扇形面积与弧长公式.doc

课题：24.4 弧长和扇形面积（第1课时）一、内容和内容解析1.教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书 数学九年级上册：“24.4弧长和扇形面积”（第1课时）.2.内容解析：本节内容是在学习了圆的有关性质，特别是学习了同圆或等圆中，弧、弦、圆心角关系的基础上深化圆的部分与整体的关系；在小学学习圆和扇形直观感受的基础上，给出扇形定义，完善知识结构，拓宽学生数学知识与体系，完善学生数学思想.弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式。应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关图形的周长和面积，也可以应用公式变形计算相关的半径和角度，解决简单的实际问题；学习二个公式也为圆锥侧面积公式打下了基础.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：弧长和扇形面积公式的推导二、目标和目标解析1.目标（1）理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积；（2）在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想2.目标解析本节内容以圆的定义为基础，旋转一周即360的圆心角对的弧长是圆的周长，对应面积的，在探求n的圆心角所对的弧长和圆的周长关系的过程中，寻求部分与整体的关系，从而得到1的圆心角对应的弧长，进而得到n的圆心角所对的弧长；类比弧长公式的探究与推导，学生自主探究扇形面积公式达成目标（1）的标志：学生在探究的过程中，理解1的圆心角所对的弧长为圆周长的，从而发现n的圆心角所对的弧长是1的圆心角所对的弧长的n倍，得到弧长公式，类比得到扇形面积公式，能用弧长、半径表示扇形面积，并能用公式计算弧长和扇形面积达成目标（2）的标志：在公式推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积和圆面积都是部分与整体的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数学思想三、学生学情分析学生在前面已学习了圆的相关知识，特别是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，并在正多边形和圆中，学习过等分圆得等弧，圆和弧长之间成在倍数关系，学生能感受到弧长和圆周长有关、扇形面积与圆面积有关，但在推导公式的过程中，不易理解圆心角的主导作用，有可能会将圆的半径作为主要思考对象，因此将探究问题限定在半径为R的圆中，引导学生在同圆或等圆探究问题根据以上分析，本节课的教学难点确定为：弧长公式的推导四、教学策略分析根据教材后的实验与探究，提出跑道问题，贴近学生生活，创设一个学生常见事物的情景，引导学生探求弧长公式。利用几何画板，将跑道抽像出数学中的圆和平行线，抽像出跑道中的数学问题，张明解决实际问题的需要，让学生感悟数学源于生活的唯物主义思想，激励学生探索问题，归纳问题，解决问题的基本逻辑能力。通过对比圆的周长与面积公式，找到共同点，探究弧长公式，点燃学生类比推导扇形面积公式的火种，进而掌握类比学习的数学思想五、教学基本流程情境导课引导探究自主探究深化拓展反思升华六、教学过程设计（1）情景导课引言：同学们，我们一起来欣赏一段200米决赛的精彩视频，请同学们观察运动员的起跑线和终点线（播放视频）【问题探究】师：请同学们观察起跑线和终点线。（图片展示,标注起跑线和终点线）图2图1师：很明显，他们的终点线在一条直线上，而他们的起跑线怎样呢？为了让大家看得更清楚，请同学们观察跑道的平面图（展示标有起跑线的弯道和部分直道的平面图）图3师：为什么起跑线都不一样？生：因为直道的长一样，每一条弯道的弧长不一样，而运动员跑的长度一样，那么运动员跑的弧长应该相等师：好，点到问题的关键，下面以第一、二跑道为例，如果第一跑道200米起跑线为KC，第二跑道起跑线为AE，如果现在要检验第二跑道起跑线是否正确，如何检验？生：需要计算弧UW和弧XZ的长度图4师：怎样计算弧长呢？这就是我们今天要探究的第一个问题（展示图形）（板书弧长）（2）引导探究 师：同学们知道，弧是圆的一部分，弧长是圆周长的一部分，我们从圆的形成开始，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，如果我在这个圆上另取半径OH1，当旋转OH1时，弧I1H1的长度随之发生改变H1I1G1图5师：那么在同一个圆中，弧长随什么量的变化而改变呢？（展示图片，演示运动半径）生：圆心角师：那么360度的圆心角所对的弧长是多少呢？生：圆的周长 问题A：现在请同学们完成下面的探究：在半径为R的圆中，1.求180，90，45，23的圆心角所对的弧长2.求n圆心角所对的弧长？【探究历程】师：180的圆心角所对的弧长是多少？生：圆周长的一半，师：正确，90的圆心角所对的弧长是多少？生：圆周长的四分之一，师：正确，45的圆心角所对的弧长是多少？生：圆周长的八分之一，师：正确，23的圆心角所对弧长是多少呢？请同学们算一算。学生：师： 表示什么意义？生：1圆心角所对的弧长师：乘以23表示什么意义？生：23度的圆心角所对的弧长是1度圆心角所对弧长的23倍师：怎么想到先求1圆心角所对的弧长？生：因为求出1度圆心角所以的弧长后，求23度圆心角所对的弧长时，只需要将它乘以23就可以了师：你是如何求得1圆心角所对的弧长？生：将360度的圆心角等分360份，1份就是1度的圆心角，它所对的弧长就是圆周长的师：你这样求的依据是什么呢？生：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等师：非常好，还有别的方法吗？学生二：师：为什么用23除360呢？生：因为圆心角占360度的几分之几，那么圆心角所对的弧长就是圆周长的几分之几师：依据是什么呢？生：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等师：非常好，刚才同学们的方法，可以归纳为： 1.可先求1度的圆心角所对的弧长，再求23度圆心角所对的弧长； 2.可先求23度圆心角占360度的几分之几，再求23度圆心角所对的弧长； 3.它们的依据都是在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等师：请用以上方法，直接写出半径为R，n圆心角所对的弧长 学生： 学生：【设计意图】通过特殊到一般的探究过程，类比具体角度所对弧长的求解过程，求出n圆心角所对的弧长显得顺理成章，学生经历由具体到抽象的数学思维过程， 提升学生抽象思维能力，学会类比的数学思想。 BAORn图6师：两种方法都求出了n度的圆心角所对的弧长，知道了圆心角和半径，就可以求出圆心角所对的弧长，我们把这个公式叫弧长公式， 板书：弧长公式：, 图形：公式中有三个变量l,n,R，如果知道其中二个量就可以求出第三个量，也就是“知二求一”图7XG1J1值得说明的是，掌握了以上二种计算方法，即便忘记了公式，也可以用求出弧长，因此对任何一个数学公式，记住非常重要，知道怎样得到的更重要巩固练习：（几何画板展示）如图，J1G1X6，G1J1=36米，求弧XJ1的长师生活动：学生独立完成练习，得到解答米（3）自主探究 图8师：刚才同学们学习了弧长公式，在圆中，弧对着圆心角，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形（展示扇形定义与图片）师：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形师：很显然扇形是一个封闭图形，那么它的面积如何计算呢？它就是今天我们要探究的第二问题（板书：扇形面积）师生活动：教师演示几何画板，并给出定义问题B：自主探究在半径为R的圆中，n的圆心角所对扇形面积师：刚才通过弧长是圆周长的一部分得到了弧长公式，你能不能用类似的方法求出扇形的面积呢？ 师：请同学们自主探究在半径为R的圆中，n的圆心角所对扇形面积学生：， 学生：图9师： 通过同学们探究，我们得到了扇形的面积公式：（板书），知道了圆心角和半径，就可以求出圆心角所对的扇形面积，实际上公式中有三个变量S,n,R，知道其中二个量就可以求出第三个量，也是“知二求一”巩固练习：如图8，H1I1G1=36,H1G1=5米，求扇形G1I1H1的面积师生活动：学生独立完成，得到解答：cm2. （）深化拓展 问题：1.已知圆的半径为4cm，则30的圆周角所对的弧长为_师生活动：学生独立完成，组长检查，教师点评问题：2.已知弧的长度为2cm，圆心角度数为40，则圆的半径为_师生活动：学生独立完成，组长检查，教师点评（）综合运用 问题E：已知扇形的半径为4cm,扇形的弧长为cm,则该扇形的面积是_cm2,扇形的圆心角为_. 师：同学们在求扇形面积时，先根据弧长与半径求出了圆心角，再求扇形面积的，请同学们思考：扇形是由夹圆心角的半径和圆心角所对的弧长围成的，那么能否直接用半径和弧长求出扇形面积呢？生：，（教师板书）师：非常好，还有其它方法吗？生：可以将弧长公式变形为代入扇形面积公式中消去n即可师：好的，还有其它方法吗？生：将扇形面积公式与弧长公式相除消去n也可以师：同学们做的非常好，观察到了两个公式的共