极限运算法则.doc

1.5极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 例如, 当x0时, x与sin x都是无穷小, x+sin x也是无穷小.简要证明: 设a及b是当xx0时的两个无穷小, 则e 0, $d10及d20, 使当0|x-x0|d1 时, 有|a|e ; 当0|x-x0|d2 时, 有|b|e . 取d =mind1, d2, 则当0|x-x0|d时, 有|a+b|a|+|b|0. 因为a 是当xx0时的无穷小, 对于0存在着d10, 当0|x-x0|d1时, 不等式|a|0存在着d20, 当0|x-x0|d2时, 不等式|b|成立. 取d =mind1, d2, 则当0|x-x0|d 时, |a|及|b|同时成立, 从而|g|=|a+b|a|+|b|+=e . 这就证时了g 也是当xx0时的无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 简要证明: 设函数u在x0的某一去心邻域x|0|x-x0|0, 使当0|x-x0|0. 存在d2 0, 使当0|x-x0|d 2时, 有|a|e . 取d =mind1, d2, 则当0|x-x0|d 时, 有 |ua| Me .这说明ua 也是无穷小.例如, 当x时,是无穷小, arctan x是有界函数, 所以arctan x也是无穷小.推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B, 那么(1) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x) =A B ; (2) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x) =AB ; (3)(B0). 证明(1): 因为lim f (x)=A, lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 为无穷小. 于是f (x) g (x)=(A + a) (B + b) = (A B) + (a b), 即f (x) g (x)可表示为常数(A B)与无穷小(a b)之和. 因此lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = A B . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则lim c f (x)=c lim f (x). 推论2 如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则lim f (x)n =lim f (x)n. 定理4 设有数列xn 和yn . 如果, , 那么(1); (2); (3)当(n=1, 2, )且B0时, . 定理5 如果j(x)f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么ab . 例1. 求. 解: .讨论: 若, 则 提示: =a0x0n+a1x0n-1+ +an=P(x0).若, 则. 例2. 求. 解: . 提问: 如下写法是否正确？. . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根据无穷大与无穷小的关系得=. 提问: 如下写法是否正确？. 讨论: 有理函数的极限提示: 当时, .当且时, .当Q(x0)=P(x0)=0时, 先将分子分母的公因式(x-x0)约去.例5. 求.解:先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例6. 求. 解:先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例7. 求. 解: 因为, 所以.讨论: 有理函数的极限提示: . 例8. 求. 解:当x时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为, 是无穷小与有界函数的乘积, 所以 . 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义, 若, , 且在x0的某去心邻域内g(x)u 0, 则. 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 若g(x)u0(xx0), f(u)A(uu0), 且在x0的某去心邻域内g(x)u0, 则. 简要证明 设在x|0|x-x0|0, $d0, 当0|x-x0|d 时, 有|fg(x)-A|0, $h0, 当0|u-u0|h时, 有|f(u)-A|0, $d10, 当0|x-x0|d1时, 有|g(x)-u0|h. 取d=mind0, d1, 则当0|x-x0|d时, 0|g(x)-u0|h, 从而|fg(x)-A|=|f(u)-A|e . 注: 把定理中换成或, 而把