山东省济宁市曲阜市高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合u=1，2，3，4，m=1，4，n=3，4，则集合u（mn）=（）a2b1，2c3d2，32函数f（x）=的定义域为（）a（1，+）b（1，1）（1，+）c（1，0）（0，+）d（1，0）（0，1）（1，+）3为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）a向左平行移动1个单位长度b向右平行移动1个单位长度c向左平行移动个单位长度d向右平行移动个单位长度4下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=by=（x1）2cy=2xdy=log0.5（x+1）5以下四个命题中，真命题的个数是（）“若a+b2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题 0，0r，使得sin（0+0）=sin0+sin0已知命题p：x0，+），x3+x0，则p：x00，+），+x00在abc中，ab是sinasinb的充分不必要条件a0b1c2d36若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）a4bc6d7在abc中，已知bca=，bc=，ac=3，则sinabc=（）abcd8函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）abcd9设函数f（x）的定义域为d，若任取x1d，存在唯一的x2d，满足=c，则称c为函数y=f（x）在d上的均值，给出下列五个函数：y=x；y=x2；y=4sinx；y=lgx；y=2x则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）abcd10已知f（x）是定义在r上的函数y=f（x）的导函数，且f（x）f（x），则a=f（ln2），b=f（1），c=f（0）的大小关系为（）aabcbbacccbadcab二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知，且是第四象限角，tan=12计算：lg+2lg2+=13函数y=xex在其极值点处的切线方程为14若正实数a，b满足，则ab的最小值为15设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围三、解答题（共6小题，满分75分）16已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在x，上的最值17已知函数y=f（x）定义在r上，对任意实数x，y，f（x+y）=f（x）f（y）恒成立，且当x0时，有0f（x）1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）求不等式f（x1）f（）1的解集18在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=，b2a2=c2（）求tanc的值；（）若b=3，求abc的面积的值19某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价20已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，g（x）=xex（）求关于x的不等式f（x）0的解集；（）对任意x11，3，x20，不等式g（x1）+a+3f（x2）恒成立，求实数a的取值范围21已知a为实常数，函数f（x）=（）求函数f（x）的最值；（）设g（x）=xf（x）（i）讨论函数g（x）的单调性；（ii）若函数g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合u=1，2，3，4，m=1，4，n=3，4，则集合u（mn）=（）a2b1，2c3d2，3【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；分析法；集合【分析】直接由集合m，n求出m并n，再由集合u，则可求出集合u（mn）的答案【解答】解：由集合u=1，2，3，4，m=1，4，n=3，4，得mn=1，43，4=1，3，4则集合u（mn）=2故选：a【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题2函数f（x）=的定义域为（）a（1，+）b（1，1）（1，+）c（1，0）（0，+）d（1，0）（0，1）（1，+）【考点】函数的定义域及其求法【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，即x1且x0，则函数的定义域为（1，0）（0，+），故选：c【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件3为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）a向左平行移动1个单位长度b向右平行移动1个单位长度c向左平行移动个单位长度d向右平行移动个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案【解答】解：由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度故选：a【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减是基础题4下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=by=（x1）2cy=2xdy=log0.5（x+1）【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】函数的性质及应用【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论【解答】解：由于函数y=在（1，+）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2x在（0，+）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（1，+）上是减函数，故不满足条件，故选：a【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题5以下四个命题中，真命题的个数是（）“若a+b2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题 0，0r，使得sin（0+0）=sin0+sin0已知命题p：x0，+），x3+x0，则p：x00，+），+x00在abc中，ab是sinasinb的充分不必要条件a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑【分析】原命题的逆命题 为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b2”，不正确，例如取a=1.1，b=0.2；正确，例如0=0=；利用非命题的定义即可得出；利用正弦定理可得：，于是ababsinasinb，即可判断出正误【解答】解：“若a+b2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题 为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b2”，不正确，例如取a=1.1，b=0.2；0，0r，使得sin（0+0）=sin0+sin0，正确，例如0=0=；命题p：x0，+），x3+x0，则p：x00，+），+x00，正确；在abc中，abab，利用正弦定理可得： sinasinb，因此ab是sinasinb充要条件，故不正确综上可知：真命题的个数是2故选：c【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理的应用、和差公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）a4bc6d【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=x+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，经过点a时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即a（1，），此时z=31+2=，故选：b【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7在abc中，已知bca=，bc=，ac=3，则sinabc=（）abcd【考点】余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知结合余弦定理可得ab的值，由正弦定理即可求得sinabc的值【解答】解：bca=，bc=，ac=3，由余弦定理可得：ab=，由正弦定理可得：sinabc=故选：c【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题8函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先根据函数的奇偶性排除ab，再取x=，得到f（）0，排除c【解答】解：f（x）=（x+）cos（x）=（x）cosx=f（x），函数f（x）为奇函数，函数f（x）的图象关于原点对称，故排除a，b，当x=时，f（）=（）cos=0，故排除c，故选：d【点评】本题考查了函数图象的识别，常用函数的奇偶性，函数值，属于基础题9设函数f（x）的定义域为d，若任取x1d，存在唯一的x2d，满足=c，则称c为函数y=f（x）在d上的均值，给出下列五个函数：y=x；y=x2；y=4sinx；y=lgx；y=2x则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）abcd【考点】函数的值；函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据定义分别验证对于任意的x1d，存在唯一的x2d，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可【解答】解：首先分析题目求对于任意的x1d，存在唯一的x2d，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数y=x，f（x1）+f（x2）=4得 x1+x2=4，解得x2=4x1，满足唯一性，故成立y=x2，由 f（x1）+f（x2）=4得 x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是r上的周期函数，存在无穷个的x2d，使成立故不满足条件y=lgx，定义域为x0，值域为r且单调，显然必存在唯一的x2d，使成立故成立y=2x定义域为r，值域为y0对于x1=3，f（x1）=8要使成立，则f（x2）=4，不成立故选：b【点评】本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力综合性较强10已知f（x）是定义在r上的函数y=f（x）的导函数，且f（x）f（x），则a=f（ln2），b=f（1），c=f（0）的大小关系为（）aabcbbacccbadcab【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得a=g（ln2）与c=g（0）、b=g（1）的大小关系，即可得到答案【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，因为对任意xr都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在r上单调递增，又a=g（ln2），b=g（1），c=g（0），由0ln21，可得g（0）g（ln2）g（1），即cab故选：d【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查导数的运算性质的运用，以及单调性的运用：比较大小，属于中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知，且是第四象限角，tan=【考点】象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；弦切互化【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是三角函数的符号及弦切互化，由是第四象限角，我们易得cos0，根据同角三角函数之间的关系，我们易求出cos的值，弦化切后，即可得到tan的值【解答】解：，且是第四象限角cos=故tan=故答案为：【点评】三角函数给值求值问题中，根据该角的一个三角函数值，求另一个三角函数值，我们要根据角的位置对符号进行判断12计算：lg+2lg2+=1+【考点】对数的运算性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用对数的性质、运算法则和换底公式求解【解答】解：lg+2lg2+=lg10+=1+故答案为：1+【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则和换底公式的合理运用13函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程【解答】解：依题解：依题意得y=ex+xex，令y=0，可得x=1，y=因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=故答案为：y=【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14若正实数a，b满足，则ab的最小值为2【考点】基本不等式【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由题意可得=2=2，由不等式的性质变形可得【解答】解：正实数a，b满足，=2=2，ab2当且仅当=即a=且b=2时取等号故答案为：2【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题15设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a2【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用【分析】分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），若在x1时，h（x）=2xa与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2故答案为：或a2【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在x，上的最值【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；函数思想；综合法；解三角形【分析】（）利用三角恒等变换，化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期；（）根据x，求出2x+的取值范围，从而求出f（x）的取值范围，即得f（x）的最值【解答】解：（）函数f（x）=4cosxsin（x+）1=4cosx（sinx+cosx）1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为t=；（）因为x，所以2x+，所以sin（2x+），1，所以f（x）1，2，即函数f（x）在x，上的最大值为2，最小值为1【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了数据函数的图象与性质的应用问题，是基础题目17已知函数y=f（x）定义在r上，对任意实数x，y，f（x+y）=f（x）f（y）恒成立，且当x0时，有0f（x）1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）求不等式f（x1）f（）1的解集【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】本题（1）利用函数单调性定义，结合条件f（x+y）=f（x）f（y），将定义中的x2化成x1+（x2x1）的形式，判断并证明函数的单调性；（2）利用已证明的函数单调性；（2）利用抽象函数的条件，求出f（0）=1，将不等式f（x1）f（）1转化为f（x1）f（）f（0），再结合条件f（x+y）=f（x）f（y）和函数单调性，得到x+1，分类讨论，解出本题结论【解答】解：（1）在函数f（x）定义域r上任取自变量x1，x2且x1x2，x2x10f（x+y）=f（x）f（y），令x=y=，则f（t）=f（）20f（x）0f（x2）f（x1）=fx1+（x2x1）f（x1）=f（x1）f（x2x1）f（x1）=f（x1）f（x2x1）1当x0时，有0f（x）1，f（x2x1）1函数f（x）定义域r上单调递减（2）f（x+y）=f（x）f（y），令x=1，y=0，得到：f（1）=f（1）f（0），f（0）=1不等式f（x1）f（）1，f（x1+）f（0），x1+0，x+1当x0时，x+2，当x0时，x+2，x0不等式f（x1）f（）1的解集为：（，0）【点评】本题考查了函数的单调性定义和应用，本题难度适中，属于中档题18在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=，b2a2=c2（）求tanc的值；（）若b=3，求abc的面积的值【考点】余弦定理的应用【专题】方程思想；转化法；三角函数的求值；解三角形【分析】（）运用余弦定理可得b2a2=bcc2，结合条件可得b=c，a=c再由余弦定理，可得cosc，进而得到tanc；（）运用两角和的正弦公式和正弦定理，以及三角形的面积公式计算即可得到所求值【解答】解：（）a=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，b2a2=bcc2，又b2a2=c2 bcc2=c2b=c可得b=c，a2=b2c2=c2，即a=ccosc=c（0，），sinc=tanc=2（）由sinb=sin（a+c）=sin（c+）=（sinc+cosc）=，由正弦定理得c=b，因为b=3，所以c=2，又a=，则sabc=bcsina=3【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题【分析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值【解答】解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米则总造价f（x）=400（2x+）+2482x+80162=1296x+12960=1296（x+）+1296012962+12960=38880（元），当且仅当x=（x0），即x=10时，取等号当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元（2）由限制条件知，10x16设g（x）=x+（10x16），由函数性质易知g（x）在10，16上是增函数，当x=10时（此时=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296（10+）+12960=38882（元）当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元【点评】本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力20已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，g（x）=xex（）求关于x的不等式f（x）0的解集；（）对任意x11，3，x20，不等式g（x1）+a+3f（x2）恒成立，求实数a的取值范围【考点】三角函数的最值；函数恒成立问题【专题】综合题；转化思想；转化法；三角函数的求值【分析】（）由三角函数的恒等变换，化简f（x），求出f（x）0时的解集；（）根据题意，不等式g（x1）+a+3f（x2）恒成立转化为g（x1）+a+3在1，3上的最小值大于f（x2）在区间0，上的最大值；利用函数的单调性求出对应的最值，列出不等式求出a的取值范围【解答】解：（）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，由f（x）0，得2sin（2x+）+10，即sin（2x+），2k2x+2k+（kz），即kxk+，（kz）；不等式f（x）0的解集为（k，k+），（kz）；（）对任意x11，3，x20，要使不等式g（x1）+a+3f（x2）恒成立，只须g（x1）+a+3在1，3上的最小值大于f（x2）在区间0，上的最大值即可；当x20，时，有2x2+，sin（2x2+），1，即有02sin（2x2+）+13；当x20，时，f（x2）的最大值为3，f（x2）的最小值为0又由g（x）=xex得g（x）=exxex=（1x）ex，令g（x）=（1x）ex=0，解得x=1；当x1时，g（x）0，当x1时g（x）0；g（x）在区间（，1）内是增函数，在区间（1，+）内是减函数；g（x）在区间1，3上是减函数，当x11，3时，g（x1）有最小值为g（3）=，g（x1）+a+3的最小值为+a+3；令+a+33，得a，实数a的取值范围是（，+）【点评