江苏省高三数学第四次联考试题 文.doc

江 苏 大 联 考 2015届高三第四次联考数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.已知集合a=x|x22x,b=y|y1,则ab等于.2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为,则正数a的值为.3.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为.4.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到abcd的是.5.若过点p(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦ab的长为10,则直线ab的方程是.6.已知是第二象限角,且sin =,则tan(+)=.7.已知椭圆+=1(mn0)的离心率为,且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则椭圆的短轴长为.8.设m,nr,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点a,与y轴相交于点b,且坐标原点o到直线l的距离为,则aob的面积s的最小值为.9.在abc中,内角a、b、c的对边分别为a、b、c,已知a2-b2=c,且sin acos b=2cos asin b,则c=.10.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线c:y2=8x相交于a、b两点,f为c的焦点,若|fa|=2|fb|,则k等于.11.已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,且当x0时,f(x)=cos(x)+lox,则函数f(x)的零点个数为.12.半径为1的球内最大圆柱的体积为.13.双曲线-=1(a0,b0)的左、右顶点分别为a、b,渐近线分别为l1、l2,点p在第一象限内且在l1上,若pal2,pbl2,则该双曲线的离心率为.14.正四面体abcd的棱长为1,其中线段ab平面,e,f分别是线段ad和bc的中点,当正四面体绕以ab为轴旋转时,线段ef在平面上的射影e1f1长的范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,这是一个半圆柱与多面体abb1a1c构成的几何体,平面abc与半圆柱的下底面共面,且acbc,p为上的动点.(1)证明:pa1平面pbb1;(2)设半圆柱和多面体abb1a1c的体积分别为v1,v2,且ac=bc,求v1v2.16.(本小题满分14分)已知点c的坐标为(0,1),a,b是抛物线y=x2上不同于原点o的相异的两个动点,且=0.(1)求证:;(2)若=(r),且=0,试求点m的轨迹方程.17.(本小题满分14分)如图,在四棱台abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是平行四边形,dd1平面abcd,ab=ad,ad=a1b1,bad=45.(1)证明:bdaa1;(2)证明:aa1平面bc1d.18.(本小题满分16分)已知数列an中,a1=5,a2=2,且2(an+an+2)=5an+1.(1)求证数列an+1-2an和an+1-an都是等比数列;(2)求数列2n-3an的前n项和sn.19.(本小题满分16分)已知椭圆c的中心在原点,一个焦点f(-2,0),且长轴长与短轴的比是2.(1)求椭圆c的方程;(2)设点m(m,0)在椭圆c的长轴上,点p是椭圆上任意一点,当|最小时,点p恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=(ar).(1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e上有公共点,求实数a的取值范围.2015届高三第四次联考数学试卷参 考 答 案1.x|11,所以ab=x|0x2y|y1=x|10)恒过定点p(-2,0),如图过a、b分别作aml于m,bnl于n,由|fa|=2|fb|,则|am|=2|bn|,点b为ap的中点、连接ob,则|ob|=|af|,|ob|=|bf|,点b的横坐标为1,故点b的坐标为(1,2),k=.11.7当x0时,函数f(x)=cos(x)+lox=cos(x)-log2x的零点个数,即函数y=cos(x)与函数y=log2x的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在r上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为32+1=7.12.设圆柱的底面半径为r,高为h,则有()2+r2=12,所以圆柱的体积为v=r2h=(1-)h=(-+h),而v=(-h2+1),易知当h=时,v取最大值(-+h)=-()3+=.13.2依题意有a(-a,0),b(a,0),渐近线方程分别为l1:y=x,l2:y=-x,设p(x,y).由pbl2得=-,因为点p在直线y=x上,于是解得p点坐标为p(,),因为pal2,所以(-)=-1,即(-)=-1,所以b2=3a2,因为a2+b2=c2,所以有c2=4a2,即c=2a,得e=2.14.,如图,取ac中点为g,连接eg、fg,e,f分别是线段ad和bc的中点,gfab,gecd,在正四面体中,abcd,gegf,ef=,当四面体绕ab旋转时,gf平面,ge与gf的垂直性保持不变,当cd与平面垂直时,ge在平面上的射影长最短为0,此时ef在平面上的射影e1f1的长取得最小值;当cd与平面平行时,ge在平面上的射影长最长为,e1f1取得最大值;射影e1f1长的取值范围是,.15.证明:(1)在半圆柱中,bb1平面pa1b1,所以bb1pa1.因为a1b1是底面圆的直径,所以pa1pb1,因为pb1bb1=b1,pb1平面pbb1,bb1平面pbb1,所以pa1平面pbb1.6分(2)因为acbc,ac=bc,所以abc是等腰直角三角形,且ab2=bc2+ac2=2ac2.所以半圆柱的体积v1=(ab)2aa1=ac2aa1.多面体abb1a1c是以矩形abb1a1为底面,以c为顶点的四棱锥,其高为点c到底面abb1a1的距离,设这个高为h,在rtabc中,易得abh=acbc,所以h=,所以v2=aa1ab=aa1acbc=aa1ac2.所以=.14分16.解:(1)设a(x1,),b(x2,),x10,x20,x1x2,因为=0,所以x1x2+=0,又x10,x20,所以x1x2=-1.因为 =(-x1,1-),=(-x2,1-),且(-x1)(1-)-(-x2)(1-)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0,所以.7分(2)由题意知,点m是直角三角形aob斜边上的垂足,又定点c在直线ab上,omb=90,所以点m在以oc为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x2+(y-)2=(y0).14分17.证明:(1)因为ab=ad,bad=45,在abd中,由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2adabcos 45=ad2,所以ad2+bd2=ab2,因此adbd,因为dd1平面abcd,且bd平面abcd,所以dd1bd,又addd1=d,所以bd平面add1a1.又aa1平面add1a1,所以bdaa1.7分(2)连结ac、a1c1,设acbd=e,连结ec1,因为四边形abcd是平行四边形,所以ae=ac,由棱台的定义及ab=ad=2a1b1知,a1c1ae,且a1c1=ae,所以四边形a1c1ea是平行四边形,因此aa1ec1,又因为ec1平面bc1d,aa1平面bc1d,所以aa1平面bc1d.14分18.解:(1)由2(an+an+2)=5an+1得an+2=an+1-an,所以an+2-2an+1=an+1-an-2an+1=an+1-an=(an+1-2an).又因为a2-2a1=2-25=-8,所以数列an+1-2an是首项为-8,公比为的等比数列.同理an+2-an+1=an+1-an-an+1=2an+1-an=2(an+1-an),又a2-a1=2-=-,所以数列an+1-an是首项为-,公比为2的等比数列.8分(2)由(1)知an+1-2an=-8()n-1=-2-n+4,an+1-an=-2n-1=-2n-2,将以上两式相减得到an=(nn+),所以2n-3an=2n-3=(nn+),所以sn=-(4-1+40+41+42+4n-2)=.16分19.解:(1)设椭圆c的方程为+=1(ab0).由题意.解得a2=16,b2=12.所以椭圆c的方程为+=1.6分(2)设p(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4x4.因为=(x-m,y),所以|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12(1-)=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.因为当|最小时,点p恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4m时,|2取得最小值,而x-4,4,故有4m4,解得m1.又点m在椭圆的长轴上,即-4m4.故实数m的取值范围是m1,4.16分20.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=,令f(x)=0,得x=e1+a,当x(0,e1+a)时,f(x)0,f(x)是增函数.所以当x=e1+a时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)=-e-1-a,无极大值.6分(2)当