【五年经典推荐 全程方略】高三数学 专项精析精炼 考点33 直线、平面垂直的判定及其性质 .doc

考点33 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.（2011辽宁高考理科8）如图，四棱锥s-abcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是( )(a) acsb (b) ab平面scd (c) sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角 (d)ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角【思路点拨】先逐项分析，再判断结论【精讲精析】选d.选项具体分析结论a四棱锥s-abcd的底面为正方形，所以acbd，又sd底面abcd，所以sdac，从而ac面sbd，故acsb正确b由abcd，可得ab平面scd正确c选项a中已证得ac面sbd，又sa=sc，所以sa与平面sbd所成的角的余角等于sc与平面sbd所成的角的余角正确dab与sc所成的角为，此为锐角，而dc与sa所成的角即ab与sa所成的角，此为直角，二者不相等不正确2.（2011浙江高考理科4）下列命题中错误的是( )（a）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（b）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（c）如果平面平面，平面平面，那么平面（d）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系.【精讲精析】选d.如果平面平面，那么平面内所有垂直于交线的直线都垂直于平面，与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故d项叙述是错误的二、解答题3.（2011江苏高考16）如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直，解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需要的条件，注意要把所需的条件摆充分.【精讲精析】(1) 在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面,pd平面,所以直线平面.(2)连结bd.因为，所以为等边三角形.因为是的中点，所以.因为平面平面，, ,所以.又因为，所以平面平面.4.（2011新课标全国高考文科18）如图，四棱锥中，底面为平行四边形.底面 .（i）证明：（ii）设，求棱锥的高.【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利用勾股定理，第（2）问，在中，可证边上的高即为三棱锥的高，其长度利用等面积法可求.【精讲精析】（）因为, 由余弦定理得 从而bd2+ad2= ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd. 所以bd平面pad. 故pabd（）过d作depb于e，由（i）知bcbd,又pd底面，所以bc平面pbd，而de平面pbd，故debc,所以de平面pbc由题设知pd=1，则bd=,pb=2，由depb=pdbd得de=,即棱锥的高为.5（2011辽宁高考文科18）如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qa=ab=pd（i）证明：pq平面dcq；（ii）求棱锥q-abcd的体积与棱锥p-dcq的体积的比值【思路点拨】（i）；（ii）设出正方形的边长为，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值【精讲精析】（i）由条件知四边形为直角梯形因为qa平面abcd，所以平面平面abcd，交线为又四边形abcd为正方形，所以平面，可得在直角梯形中可得，则所以 （ii）设由题设知为棱锥的高，所以棱锥的体积由（i）知为棱锥的高，而=，的面积为，所以棱锥的体积故棱锥q-abcd的体积与棱锥p-dcq的体积的比值为1 6.（2011广东高考文科18）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. a，a，b，b分别为,的中点，分别为的中点. （1）证明：四点共面；（2）设g为a a中点，延长到h，使得.证明：平面 【思路点拨】(1)证明，从而它们确定一个平面，这四个点同在此平面内.(2)作辅助线如图，证，从而得结论.【精讲精析】（1）中点，连接bo2直线bo2是由直线ao1平移得到 共面. （2）将ao1延长至h使得o1h=o1a，连接由平移性质得与hb平行且相等,、7.（2011广东高考理科18）如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，,分别是的中点.（1） 证明：（2）求二面角的余弦值.【思路点拨】（1）证明adef， adde，从而证得；（2）取ad的中点g，连结pg、bg.，证pgb是所求二面角的平面角，在pgb中由余弦定理可求得所求二面角的余弦值.【精讲精析】（1）证明：取ad的中点g，连结pg、bg.pa=pd，adpg.在abg中，gab=,ag=，ab=1, agb=,即adgb.又pggb=g，ad平面pgb，从而adpb.分别是的中点，ef/pb，从而adef.又de/gb，adgb，adde,deef=e, .（2）由（1）知pgb是所求二面角的平面角.在pgb中，pg2=,bg=1sin600=,pb=2.由余弦定理得cospgb=,即所求二面角p-ad-b的余弦值为8.（2011山东高考文科19）（本小题满分12分）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60（）证明：；（）证明：.【思路点拨】（i）本题考查线面垂直的判定定理，以及空间位置关系的转化思想，要证，可先证平面,只需证bd，bdad因为平面，所以bd，设ad=a，则ab=2a由余弦定理得：,所以bd=，再由勾股定理的逆定理判断bdad.原命题得证.（ii）本小题考查线面平行的判定，只需在平面a1bd内找一条直线和cc1平行即可，因此可连结ac, a1c1,设，连结ea1 ，只要证cc1ea1即可.【精讲精析】（）证明：因为，所以设ad=a,则ab=2a,又因为60,所以在中,由余弦定理得：,所以bd=,所以,故bdad,又因为平面，所以bd,又因为, 所以平面,故.(ii)连结ac, a1c1,设，连结ea1，因为四边形abcd为平行四边形，所以由棱台定义及ab=2ad=2a1b1知cc1ea1，又因为ea1平面a1bd，cc1平面a1bd，所以. 9.（2011北京高考文科t17）（14分）如图，在四面体pabc中，点d,e,f,g分别是棱ap,ac,bc,pb的中点.（）求证：de/平面bcp；（）求证：四边形defg为矩形；（）是否存在点q，到四面体pabc六条棱的中点的距离相等？说明理由.aecfbgpd 【思路点拨】（）利用线面平行的判定定理进行证明；（）先证defg为平行四边形，再证明相邻两边垂直；（）假设存在，再证明.【精讲精析】（）因为d,e分别为ap,ac的中点，所以de/pc. 又因为de平面bcp，所以de/平面bcp.()因为d,e,f,g分别为ap,ac,bc,pb的中点，aecfbgpdmqn所以de/pc/fg , dg/ab/ef，所以四边形defg为平行四边形.又因为,所以.所以四边形defg为矩形.（）存在点q满足条件，理由如下：连接df,eg，设q为eg的中点，由（）知，且，分别取pc,ab的中点m,n，连接me,en,ng,mg,mn.与（）同理，可证四边形meng为矩形，其对角线交点为eg的中点q，且，所以q为满足条件的点.10（2011湖南高考文科t19）（本小题满分12分）如图，在圆锥po中，已知po=，o的直径ab=2，点c在上，且d为ac的中点.（）证明：ac平面pod；（）求直线oc和平面pac所成角的正弦值.【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系，考查空间观念和空间想象能力.首先考查空间垂直的证明，考查线面垂直，转到线线垂直，考查线面垂直的判定定理.再考查线面角的求法，求线面角要扣住定义法.另外解决立体几何的方法有两种：一是几何法，主要考查思维能力.二是向量法，主要考查向量的运用，而向量法又有两种，一是坐标法，二是基底法.【精讲精析】（i）因为又.、od是平面内的两条相交直线，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角在在11.（2011陕西高考文科t16）如图，在abc中，abc=45，bac=90，ad是bc上的高，沿ad把abd折起，使bdc=90.（）证明：平面adb平面bdc；（）若bd=1，求三棱锥dabc的表面积.【思路点拨】（）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算【精讲精析】（）折起前ad是bc边上的高，当abd折起后，addc，addb，又dbdcd，ad平面bdc，又ad平面adb.平面abd平面bdc（）由（）知，da,db=da=dc=1，ab=bc=ca=,abc=60， 三棱锥d的表面积是12.（2011天津高考文科17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，平面， ，为的中点（）证明：/平面；（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正切值【思路点拨】(1)证明 mo/pb;(2) 证明ad垂直于平面pac内的两条相交直线po、ac；(3) 取od的中点n，证明即为所求的线面角，【精讲精析】（）连接bd，mo，在平行四边形abcd中，因为o为ac的中点，所以o为bd的中点，又m为pd的中点，所以pb/mo.因为平面acm，平面acm，所以pb/平面acm.（）因为，且ad=ac=1，所以，即，又po平面abcd，平面abcd，所以，所以平面pac.（）取do中点n，连接mn，an，因为m为pd的中点，所以mn/po，且平面abcd，得平面abcd，所以是直线am与平面abcd所成的角，在中，从而，在，即直线am与平面abcd所成角的正切值为13. （2011浙江高考文科20）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上.（）证明：；（）已知，.求二面角的大小.【思路点拨】（1）小题只需把线线垂直转化为线面垂直问题；（2）利用二面角平面角的定义做出其平面角并在三角形中即可求解，本题主要考查点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间想象能力与运算求解能力.【精讲精析】（）由ab=ac,d是bc的中点，得adbc,又po平面abc,得pobc.因为poad=0，所以bc平面pad故bcpa.（）如图，在平面pab内作bmpa于m,连接cm. 因为bcpa.，得ap平面bmc.所以apcm.故bmc为二面角b-ap-c的平面角. 在rtadb中，ab2=ad2+bd2=41，得ab=在rtpod中, pd2=po2+od2,在rtpdb中, pb2=pd2+bd2,所以pb2=po2+od2+bd2=36，得pb=6.在rtpo中, pa2=ao2+op2=25,得pa=5又从而所以同理cm因为bm2+mc2=bc2所以=900即二面角b-ap-c的大小为90014（2011湖南高考理科t19）如图所示，在圆锥po中，已知po=，o的直径ab=2，点c是的中点，d为ac的中点. （）证明：平面pod平面pac；（）求二面角b-pa-c的余弦值.【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系，首先考查空间垂直的证明，由面