【步步高】高考数学总复习 第一讲 相似三角形的判定及有关性质配套文档 理 新人教A版选修41(1).doc

第一讲相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段也_推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_2平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的_成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的_成比例3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义：_，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_对应相等，那么这两个三角形相似简述：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应_，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述：两边对应_且夹角相等，两三角形相似判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应_，那么这两个三角形相似简述：三边对应_，两三角形相似(2)两个直角三角形相似的判定定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应_，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应_，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应_，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；相似三角形周长的比等于_；相似三角形面积的比等于_；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于_4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_1在rtabc中，cd是斜边ab上的高，图形中共有x个三角形与abc相似，则x的值为_2(课本习题改编)如图，d，e分别是abc的边ab，ac上的点，debc且2，那么ade与四边形dbce的面积比是_2题图3题图3如图，f为abcd的边ad延长线上的一点，dfad，bf分别交dc，ac于点g，e，ef16，gf12，则be的长为_4(课本习题改编)如图，abemdc.aeed，efbc，ef12 cm，则bc的长为_4题图5题图5如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e，f分别为线段ab、ad的中点，则ef_.题型一平行线分线段成比例定理的应用例1如图，abc中，d是ac的中点，e是bc延长线上一点，过a作ahbe.连接ed并延长交ab于f，交ah与h.如果ab4af，eh8，则df_.思维升华利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意：(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化如图，在abc中，点d是ac的中点，点e是bd的中点，ae交bc于点f，则的值为_题型二相似三角形的判定及性质例2如图，aebfcgdh，abbccd，ae12，dh16，ah交bf于m，则bm_，cg_.思维升华判定三角形相似的常用方法：(1)利用三角形判定定理；(2)利用平行线分线段成比例定理；(3)利用与圆有关的“四定理”(2013陕西)如图，ab与cd相交于点e，过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p.已知ac，pd2da2，则pe_.题型三直角三角形的射影定理例3如图，rtabc中，bac90，adbc于d，be平分abc交ac于e，efbc于f.求证：efdfbcac.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项如图所示，在abc中，cab90，adbc于d，be是abc的平分线，交ad于f，求证：.分类不当、考虑不全致误典例：(5分)已知ad是abc中bc边上的高，若ad2bdcd，则abc的形状是_易错分析我们知道：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项反之，因为三角形一边上的高可能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中的abc不一定是直角三角形解析若点d在线段bc上，如图1所示，由ad2bdcd，可证abdcad，从而可得abc是直角三角形若点d在线段bc的延长线上，如图2所示，则仍可证abdcad，但abc是钝角三角形综上所述，abc是直角三角形或钝角三角形答案直角三角形或钝角三角形温馨提醒射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用.方法与技巧1当证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找等角的两边对应成比例2从平行线等分线段定理的推导到平行线分线段成比例定理的推导，注意定理推导过程从特殊到一般的思考方法类似地，相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理获得的3几何证明的难度应严格控制，在解决同一问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过两次，添置的辅助线不超过三条4相似三角形性质的应用可用来考察与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等失误与防范证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图能力，添加必要的辅助线对计算问题要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理.a组专项基础训练1如图，在abc中，点d，e分别在ab，ac上，下列条件能判定ade与abc相似的所有序号为_adec；aedb；debc.1题图2题图2如图所示，在abc中，mndebc，若aeec73，则dbab的值为_3在rtacb中，c90，cdab于d，若bdad19，则tanbcd_.4如图所示，c90，a30，e是ab的中点，deab于e，则ade与abc的相似比是_4题图5题图5如图，在梯形abcd中，abcd，且ab2cd，e、f分别是ab、bc的中点，ef与bd相交于点m.若db9，则bm_.6(2013广东)如图，在矩形abcd中，ab，bc3，beac，垂足为e，则ed_.7abc是一块锐角三角形余料，边bc12 cm，高ad8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在bc上，其余两个顶点分别在ab，ac上，则这个正方形的边长为_cm.8如图，在abc中，efcd，afeb，ae6，ed3，af8，则ac_，_.8题图9题图9如图所示，在abc中，ad平分bac，deac，efbc，ab15，af4，则de_.10如图，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则be_.b组专项能力提升1如图，四边形abcd中，dfab，垂足为f，df3，af2fb2，延长fb到e，使befb，连接bd，ec.若bdec，则四边形abcd的面积为_ 1题图2题图2如图，rtabc中，bac90，ad是斜边bc上的高，若abac21，则adbc_.3如图，梯形abcd中，abcd，若sodcsbdc13，则sodcsabc_.3题图4题图4如图所示，矩形abcd中，e是bc上的点，aede，be4，ec1，则ab的长为_5如图，在直角梯形abcd中，上底ad，下底bc3，与两底垂直的腰ab6，在ab上选取一点p，使pad和pbc相似，则这样的点p有_个6如图，在abc中，d为bc边的中点，e为ad上的一点，延长be交ac于点f.若，则的值为_6题图7题图7如图所示，在abc中，edab，fgac，phbc，相应的交点分别为a1，b1，c1，则图中与abc相似的三角形的个数为_个答案基础知识自主学习要点梳理1相等相等平分第三边平分另一腰2对应线段对应线段3(1)对应角相等两个角成比例成比例成比例成比例(2)相等成比例成比例(3)相似比相似比相似比的平方相似比的平方4比例中项比例中项夯基释疑122.3.84.24 cm5.题型分类深度剖析例12解析ahbe，.ab4af，.he8，hf2.ahbe，.d是ac的中点，1.hehdde8，hd4，dfhdhf422.跟踪训练1解析过点d作dmaf交bc于点m.点e是bd的中点，在bdm中，bffm，又点d是ac的中点，在caf中，cmmf，.例2415解析aebfcgdh，abbccd，ae12，dh16，.，bm4.取bc的中点p，作pqdh交eh于q，如图，则pq是梯形adhe的中位线，pq(aedh)(1216)14.同理：cg(pqdh)(1416)15.跟踪训练2解析bcpe，pedca，pdepea，则pe2papd，又pd2da2，papdda3.pe.例3证明bac90，且adbc，由射影定理得ac2cdbc，.efbc，adbc，efad，.又be平分abc，且eaab，efbc，aeef，.由、得，即efdfbcac.跟踪训练3证明由三角形的内角平分线定理得，在abd中，在abc中，在rtabc中，由射影定理知，ab2bdbc，即.由得：，由得：.练出高分a组1解析由图中可知a为公共角，由判定定理可知，正确；由a为夹角可知，正确；由平行线法知正确；不符合两边及其夹角法2310解析mndebc，.3.解析由射影定理得cd2adbd，又bdad19，令bdx，则ad9x(x0)cd29x2，cd3x.rtcdb中，tanbcd.41解析e为ab中点，即aeab，在rtabc中，a30，acab，又rtaedrtacb，相似比为.故ade与abc的相似比为1.53解析e是ab的中点，ab2eb.ab2cd，cdeb.又abcd，四边形cbed是平行四边形cbde，edmfbm.f是bc的中点，de2bf.dm2bm，bmdb3.6.解析如图，作dfac于点f，由ab，bc3知bac60.从而ae，同理cf，df，所以efacaecf2.所以在def中：de2df2ef23，所以de.74.8解析设正方形pqmn为加工成的正方形零件，边qm在bc上，顶点p，n分别在ab，ac上，abc的高ad与边pn相交于点e，设正方形的边长为x cm.pnbc，apnabc.，.解得x4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm.812解析由efcd可知，aefadc.于是有，由已知条件代入得，所以ac12.又由afeb，得afeabc，从而acdabc.所以，所以.96解析设dex，deac，efbc，解得be.又ad平分bac，解得x6.104解析ac4，ad12，acd90，cd2ad2ac2128，cd8.又aebc，bd，abeadc，be4.b组16解析过点e作endb交db的延长线于点n，在rtdfb中，df3，fb1，则bd，由rtdfbrtenb，知，所以en，又bdec，所以en为bcd底边bd上的高，故s四边形abcdsabdsbcdabdfbden336.225解析设ack，则ab2k，bck，bac90，adbc，ac2cdbc，k2cdk，cdk，又bdbccdk，ad2cdbdkkk2，adk，adbc25.316解析sodcsbdc13，且odc和bdc有公共边cd，设odc和bdc在cd上的高分别为h和h，则hh13，dodb13，doob12.又abcd，odcoba.sodcsoba14.设sodca，则sobc2a，soab4a，sabcsoabsobc，sabc6a.sodcsabc16.42解析方法一b90，baeaeb90.aede.aebced90.baeced，rtabertecd，即，ab2.方法二过e作efad于f.由题知afbe4，dfce1.则ef2afdf4，abef2.52解析设apx，(1)若adpbpc，则，即，所以x26x90，解得x3.(2)若adpbc