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1 2直角三角形的性质和判定 勾股定理 如图1 9 在方格纸上 设小方格边长为单位1 画一个顶点都在格点上的直角三角形 使其两直角边分别为3 4 量出这个直角三角形斜边的长度 图1 9 我量得c为5 在方格纸上 以图1 9中的Rt ABC的三边为边长分别向外作正方形 得到三个大小不同的正方形 如图1 10 那么这三个正方形的面积S1 S2 S3之间有什么关系呢 图1 10 在图1 10中 S1 S2 S3 即BC2 AC2 AB2 那么是否对所有的直角三角形 都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢 图1 10 如图1 11 任作一个Rt ABC C 90 若BC a AC b AB c 那么a2 b2 c2是否成立呢 图1 11 步骤1先剪出4个如图1 11所示的直角三角形 由于每个直角三角形的两直角边长为a b 其中b a 于是它们全等 SAS 从而它们的斜边长相等 设斜边长为c 图1 11 我们来进行研究 步骤2再剪出1个边长为c的正方形 如图1 12所示 图1 12 步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1 13的图形 图1 13 由于 DHK EIH 2 4 又 1 2 90 1 4 90 因此拼成的图形是正方形DEFG 它的边长为 a b 它的面积为 a b 2 又 KHI 90 1 KHI 4 180 即D H E在一条直线上 图1 13 同理E I F在一条直线上 F J G在一条直线上 G K D在一条直线上 又正方形DEFG的面积为c2 图1 13 直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 a2 b2 c2 由此得到直角三角形的性质定理 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质 由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾 较长的一边为股 斜边为弦 如图1 14 因此这一性质被称为勾股定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系 在直角三角形中 若已知直角三角形任意两条边长 我们可以根据勾股定理 求出第三边的长 勾 股 弦 故AD的长为12cm 在Rt ADB中 由勾股定理得AD2 BD2 AB2 解在 ABC中 AB AC 13 BC 10 AD BC BD 5 在Rt ABC中 C 90 1 已知a 25 b 15 求c 2 已知a 5 c 9 求b 3 已知b 5 c 15 求a 答 1 c 2 3 小结 直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 a2 b2
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