浙江省温州市瑞安中学高二数学上学期期中试卷（实验班含解析）.doc

浙江省温州市瑞安中学2014-2015学年高 二上学期期中数学试卷（实验班）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）a3b2c3或2d3或22（5分）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn； 若m，n，则mn；若，m，则m；若，则；其中正确命题的序号是（）a和b和c和d和4（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d25（5分）已知函数f（x）=logax（0a1）的导函数f（x），a=f（a），b=f（a+1）f（a），c=f（a+1），d=f（a+2）f（a+1），则a，b，c，d，中最大的数是（）aabbccdd6（5分）如图，p是正方体abcda1b1c1d1对角线ac1上一动点，设ap的长度为x，若pbd的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）abcd7（5分）若直线y=x+b与曲线x=3有公共点，则b的取值范围是（）abcd8（5分）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）abc6d79（5分）在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处； 由于grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处则不同的搜寻方案有（）a40种b70种c80种d100种10（5分）如图为函数f（x）=的部分图象，abcd是矩形，a，b在图象上，将此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为（）ab2c3d4二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11（4分）（x2）5展开式中的常数项为12（4分）已知点e（2，1）和圆o：x2+y2=16，过点e的直线l被圆o所截得的弦长为2，则直线l的方程为13（4分）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？（用数字作答）14（4分）在直角坐标系xoy中，设a（3，2），b（2，3），沿y轴把坐标平面折成120的二面角后，ab的长为15（4分）函数y=2sinx（x）在点p处的切线与函数y=lnx+x2在点q处切线平行，则直线pq的斜率是16（4分）如图，四面体oabc的三条棱oa、ob、oc两两垂直，oa=ob=2，oc=3，d为四面体oabc外一点给出下列命题不存在点d，使四面体abcd有三个面是直角三角形不存在点d，使四面体abcd是正三棱锥存在点d，使cd与ab垂直并且相等存在无数个点d，使点o在四面体abcd的外接球面上其中真命题的序号是17（4分）设函数y=f（x）在（，+）内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=，取函数f（x）=2xex，若对任意的x（，+），恒有fk（x）=f（x），则k的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共70分.）18（14分）底面半径为2，高为4的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值19（14分）已知直线l：y=4x和点p（6，4），点a为第一象限内的点且在直线l上，直线pa交x轴正半轴于点b，（1）当opab时，求ab所在直线的直线方程；（2）求oab面积的最小值，并求当oab面积取最小值时的b的坐标20（14分）已知函数f（x）=a（x1）2+lnx+1（）当a=时，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）在区间上是减函数，求实数a的取值范围21（15分）如图，在三棱锥dabc中，已知bcd是正三角形，ab平面bcd，ab=bc，e为bc的中点，f在棱ac上，且af=3fc，（1）求证：ac平面def；（2）若m为bd的中点，问ac上是否存在一点n，使mn平面def？若存在，说明点n的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面def与平面abd所成的锐二面角的余弦值22（15分）设函数f（x）=2ax+lnx（）当b=a时，若f（x）在（0，+）上是单调函数，求a的取值范围（）若f（x）在x=m，x=n（mn）处取得极值，若方程f（x）=c在（0，2n上有唯一解，则c的取值范围为 x|xx0或sxt，求ts的最大值浙江省温州市瑞安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）a3b2c3或2d3或2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值解答：解：直线l1：ax+3y+1=0，的斜率存在，斜率为，l2：2x+（a+1）y+1=0，斜率为直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行=解得：a=3或2当a=2时，两直线重合，a=3故选：a点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题2（5分）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义，先将复数进行化简，即可得到结论解答：解：z=，复数z在复平面内对应的点（）位于第一象限故选：a点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础3（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn； 若m，n，则mn；若，m，则m；若，则；其中正确命题的序号是（）a和b和c和d和考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论解答：解：若m，n，则mn，正确若m，n，则m与n可能平行、相交也可能异面，故错误；，则，因为m，所以m，故正确；若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故错误，故选：a点评：本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题4（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点b时，从而得到a值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点b时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：b点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定5（5分）已知函数f（x）=logax（0a1）的导函数f（x），a=f（a），b=f（a+1）f（a），c=f（a+1），d=f（a+2）f（a+1），则a，b，c，d，中最大的数是（）aabbccdd考点：导数的运算 专题：计算题；作图题；导数的概念及应用分析：作函数f（x）=logax（0a1）的图象，a，b，c，d分别表示了直线l4，l3，l2，l1的斜率，从而求解解答：解：作函数f（x）=logax（0a1）的图象如下：a=f（a），b=f（a+1）f（a），c=f（a+1），d=f（a+2）f（a+1）分别表示了直线l4，l3，l2，l1的斜率；故a，b，c，d，中最大的数是d，故选d点评：本题考查了导数的几何意义，属于基础题6（5分）如图，p是正方体abcda1b1c1d1对角线ac1上一动点，设ap的长度为x，若pbd的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）abcd考点：棱柱的结构特征；函数的图象 专题：图表型分析：先设正方体的棱长为1，连接ac交bd于o，连po，则po是等腰pbd的高，从而pbd的面积为f（x）=bdpo，再在pao中，利用余弦定理得出po，最后得出f（x）的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题解答：解：设正方体的棱长为1，连接ac交bd于o，连po，则po是等腰pbd的高，故pbd的面积为f（x）=bdpo，在三角形pao中，po=，f（x）=，画出其图象，如图所示，对照选项，a正确故选a点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题7（5分）若直线y=x+b与曲线x=3有公共点，则b的取值范围是（）abcd考点：直线和圆的方程的应用 专题：计算题；直线与圆分析：曲线即（x3）2+（y2）2=4（1x3，0y4），表示以a（3，2）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b，可得b的范围解答：解：曲线x=3，即（x3）2+（y2）2=4（1x3，0y4），表示以a（3，2）为圆心，以2为半径的一个半圆由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，b=1+2，或b=123b1+2，故选：b点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题8（5分）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）abc6d7考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：v正方体2v棱锥侧=故选：b点评：本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状9（5分）在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处； 由于grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处则不同的搜寻方案有（）a40种b70种c80种d100种考点：进行简单的合情推理 专题：计算题；推理和证明分析：grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论解答：解：grace不参与该项任务，则有=30种；grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：a点评：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础10（5分）如图为函数f（x）=的部分图象，abcd是矩形，a，b在图象上，将此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为（）ab2c3d4考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：先求出y的范围，再设出点ab的坐标，根据ab两点的纵坐标相等得到x2x1=1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值解答：解：f（x）=y1当且仅当x=1时取等号，x+=矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设a点的坐标为（x1，y），b点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆的半径为y，高位h=x2x1，f（x1）=，f（x2）=，=，即（x2x1）（x2x11）=0，x2x1=1，h2=（x2+x1）24x2x1=4=4，h=2，v圆柱=y2h=22=，当且仅当y=时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为，故选：a点评：本题主要考查空间几何体的体积计算，基本的不等式的应用，本题求出x2x1=1是关键，属于中档题二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11（4分）（x2）5展开式中的常数项为40考点：二项式定理 专题：计算题分析：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项解答：解：（x2）5展开式中的通项公式为 tr+1=x102r（2）rx3r=（2）rx105r，令105r=0，r=2，故展开式的常数项为 4=40，故答案为 40点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（4分）已知点e（2，1）和圆o：x2+y2=16，过点e的直线l被圆o所截得的弦长为2，则直线l的方程为y=1，或4x3y5=0考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由题意利用弦长公式可得弦心距d=1，用点斜式设除直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于1，求得斜率k的值，可得要求直线的方程解答：解由于圆的半径为r=4，弦长2，故弦心距d=1由题意可得，所求直线的斜率存在，设为k，可得直线l的方程为y1=k（x2），即 kxy+12k=0，由弦心距d=1，求得k=0，或k=，故要求的直线l的方程为y=1，或4x3y5=0，故答案为：y=1，或4x3y5=0点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题13（4分）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？346（用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：概率与统计分析：利用间接法，先求出2个人坐的方法数为，再排除两左右相邻的情况，即可得到结论解答：解：由题意，一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两左右相邻的情况；把可坐的20个座位排成连续一行（甲与乙相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括甲、乙不在同一排情形，还应再加上2不同排法的种数为=346故答案为：346点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14（4分）在直角坐标系xoy中，设a（3，2），b（2，3），沿y轴把坐标平面折成120的二面角后，ab的长为2考点：用空间向量求平面间的夹角 专题：空间位置关系与距离分析：作acy轴，bdy轴，am平行等于cd，连接ab，md，根据二面角的平面角的定义可知bdm就是二面角的平面角，则bdm=120，最后根据余弦定理可知ab的长解答：解：作ac垂直y轴，bd垂直y轴，am平行等于cd，连接ab，md，cd=5，bd=2，ac=3=md，bd=2，ac=md=3，而bdy轴，mdy轴（mdac），bdm就是二面角的平面角，bdm=120，由余弦定理得：bm=，am=5，由勾股定理得ab=2，故答案为：2点评：本题主要考查了空间两点的距离，以及二面角平面角的应用，同时考查了空间想象能力，计算能力，属于基础题15（4分）函数y=2sinx（x）在点p处的切线与函数y=lnx+x2在点q处切线平行，则直线pq的斜率是考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；压轴题分析：函数y=2sinx （x）在点p处的切线与函数y=lnx+x2在点q处切线平行，对两个函数分别求导，根据导数与斜率的关系，进行求解；解答：解：函数y=2sinx （x），y=2cosx，2y2，对函数y=lnx+x2，（x0）y=+x2（x=1时等号成立），函数y=2sinx （x）在点p处的切线与函数y=lnx+x2在点q处切线平行，2cosx=+x=2，可得p（0，0），q（1，），直线pq的斜率kpq=，故答案为：；点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，注意导数与斜率的关系，本题是一道基础题；16（4分）如图，四面体oabc的三条棱oa、ob、oc两两垂直，oa=ob=2，oc=3，d为四面体oabc外一点给出下列命题不存在点d，使四面体abcd有三个面是直角三角形不存在点d，使四面体abcd是正三棱锥存在点d，使cd与ab垂直并且相等存在无数个点d，使点o在四面体abcd的外接球面上其中真命题的序号是考点：球内接多面体；棱锥的结构特征 专题：计算题分析：对于可构造四棱锥cabd与四面体oabc一样进行判定；对于，使ab=ad=bd，此时存在点d，使四面体abcd是正三棱锥；对于取cd=ab，ad=bd，此时cd垂直面abd，即存在点d，使cd与ab垂直并且相等；对于先找到四面体oabc的内接球的球心p，使半径为r，只需pd=r，可判定的真假解答：解：对于，四面体oabc的三条棱oa，ob，oc两两垂直，oa=ob=2，oc=3，ac=bc=，ab=当四棱锥cabd与四面体oabc一样时，即取cd=3，ad=bd=2，四面体abcd的三条棱da、db、dc两两垂直，此时点d，使四面体abcd有三个面是直角三角形，故不正确；对于，由知ac=bc=，ab=，使ab=ad=bd，此时存在点d，cd=，使四面体cabd是正三棱锥，故不正确；对于，取cd=ab，ad=bd，此时cd垂直面abd，即存在点d，使cd与ab垂直并且相等，故正确；对于，先找到四面体oabc的内接球的球心p，使半径为r，只需pd=r即可存在无数个点d，使点o在四面体abcd的外接球面上，故正确故答案为：点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运用，属于中档题17（4分）设函数y=f（x）在（，+）内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=，取函数f（x）=2xex，若对任意的x（，+），恒有fk（x）=f（x），则k的最小值为1考点：函数的零点；函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：函数的性质及应用分析：利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，和函数fk（x）的定义即可得出解答：解：f（x）=1+ex=，当x0时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x0时，f（x）0，函数f（x）单调递增因此当x=0时，函数f（x）取得最大值f（0）=1对任意的x（，+），恒有fk（x）=f（x）1，又对任意的x（，+），恒有fk（x）=f（x），故k的最小值为1故答案为：1点评：本题考查了导数研究函数f（x）的单调性极值与最值和新定义，属于难题三、解答题（本大题共5小题，共70分.）18（14分）底面半径为2，高为4的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值考点：函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法 专题：计算题；函数的性质及应用；空间位置关系与距离分析：（1）由相似性可得=，从而化出h=42x，（其中0x2）；（2）设该正四棱柱的表面积为y，则y=2x2+4xh=2x2+4x（42x）=6x2+16，利用配方法求函数的最大值解答：解：（1）根据相似性可得：=，解得：h=42x，（其中0x2）（2）解：设该正四棱柱的表面积为y则有关系式：y=2x2+4xh=2x2+4x（42x）=6x2+16=6（x）2+，因为0x2，所以当x=时，ymax=，故当正四棱柱的底面边长为时，此正四棱柱的表面积最大，为点评：本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，属于中档题19（14分）已知直线l：y=4x和点p（6，4），点a为第一象限内的点且在直线l上，直线pa交x轴正半轴于点b，（1）当opab时，求ab所在直线的直线方程；（2）求oab面积的最小值，并求当oab面积取最小值时的b的坐标考点：直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：（1）由垂直关系可得kab=，由ab过点p（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）设点a（a 4a），a0，点b坐标为（b，0），b0，可得oab面积为s=4a=，即10a2sa+s=0，由判别式=s240s0可得s40，即s的最小值等于40，代入解此时的方程可得b坐标解答：解：（1）点p（6，4），kop=，opab，kab=，ab过点p（6，4），ab的方程为y4=（x6）化为一般式可得：3x+2y26=0（2）设点a（a 4a），a0，点b坐标为（b，0），b0，则直线pa的斜率为=，解得b=，故b的坐标为（，0），故oab面积为s=4a=，即10a2sa+s=0由题意可得方程10a2sa+s=0有解，故判别式=s240s0，s40，故s的最小值等于40，此时方程为a24a=4=0，解得a=2综上可得，oab面积的最小值为40，当oab面积取最小值时点b的坐标为（10，0）点评：本题考查直线的一般式方程的应用，直线的斜率公式，一元二次方程有解的条件，属基础题20（14分）已知函数f（x）=a（x1）2+lnx+1（）当a=时，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）在区间上是减函数，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（）通过a=，求出函数的导数，利用导数为0，然后求出极值点，然后求函数f（x）的极值；（）利用函数f（x）在区间上是减函数，导数小于0恒成立，然后求实数a的取值范围解答：（本题满分14分）解：（i）当时，（2分）则当0x2时f（x）0，故函数f（x）在（0，2）上为增函数；当x2时f（x）0，故函数f（x）在（2，+）上为减函数，（5分）故当x=2时函数f（x）有极大值（7分）（），因函数f（x）在区间上单调递减，则在区间上恒成立，（9分）即在上恒成立，而当2x4时，（12分），即，故实数a的取值范围是 （14分）点评：本题考查考查函数的导数的应用，函数的极值，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力21（15分）如图，在三棱锥dabc中，已知bcd是正三角形，ab平面bcd，ab=bc，e为bc的中点，f在棱ac上，且af=3fc，（1）求证：ac平面def；（2）若m为bd的中点，问ac上是否存在一点n，使mn平面def？若存在，说明点n的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面def与平面abd所成的锐二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）要证ac平面def，先证acde，再证acef，即可；（2）m为bd的中点，连cm，设cmde=o，连of，只要mnof即可，求出cn；（3）分别计算面积，利用面积比，即可求平面def与平面abd所成的锐二面角的余弦值解答：（1）证明：取ac的中点h，连接bh，ab=bc，bhacaf=3fc，f为ch的中点e为bc的中点，efbh则efacbcd是正三角形，debcab平面bcd，abdeabbc=b，de平面abc，deacdeef=e，ac平面def；（2）存在这样的点n，当cn=ca时，mn平面def连cm，设