【导与练】高考数学 试题汇编 第三节 等比数列 理（含解析）.doc

第三节等比数列 有关等比数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要考查a1、n、q、an、sn的基本运算,即“知三求二”问题,多以选择、填空形式考查,难度较低,分值为5分左右备考指津熟记等比数列的定义、通项及求和公式,灵活选择形式,注重方程思想与整体代换思想的运用1.(2010年浙江卷,理3)设sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则s5s2等于()(a)11(b)5(c)-8(d)-11解析:设等比数列an的公比为q.由8a2+a5=0,得a1q(8+q3)=0,又a1q0,q=-2.s5s2=1-q51-q2=1-(-2)51-4=-11.故选d.答案:d.2.(2010年广东卷,理4)已知数列an为等比数列,sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为54,则s5等于()(a)35(b)33(c)31(d)29解析:设等比数列an的公比为q,则a1qa1q2=2a1a1q3+2a1q6=52,解得a1=16q=12.所以s5=a1(1-q5)1-q=161-(12)51-12=31,故选c.答案:c.3.(2012年浙江卷,理13,4分)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为sn.若s2=3a2+2,s4=3a4+2,则q=.解析:由题意可得a1+a2=3a2+2,a1+a2+a3+a4=3a4+2,-得a3+a4=3a4-3a2,即a1q2+a1q3=3a1q3-3a1q,化简得2q2-q-3=0,解得q=-1(舍)或q=32.答案:324.(2012年辽宁卷,理14,5分)已知等比数列an为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an=.解析:由an为递增的等比数列知公比q1.由a52=a102(an+an+2)=5an+1得a5=q52q2-5q+2=0,解得q=2,q=12(舍),a5=25,an=a5qn-5=252n-5=2n.答案:2n5.(2011年北京卷,理11)在等比数列an中,若a1=12,a4=-4,则公比q=;|a1|+|a2|+|an|=.解析:a4=a1q3,q3=-8,q=-2,an=12(-2)n-1,|an|=122n-1=2n-2,即数列|an|为等比数列,首项为12,公比为2,|a1|+|a2|+|an|=12(1-2n)1-2=12(2n-1)=2n-1-12.答案:-22n-1-126.(2010年福建卷,理11)在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=.解析:s3=a1(1+q+q2)=21a1=21,a1=1,an=4n-1.答案:4n-1等比数列性质的应用考向聚焦高考常考内容,主要考查等比数列项及和的重要性质的应用,多以选择、填空题形式考查,难度中等,分值约为5分备考指津熟记等比数列的有关性质并应用,着重训练:(1)通项公式的变形应用;(2)等比中项的变形应用;(3)前n项和公式变形的应用(sn=kqn+b(k+b=0)7.(2012年安徽卷,理4,5分)公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于()(a)4(b)5(c)6(d)7解析:本题考查等比数列的性质,考查对数运算.a3a11=16,a7=4,a10=a7q3=423=25,log2a10=log225=5.答案:b.8.(2012年新课标全国卷,理5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于()(a)7(b)5(c)-5(d)-7解析:主要考查等比数列的简单性质,a5a6=-8,a4a7=-8.又a4+a7=2,a4=4a7=-2或a4=-2a7=4.当a4=4a7=-2时a1=-8q3=-12,此时a1+a10=a1+a7q3=-7;当a4=-2a7=4时a1=1q3=-2,此时a1+a10=a1+a7q3=-7.答案:d.9.(2010年北京卷,理2)在等比数列an中,a1=1,公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()(a)9(b)10(c)11(d)12解析:由等比数列的性质可得am=a35=q10=a1q11-1,所以m=11.故选c.答案:c.10.(2010年安徽卷,理10)设an是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为x,y,z,则下列等式中恒成立的是()(a)x+z=2y(b)y(y-x)=z(z-x)(c)y2=xz(d)y(y-x)=x(z-x)解析:若等比数项的前n项和x=sn=0,则y=sn+qnsn=0,同理z=0;若x0时,x,y-x,z-y成等比数列,(y-x)2=x(z-y),化简得y(y-x)=x(z-x),故选d.答案:d.11.(2011年新课标全国卷,理17)等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列1bn的前n项和.解:(1)设等比数列an的公比为q,由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19.由条件可知q0,故q=13.由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得a1=13.故数列an的通项公式为an=13n.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-n(n+1)2,故1bn=-2n(n+1)=-2(1n-1n+1),1b1+1b2+1bn=-2(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=-2nn+1.所以数列1bn的前n项和为-2nn+1.等比数列的综合应用考向聚焦高考热点考查内容,常在解答题中考查,难度中等有一定的综合性,常涉及分类讨论思想的应用,多与不等式相结合考查备考指津训练题型:(1)等比数列的基本运算与错位相减求和的综合问题;(2)与等比数列有关的存在性问题12.(2012年天津卷,理18,13分)已知an是等差数列,其前n项和为sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记tn=anb1+an-1b2+a1bn,nn*,证明tn+12=-2an+10bn(nn*).(1)解:设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,a1=b1=2,a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,a4+b4=27,s4-b4=10,2+3d+2q3=278+6d-2q3=10,d=3q=2.an=3n-1,bn=2n,nn*.(2)证明:由(1)得tn=2an+22an-1+23an-2+2na12tn=22an+23an-1+2na2+2n+1a1-得tn=-2(3n-1)+322+323+32n+2n+2=12(1-2n-1)1-2+2n+2-6n+2=102n-6n-10.又-2an+10bn-12=-2(3n-1)+102n-12=102n-6n-10,tn+12=-2an+10bn,nn*. 本小题主要考查等差、等比数列的通项公式及基本运算.用错位相减法求和,考查转化能力,运算能力.属中档题.13.(2011年江西卷,理18)已知两个等比数列an,bn,满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列an的通项公式;(2)若数列an唯一,求a的值.解:(1)设等比数列an的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0解得q1=2+2,q2=2-2,所以an的通项公式为an=(2+2)n-1或an=(2-2)n-1.(2)设an的公比为q,则由b22=b1b3得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*)由a0得=4a2+4a0,故方程(*)有两个不同的实根,由an唯一,知方程(*)必有一根为0,将q=0代入方程(*)得a=13.(2011年山东卷,理20,12分)等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=an+(-1)nln an,求数列bn的前n项和sn.解:(1)由题意知,a1=2,a2=6,a3=18,1分an为等比数列,q=3,an的通项公式为an=23n-13分第1问赋分细则:(1)由表格数据分析不出a1,a2,a3值扣1分;(2)由a1,a2,a3求错an扣2分.(2)bn=an+(-1)nln ansn=(a1+a2+an)+(-ln a1+ln a2-ln a3+ln a4+(-1)nln an)4分=2(1-3n)1-3+(ln a2-ln a1)+(ln a4-ln a3)+=3n-1+(ln a2a1+ln a4a3+).6分当n=2k(kn*)时,s2k=32k-1+(ln a2a1+ln a4a3+ln a2ka2k-1)=32k-1+(ln 3+ln 3+ln 3)=32k-1+kln 3.8分当n=2k+1(kn)时,s2k+1=32k+1-1+(ln a2a1+ln a4a3+ln a2ka2k-1-ln a2k+1)=32k+1-1+kln 3-ln a2k+1=32k+1-1+kln 3-ln (232k)=32k+1-1-kln 3-ln 2.10分sn=3n-1+n2ln3(n为偶数)3n-1-n-12ln3-ln2(n为奇数).12分第2问赋分细则:(1)求sn不会分组求和扣1分;(2)求错a1+a2+an及不会将-ln a1+ln a2-ln a3+ln a4并项求和扣