小依次为 a b c d 47 i 设 e 求 bc 与 ad 的比值 1 2 ii 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 bo an 并说明理由 解析 i 因为 c1 c2的离心率相同 故依题意可设 22222 12 2242 1 1 0 xyb yx ccab abaa 设直线分别和 c1 c2联立 求得 l xt ta 2222 ab a tatb tat ba 当时 分别用 ya yb表示 a b 的纵坐标 可知 1 2 e 3 2 ba bc ad 2 2 2 3 2 4 b a yb ya ii t 0 时的 l 不符合题意 t 0 时 bo an 当且仅当 bo 的斜率 kbo与 an 的斜率 kan相 等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1abe ta abe 因为 又 所以 解得 ta 01e 2 2 1 1 e e 2 1 2 e 所以当时 不存在直线 l 使得 bo an 当时 存在直线 l 使得 2 0 2 e 2 1 2 e bo an 30 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 17 17 本小题满分 13 分 48 设直线 11221212 x 1 y k x1kkk k 20lykl 其中实数满足 i 证明与相交 1 l 2 l ii 证明与的交点在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 命题意图 本题考察直线与直线的位置关系 线线相交的判断与证明 点在线上的判 断与证明 椭圆方程等基本知识 考察反证法的证明思路 推理论证能力和运算求解能力 解析 1 反证法 假设与不相交 则与必平行 代入 1 l 2 l 1 l 2 l 12 k k 得 12 k k20 与是实数相矛盾 从而 即与相交 2 1 k20 1 k 12 kk 1 l 2 l 2 方法一 由得交点 p 的坐标 x y 为 1 2 k1 k1 yx yx 21 21 21 2 x kk kk y kk 而 22222 2222 2121121212 22222 212121121212 8 8242 2x y 2 1 24 kkkkkkk kkk kkkkkkkkk kkk 所以与的交点 p 的 x y 在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 49 3131 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 21 21 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中 直线中 直线交交轴于点轴于点 a a 设 设 p p 是是 上一点 上一点 m m 是线段是线段 opop xoy 2l x xl 的垂直平分线上一点 且满足的垂直平分线上一点 且满足 mpoaop 1 1 当点当点 p p 在在 上运动时 求点上运动时 求点 m m 的轨迹的轨迹 e e 的方程 的方程 l 2 2 已知 已知 设 设 h h 是是 e e 上动点 求上动点 求的最小值 并给出此时点的最小值 并给出此时点 h h 的坐的坐 1 1 t hoht 标 标 3 3 过点 过点且不平行于且不平行于轴的直线轴的直线与轨迹与轨迹 e e 有且只有两个不同的交点 求直线有且只有两个不同的交点 求直线 1 1 t y 1 l 的斜率的斜率的取值范围 的取值范围 1 l k 解析解析 50 00 222 1 9090 2 2 4 1 4 1 m x ymopmpmo mpoaopao mpoapmpa moox mo yxyxmeyx 2 设点是线段的垂直平分线上的点 点到点的距离和点到直线的距离相等 点的轨迹是抛物线 点是焦点 直线x 2是准线 x点的轨迹的方程为 2 由 1 得点o是抛物线的焦点 过点h作直线l的垂线 2222 ho ht hf ht hf ht ho ht 1 2 3 3 2 2 230 4 1 0 f h t h yk xkkxkk x k 2 垂足为f 当三点在一条直线上时 取最小值 此时最小此时h x 1 33 1 4 x 1 x 1 44 设直线的方程为y 1 k x 1 y 1 k x 1 消去得 y 当时 显然没有两 22222 0 4 2 4 23 0210 0 kkkkkkkkkr krk 个交点 当时 综合得斜率k的取值范围为且 32 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 21 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如题 21 图 椭圆的中心为原点 0 离心率 e 2 2 一条准线的方程是2 2x 求该椭圆的标准方程 设动点 p 满足 其中 m n 是椭圆上的点 直线 om 与 on 的2opomon 斜率之积为 1 2 问 是否存在定点 f 使得pf与点 p 到直线l 2 10 x 的距离之比 为定值 若存在 求 f 的坐标 若不存在 说明理由 题 21 图 51 设分别为直线 om on 的斜率 由题设条件知 omon kk 因此 12 12 1 2 omon y y kk x x 1212 20 x xy y 所以 22 220 xy 所以 p 点是椭圆上的点 该椭圆的右焦点为 离心率 22 22 1 2 5 10 xy 10 0 f 是该椭圆的右准线 故根据椭圆的第二定义 存在定点 2 2 10 2 el x 直线 使得 pf 与 p 点到直线l的距离之比为定值 10 0 f 20102010 年高考试题年高考试题 20102010 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 20102010 湖南文数 湖南文数 5 设抛物线上一点 p 到 y 轴的距离是 4 则点 p 到该抛物线焦 2 8yx 52 点的距离是 a 4 b 6 c 8 d 12 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与fbfb 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 a b c d 23 31 2 51 2 解析 选 d 不妨设双曲线的焦点在轴上 设其方程为 x 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 f cbb 一条渐近线斜率为 直线的斜率为 b a fb b c 1 bb ac 2 bac 解得 22 0caac 51 2 c e a 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线的焦点为 准线为 为抛物线上一点 2 8yx flp 为垂足 如果直线斜率为 那么pal aaf3 pf a b 8 c d 164 38 3 解析 选 b 利用抛物线定义 易证为正三角形 则paf 4 8 sin30 pf 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 12 已知椭圆 c a b 0 的离心率为 过右焦 22 22 1 xy ab 3 2 53 点 f 且斜率为 k k 0 的直线于 c 相交于 a b 两点 若 则 k 3affb a 1 b c d 223 20102010 浙江文数 浙江文数 10 设 o 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的 1 f 2 f 22 22 xy 1 ab 焦点 若在双曲线上存在点 p 满足 p 60 op 则该双曲线的渐近线方 1 f 2 f7a 程为 a x y 0 b x y 033 c x 0 d y 02y2x 解析 选 d 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 20102010 山东文数 山东文数 9 已知抛物线 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 2 2 0 ypx p 线与 两点 若线段的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为abab a b 1x 1x c d 2x 2x 答案 b 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的 离心率是 a 5 4 b 5 3 c 5 2 d 5 1 54 20102010 福建文数 福建文数 11 若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点 点 p 为椭 22 1 43 xy 圆上的任意一点 则的最大值为op fp a a 2 b 3 c 6 d 8 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 为双曲线 c 的左 右焦点 点 p 在 c 1 f 2 f 22 1xy 上 则 1 fp 2 f 0 60 12 pfpf a a 2 b 4 c 6 d 8 8 b 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos p 1 f 2 f 222 1212 12 2 pfpfff pfpf 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 pf pf pfpfpf pfff pf pfpf pf 4 12 pfpf a 55 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 f pf sbpf pfpf pf 4 12 pfpf a 20102010 四川文数 四川文数 10 椭圆的右焦点为f 其右准线与轴的交 22 22 10 xy a ab b x 点为 在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f 则椭圆离心率的取值范围是a a 0 b 0 c 1 d 1 2 2 1 2 21 1 2 20102010 四川文数 四川文数 3 抛物线的焦点到准线的距离是 2 8yx a 1 b 2 c 4 d 8 解析 由y2 2px 8x知p 4 又交点到准线的距离就是p 答案 c 56 20102010 湖北文数 湖北文数 9 若直线与曲线有公共点 则 b 的取值范围yxb 2 34yxx 是 a b 3 1 2 2 12 2 12 c 1 d 3 12 2 1 2 2 20102010 上海文数 上海文数 8 动点到点的距离与它到直线的距离相等 则的p 2 0 f20 x p 轨迹方程为 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为y2 8xp 2 0 f 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 15 已知抛物线 c y2 2px p 0 的准线 l 过 m 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 a 与 c 的一个交点为 b 若 则 p 解析解析 2 2 本题考查了抛物线的几何性质 本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 abab 代入 代入得得 又 又 33yx 2 2ypx 2 3 62 30 xp x 解得 解得 解得 解得 舍去 舍去 ammb 1 2 2 xp 2 4120pp 2 6pp 20102010 安徽文数 安徽文数 12 抛物线的焦点坐标是 2 8yx 答案 2 0 解析 抛物线 所以 所以焦点 2 8yx 4p 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求 或求出后 误认为焦点pp 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 0 p 20102010 重庆文数 重庆文数 13 已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于 两点 2 4yx fab 57 则 2af bf 解析 由抛物线的定义可知 1 2afaakf 故2abx 轴af bf 20102010 北京文数 北京文数 13 已知双曲线的离心率为 2 焦点与椭圆的 22 22 1 xy ab 22 1 259 xy 焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 答案 4 0 30 xy 20102010 天津文数 天津文数 13 已知双曲线的一条渐近线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 它的一个焦点与抛物线的焦点相同 则双曲线的方程为 3yx 2 16yx 20102010 福建文数 福建文数 13 若双曲线 1 b 0 的渐近线方程式为 y 则 等于 2 x 4 2 2 y b 1 x 2 答案 1 解析 由题意知 解得 b 1 1 22 b 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段fcb 58 的延长线交于点 且 则的离心率为 bfcdbf2fd uu ruur c 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 设 f 分 bd 所成的比为 22 22 1 xy ab 22 d xy 2 代入 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 20102010 湖北文数 湖北文数 15 已知椭圆的两焦点为 点满足 2 2 1 2 x cy 12 f f 00 p xy 则 的取值范围为 直线与椭圆 c 的公 2 2 0 0 01 2 x y 1 pf 2 pf 0 0 1 2 x x y y 共点个数 答案 2 2 2 0 解析 依题意知 点 p 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 p 在原点处时 12max 2 pfpf 当 p 在椭圆顶点处时 取到 12max pfpf 为 59 3 3 20102010 江苏卷 江苏卷 6 在平面直角坐标系 xoy 中 双曲线上一点 m 点 m 的横1 124 22 yx 坐标是 3 则 m 到双曲线右焦点的距离是 解析 考查双曲线的定义 为点 m 到右准线的距离 4 2 2 mf e d d1x 2 mf 4 d 20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 20102010 上海文数 上海文数 2323 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小小 题满分题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知椭圆的方程为 和为的三个顶 22 22 1 0 xy ab ab 0 ab 0 bb 0 q a 点 1 若点满足 求点的坐标 m 1 2 amaqab m 2 设直线交椭圆于 两点 交直线于点 若 11 lyk xp cd 22 lyk x e 证明 为的中点 2 12 2 b kk a ecd 3 设点在椭圆内且不在轴上 如何构作过中点的直线 使得 与椭圆p xpqfll 的两个交点 满足 令 点的 1 p 2 p 12 pppppq 12 pppppq 10a 5b p 坐标是 8 1 若椭圆上的点 满足 求点 的坐标 1 p 2 p 12 pppppq 1 p 2 p 解析 1 22 ab m 2 由方程组 消y得方程 1 22 22 1 yk xp xy ab 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线交椭圆于 两点 11 lyk xp cd 60 所以 0 即 2222 1 0a kbp 20102010 湖南文数 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8km 的 a b 两点各建一个考察基 地 视冰川面为平面形 以过 a b 两点的直线为 x 轴 线段 ab 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系 图 4 考察范围到 a b 两点的距离之和不超过 10km 的区域 i 求考察区域边界曲线的方程 ii 如图 4 所示 设线段 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融 12 pp 化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 a 恰好在冰川边界线上 61 20102010 浙江理数 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知m 1 直线 椭圆 2 0 2 m l xmy 分别为椭圆的左 右焦点 2 2 2 1 x cy m 1 2 f fc 当直线 过右焦点时 求直线 的方程 l 2 fl 设直线 与椭圆交于两点 的重lc a b 12 affv 12 bffv 心分别为 若原点在以线段为直径的圆内 求实数 g hogh 62 的取值范围 m 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 设 1122 a x yb xy 由 消去得 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m x 2 2 210 4 m ymy 则由 知 2 22 8 1 80 4 m mm 2 8m 且有 2 1212 1 282 mm yyy y a 由于 12 0 0 fcf c 故为的中点 o 12 ff 由 2 2aggo bhho 可知 1121 3333 xyxy gh 22 2 1212 99 xxyy gh 63 20102010 陕西文数 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 c 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 p 与椭圆相交 于 a b 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 64 20102010 辽宁文数 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 分别为椭圆的左 右焦点 过的直线 与椭圆 1 f 2 f 22 22 1 xy c ab 0 ab 2 flc 相交于 两点 直线 的倾斜角为 到直线 的距离为 a bl60 1 fl2 3 求椭圆的焦距 c 如果 求椭圆的方程 22 2aff b c 解 设焦距为 由已知可得到直线l的距离2c 1 f32 3 2 cc 故 所以椭圆的焦距为 4 c 设直线 的方程为 112212 0 0 a x yb xyyy 由题意知l3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 65 因为 2212 2 2 aff byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆的方程为c 22 1 95 xy 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 c 相交于 b d 两点 且 bd 的 22 22 1 0 0 xy ab ab 中点为 m 1 3 求 c 的离心率 设 c 的右顶点为 a 右焦点为 f df bf 17 证明 过 a b d 三点的圆 与 x 轴相切 解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 由直线过点 1 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 bd 两点的中点为 1 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a b 的关系式即求得离心率 2 利用离心率将条件 fa fb 17 用含 a 的代数式表示 即可求得 a 则 a 点坐标可 得 1 0 由于 a 在 x 轴上所以 只要证明 2am bd 即证得 20102010 安徽文数 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆e经过点 2 3a 对称轴为坐标轴 焦点 12 f f在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆e的方程 求 12 f af 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单 几何性质 直线的点斜式方程与一般方程 点到直线的距离公 式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能力 解题指导 1 设椭圆方程为 把点代入椭圆方程 把离心率 22 22 1 xy ab 2 3a 用表示 再根据 求出 得椭圆方程 2 可以设直线l上 1 2 e a c 222 abc 22 a b 任一点坐标为 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 x y 346 2 5 xy x 66 解 设椭圆 e 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1 11 3 1 2243 13 1 2 1 1612 3 2 0 2 0 2 4 3460 2 xy ab cxy ebacc acc ace cc xy fafx xyafxeaf 由得 将 2 3 代入 有解得 椭圆的方程为 由 知f所以直线的方程为y 即直线的方程为由椭圆的图形知 f的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510 280 xy afx xyxxy af 数 设p x y 为f的角平分线所在直线上任一点 则有 若得其斜率为负 不合题意 舍去 于是3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 所以 f的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 根据题目满足的条件 22 22 1 xy ab 求出 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线 22 a b 的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 20102010 重庆文数 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点为中心 为右焦点的双曲线的离心率 o 5 0 fc 5 2 e 求双曲线的标准方程及其渐近线方程 c 如题 21 图 已知过点的直线 与过点 11 m x y 1 l 11 44x xy y 其中 的直线 的交点在双曲线上 直线 22 n xy 21 xx 2 l 22 44x xy y ec 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点 求的值 mnghog oh a 68 69 20102010 浙江文数 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 p 0 2 2cyps 的焦点 f 在直线上 2 0 2 m l xmy i 若 m 2 求抛物线 c 的方程 ii 设直线 与抛物线 c 交于 a b al 的重心分别为 g h 2 a f 1 bb f 求证 对任意非零实数 m 抛物线 c 的准线与 x 轴的焦点在以线段 gh 为直径的圆外 70 20102010 山东文数 山东文数 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆过点 22 22 1 0 xy ab ab 离心率为 左 右焦点分别为 2 1 2 2 2 1 f 点为直线上且不在轴上的任 2 fp 2l xy x 意 一点 直线和与椭圆的交点分别为 1 pf 2 pfa b 和 为坐标原点 cdo i 求椭圆的标准方程 ii 设直线 的斜线分别为 1 pf 2 pf 1 k 2 k 71 i 证明 12 13 2 kk ii 问直线 上是否存在点 使得直线 的斜率 lpoaobocod oa k 满足 若存在 求出所有满足条件的点的坐 ob k oc k od k0 oaobocod kkkk p 标 若不存在 说明理由 72 73 20102010 北京文数 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 c 的左 右焦点坐标分别是 离心率是 直线 y t 椭圆 2 0 2 0 6 3 c 交与不同的两点 m n 以线段为直径作圆 p 圆心为 p 求椭圆 c 的方程 若圆 p 与 x 轴相切 求圆心 p 的坐标 设 q x y 是圆 p 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 且 所以 6 3 c a 2c 22 3 1abac 所