浙江省台州市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设全体实数集为r，m=1，2，n=1，2，3，4，则（rm）n等于（）a4b3，4c2，3，4d1，2，3，42“a4”是“a216”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3已知（，），sin（+）=，则tan（）等于（）a7bc7d4函数f（x）=x2ln|x|的大致图象为（）abcd5已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于a，b两点，o为坐标原点，且aob为直角三角形，则+的最小值为（）a2b3c4d56函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）a关于直线x=对称b关于点（，0）对称c关于点（，0）对称d关于直线x=对称7已知三棱柱abca1b1c1的底面是锐角三角形，则存在过点a的平面（）a与直线bc和直线a1b1都平行b与直线bc和直线a1b1都垂直c与直线bc平行且直线a1b1垂直d与直线bc和直线a1b1所成角相等8如图，等边abc的边长为2，ade也是等边三角形且边长为1，m为de的中心，在abc所在平面内，ade绕a逆时针旋转一周， 的最大值为（）ab +cd +2二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9（2）6（1）0=.3=10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是11设直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，当m=时，l1l2，当m=时，l1l212已知等比数列an各项都是正数，且a42a2=4，a3=4则an=，s10=13已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为14设椭圆c： +=1（ab0）的左右焦点为f1，f2，过f2作x轴的垂线与c相交于a，b两点，f1b与y轴相交于点d，若adf1b，则椭圆c的离心率等于15若函数f（x）=，则不等式f（x23）f（x）的解集为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在钝角abc，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且f（b）=1，若b=，c=4，求a的值17已知数列an各项都是正数，且+=n2+3n（nn*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，nn*，求bn的前n项和sn18四棱锥pabcd的底面abcd是直角梯形，dab=abc=90，pa底面abcd，pa=ad=2，bc=ab=1，e为pd的中点（）求证：ce平面pab；（）求pa与平面ace所成角的正弦值19已知抛物线c1：y2=2px（p0）上一点q（1，a）到焦点的距离为3，（1）求a，p的值；（）设p为直线x=1上除（1，），（1，）两点外的任意一点，过p作圆c2：（x2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d，试判断a，b，c，d四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由20已知a0，br，函数f（x）=4ax22bxa+b的定义域为0，1（）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（）记f（x）的最大值为m，证明：f（x）+m02015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设全体实数集为r，m=1，2，n=1，2，3，4，则（rm）n等于（）a4b3，4c2，3，4d1，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据全集r，求出m的补集，找出m补集与n的交集即可【解答】解：全体实数集为r，m=1，2，n=1，2，3，4，rm=x|x1且x2，则（rm）n=3，4故选：b【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2“a4”是“a216”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a216得a4或a4，则“a4”是“a216”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3已知（，），sin（+）=，则tan（）等于（）a7bc7d【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】由已知利用诱导公式可求sin，结合的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos，tan的值，利用两角差的正切函数公式即可计算求值【解答】解：sin（+）=sin=，可得：sin，（，），cos=，tan=，tan（）=7故选：a【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题4函数f（x）=x2ln|x|的大致图象为（）abcd【考点】函数的图象【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】由函数的表达式确定函数的性质，从而利用数形结合确定函数的图象的形状【解答】解：f（x）=x2ln|x|=f（x），函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除a，又f（x）的定义域为（，0）（0，+），排除c，又f（x）+，故排除b，故选：d【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法的应用5已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于a，b两点，o为坐标原点，且aob为直角三角形，则+的最小值为（）a2b3c4d5【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于a，b两点，且aob为直角三角形，可得|ab|=圆心o（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于a，b两点，且aob为直角三角形，|ab|=r=圆心o（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，化为2a2+b2=2+=（+）（2a2+b2）=（2+2+）（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号+的最小值为 4故选：c【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题6函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）a关于直线x=对称b关于点（，0）对称c关于点（，0）对称d关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由已知求出满足条件的，值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，=2，则f（x）=sin（2x+），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin2（x）+=sin（2x+）的图象，若得到的函数为偶函数，则=k+，kz，即=k+，kz，|，当k=1时，=，故f（x）=sin（2x），由2x=+k，即x=+，kz时，即函数的对称轴为x=+，kz2x=k，即x=+，kz时，即函数的对称中心为（+，0），kz则当k=1时，x=，即函数关于点（，0）对称，故选：b【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键考查学生的运算和推理能力7已知三棱柱abca1b1c1的底面是锐角三角形，则存在过点a的平面（）a与直线bc和直线a1b1都平行b与直线bc和直线a1b1都垂直c与直线bc平行且直线a1b1垂直d与直线bc和直线a1b1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于a，过点a与直线a1b1平行的平面经过b，与直线bc相交，不正确；对于b，过点a与直线bc垂直的平面存在，则cbab，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于c，过点a与直线bc平行且直线a1b1垂直，则cbab，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于d，存在过点a与bc中点的平面，与直线bc和直线ab所成角相等，与直线bc和直线a1b1所成角相等，正确故选：d【点评】本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8如图，等边abc的边长为2，ade也是等边三角形且边长为1，m为de的中心，在abc所在平面内，ade绕a逆时针旋转一周， 的最大值为（）ab +cd +2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】设bad=，（02），则cae=，把转化为含有的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案【解答】解：设bad=，（02），则cae=，则=（）（）=coscoscos+sinsin=当时， 的最大值为故选：b【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9（2）6（1）0=3.3=2【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】直接利用有理指数幂的运算法则以及对数运算法则化简求解即可【解答】解：（2）6（1）0=41=33=2故答案为：3；2【点评】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是72，表面积是120【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为： =12v=sh=612=72s表面=2s底+s侧面=212+6（6+5+5）=120【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错11设直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，当m=1时，l1l2，当m=时，l1l2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】利用直线平行、垂直的性质求解【解答】解：直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，l1l2，=，解得m=1；直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，l1l2，1（m2）+3m=0，解得m=；故答案为：1，【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用12已知等比数列an各项都是正数，且a42a2=4，a3=4则an=2n1，s10=1023【考点】等比数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q0，由a42a2=4，a3=4可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a42a2=4，a3=4，解得，则an=2n1，s10=1023故答案分别为：2n1；1023【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为u【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化思想；构造法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x0，u=3，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，ao的斜率最小，bo的斜率最大，由得，即b（2，4），由得，即a（3，2），则ao的斜率k=，bo的斜率k=2，即k2，则u=3=3在k2上为增函数，则当k=时，函数取得最小值，u=，当k=2时，函数取得最大值，u=，即u，故答案为：u【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键注意数形结合14设椭圆c： +=1（ab0）的左右焦点为f1，f2，过f2作x轴的垂线与c相交于a，b两点，f1b与y轴相交于点d，若adf1b，则椭圆c的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据条件分别求出a，b，d的坐标，利用adf1b，建立方程关系即可得到结论【解答】解：连接af1，odab，o为f1f2的中点，d为bf1的中点，又adbf1，|af1|=|ab|af1|=2|af2|设|af2|=n，则|af1|=2n，|f1f2|=n，e=【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大为了方便，可以先确定一个参数的值15若函数f（x）=，则不等式f（x23）f（x）的解集为（，）【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用【分析】根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可【解答】解：若x1，即x2时，x231，此时函数f（x）在1，+）为减函数，则由f（x23）f（x）得x23x，即2x2x60，得x2，此时x无解若x1，即x2时，若x231，即2x2，时，函数f（x）在（，1上是增函数，则由f（x23）f（x）得x23x，即2x2x60，得x或x2（舍），此时2x若x2，则x1，此时f（x）0，而x231，则f（x23）0，此时不等式f（x23）f（x）恒成立，综上不等式的解集为（，），故答案为：（，）【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在钝角abc，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且f（b）=1，若b=，c=4，求a的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2k2x+2k，kz，即可解得函数f（x）的单调递增区间（）由f（b）=2sin（2b+）=1，结合范围0b，可得2b+，从而解得b=，利用余弦定理可得a24a+3=0，解得a=1或3由abc为钝角三角形，c为钝角，可得a=1满足题意，即可得解【解答】（本题满分为14分）解：（）f（x）=4cosxsin（x+）1=4cosx（）1=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），4分由2k2x+2k，kz，解得函数f（x）的单调递增区间为：k，k，kz7分（）f（b）=2sin（2b+）=1，0b，2b+，2b+=，解得b=，9分b2=a2+c22accosb，即13=a2+164a，整理可得：a24a+3=0，解得：a=1或312分abc为钝角三角形，c为钝角，经检验：a=1满足题意14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要注意一定要验根，属于中档题17已知数列an各项都是正数，且+=n2+3n（nn*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，nn*，求bn的前n项和sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）当n2时利用+=n2+3n与+=（n1）2+3（n1）作差、整理可知an=4（n+1）2（n2），进而计算可得结论；（）通过（i）可知bn=，nn*，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（）当n2时， +=n2+3n，+=（n1）2+3（n1），两式相减得： =（n2+3n）（n1）2+3（n1）=2n+2，an=4（n+1）2（n2），又=4即a1=16满足上式，an=4（n+1）2；（）由（i）可知bn=，nn*，sn=42+3+（n+1），sn=42+3+n+（n+1），两式相减得： sn=41+（n+1）=41+（n+1）=6（n+3），于是sn=12（n+3）【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题18四棱锥pabcd的底面abcd是直角梯形，dab=abc=90，pa底面abcd，pa=ad=2，bc=ab=1，e为pd的中点（）求证：ce平面pab；（）求pa与平面ace所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）要证ce平面pab，只要证明ce平行于平面pab内的一条直线即可，由e为pd的中点，可联想找pa的中点f，连结ef、bf后，证明bcef是平行四边形即可证得答案；（）取ad的中点g，连接eg，则egap，问题转化为求eg与平面ace所成的角的正弦连接bg交ac于o，连接oe，证得平面ace平面oeg，交于直线oe，过g作ghoe，交oe于h，可得geh为eg与平面ace所成的角，即geo，运用解直角三角形，即可得到所求值【解答】解：（）证明：如图，取pa的中点f，连结fe、fb，则febc，且fe=ad=bc，bcef是平行四边形，cebf，而bf平面pab，ce平面pab；（）取ad的中点g，连接eg，则egap，问题转化为求eg与平面ace所成的角的正弦连接bg交ac于o，连接oe，由aceg，acbg，可得ac平面oeg，即有：平面ace平面oeg，交于直线oe，过g作ghoe，交oe于h，可得geh为eg与平面ace所成的角，即geo，由eg=1，go=，可得eo=，可得singeo=，则pa与平面ace所成角的正弦值为【点评】本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题19已知抛物线c1：y2=2px（p0）上一点q（1，a）到焦点的距离为3，（1）求a，p的值；（）设p为直线x=1上除（1，），（1，）两点外的任意一点，过p作圆c2：（x2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d，试判断a，b，c，d四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据抛物线的定义即可得到，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到，从而可求出a的值；（）可设过点p的直线l方程为：yy0=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky28y+8y0+8k=0，可设直线ab，cd的斜率分别为k1，k2，a，b，c，d四点的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可以得到可以求圆心c2到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k1+k2=y0，这样即可求得y1y2y3y4=64，即得出a，b，c，d四点纵坐标之积为定值【解答】解：（）根据抛物线的定