高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题五 立体几何 1.5.1 空间几何体的三视图、表面积及体积课件 理 新人教版.ppt

第一讲空间几何体的三视图 表面积及体积 知识回顾 1 空间几何体的三视图 1 空间几何体三视图的画法规则 长对正 即正 主 视图和 的长相等 高平齐 即正 主 视图和 的高相等 俯视图 侧 左 视图 宽相等 即侧 左 视图和 的宽相等 看不见的轮廓线要用虚线表示 俯视图 2 空间几何体三视图的摆放规则 俯视图放在正 主 视图的下面 侧 左 视图放在正视图的右面 2 空间几何体的表面积 1 多面体的表面积为各个面的 2 圆柱的表面积公式 s 其中 为底面半径 为圆柱的高 面积的和 2 r2 2 rl 2 r r l r l 3 圆锥的表面积公式 s 其中圆锥的底面半径为 母线长为 4 圆台的表面积公式 s 其中圆台的上 下底面半径分别为 和 母线长为 5 球的表面积公式 s 其中球的半径为 r2 rl r r l r l r 2 r2 r l rl r r l 4 r2 r 3 空间几何体的体积 1 v柱体 为底面面积 为高 2 v锥体 为底面面积 为高 3 v球 其中 为球的半径 sh s h s h r 易错提醒 1 画三视图时对轮廓线把握不准致误 画三视图的轮廓线时 可见轮廓线在三视图中为实线 不可见轮廓线为虚线 2 对三视图的理解或空间几何体的认识不准确致误 将三视图还原为其对应的几何体时 一定要准确理解所给的三视图 才能准确还原出其对应的几何体 3 不能根据三视图的有关数据正确得到空间几何体的相关数据致误 对由三视图计算其对应几何体的表面积或体积时 一定要正确找准对应几何体中的相关数据 4 不能准确把握组合体的构成而致误 对所给组合体求其表面积 体积时 易弄错其构成 导致计算错误 考题回访 1 2016 全国卷 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 a 20 b 24 c 28 d 32 解析 选c 几何体是圆锥与圆柱的组合体 设圆柱底面圆半径为r 周长为c 圆锥母线长为l 圆柱高为h 由图得r 2 c 2 r 4 h 4 由勾股定理得 l s表 r2 ch cl 4 16 8 28 2 2016 全国卷 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体的表面积为 a 18 36b 54 18c 90d 81 解析 选b 根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱 上下底面为边长为3的正方形 左右为底边长为3 侧棱为3的矩形 前后为底边为3 侧棱为3的平行四边形 且底边上的高为6 所以s 9 9 18 18 9 9 54 18 3 2015 全国卷 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧长为8尺 米堆的高为5尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知1斛米的体积约为1 62立方尺 圆周率约为3 估算出堆放的米约有 a 14斛b 22斛c 36斛d 66斛 解析 选b 设圆锥底面半径为r 则 2 3r 8 所以r 所以米堆的体积为故堆放的米约为 1 62 22 斛 4 2015 全国卷 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如图 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 解析 选d 由三视图得 在正方体abcd a1b1c1d1中 截去四面体a a1b1d1 如图所示 设正方体棱长为a 则故剩余几何体体积为所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5 2015 全国卷 已知a b是球o的球面上两点 aob 90 c为该球面上的动点 若三棱锥o abc体积的最大值为36 则球o的表面积为 a 36 b 64 c 144 d 256 解析 选c 如图所示 当点c位于垂直于面aob的直径端点时 三棱锥o abc的体积最大 设球o的半径为r 此时vo abc vc aob 故r 6 则球o的表面积为s 4 r2 144 热点考向一空间几何体的三视图与直观图的对应关系命题解读 主要考查利用三视图的画法规则及摆放规则 根据空间几何体确定其三视图或根据三视图还原其对应直观图或根据三视图的其中两个确定另一个 以选择题 填空题形式出现 典例1 1 2016 长春一模 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 2 2016 郑州一模 如图所示 四面体abcd的四个顶点是长方体的四个顶点 长方体是虚拟图形 起辅助作用 则四面体abcd的三视图是 用 代表图形 a b c d 3 2016 石家庄二模 牟合方盖 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 它由完全相同的四个曲面构成 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 好似两个扣合 牟合 在一起的方形伞 方盖 其直观图如图 图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线 当其主视图和侧视图完全相同时 它的俯视图可能是 解题导引 1 由选项中的直观图逐个验证其三视图是否符合已知三视图 2 根据三视图的定义 画法规则 摆放规则判断 3 根据几何体形状及轮廓线的虚 实情况判断 规范解答 1 选b 由已知三视图知 选项a c中所给几何体的正 主 视图 俯视图不符合要求 选项d中所给几何体的侧 左 视图不符合要求 而b中的几何体均符合 2 选b 正 主 视图应该是相邻两边长为3和4的矩形 其对角线左下到右上是实线 左上到右下是虚线 因此正 主 视图是 侧 左 视图应该是相邻两边长为5和4的矩形 其对角线左上到右下是实线 左下到右上是虚线 因此侧 左 视图是 俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形 其对角线左上到右下是实线 左下到右上是虚线 因此俯视图是 3 选b 由直观图可知俯视图应为正方形 排除a c 又上半部分相邻两曲面的交线看得见 在俯视图中应为实线 规律方法 1 由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认 2 由三视图还原到直观图的思路 1 根据俯视图确定几何体的底面 2 根据正 主 视图或侧 左 视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 调整实线和虚线所对应的棱 面的位置 3 确定几何体的直观图形状 题组过关 1 2016 太原一模 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中三个视图都是直角三角形 则在该三棱锥的四个面中 直角三角形的个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选d 由题意可知 几何体是三棱锥 其放置在长方体中形状如图中三棱锥a bcd 利用长方体模型可知 此三棱锥的四个面 全部是直角三角形 2 2016 兰州一模 如图 正四棱锥p abcd的底面边长为6cm 侧棱长为5cm 则它的侧 左 视图的周长等于 a 17cmb 5 cmc 16cmd 14cm 解析 选d 由题意可知 侧 左 视图是一个三角形 底边长等于正四棱锥底面正方形的边长 高为正四棱锥的高的一个等腰三角形 因为侧棱长5cm 所以斜高为h 4 cm 又正四棱锥底面正方形的边长为6cm 所以侧 左 视图的周长为6 4 4 14 cm 3 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 p为bc的中点 q为cc1的中点 则四面体a1pqd的正 主 视图 侧 左 视图和俯视图的面积之和为 解析 由图易知四面体a1pqd的正 主 视图为直角梯形 如图1所示 其面积为四面体a1pqd的侧 左 视图为四边形 如图2所示 其面积为四面体a1pqd的俯视图为直角梯形 如图3所示 其面积为 故四面体a1pqd的正 主 视图 侧 左 视图和俯视图的面积之和为答案 2 加固训练 1 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥 则不是该三棱锥的三视图的是 解析 选d 三棱锥的三视图均为三角形 四个选项均满足 且四个三视图均表示一个高为3 底面为两直角边分别为1 2的棱锥 a与c中俯视图正好旋转180 故应是从相反方向进行观察 而其正 主 视图和侧 左 视图中三角形斜边倾斜方向相反 满足实际情况 故a c表示同一 棱锥 设a中观察的正方向为标准正方向 所以c表示从后面观察该棱锥 b与d中俯视图正好旋转180 故应是从相反方向进行观察 但侧 左 视图中三角形斜边倾斜方向相同 不满足实际情况 故b d中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥 根据b中正 主 视图与a中侧 左 视图相同 侧 左 视图与c中正 主 视图相同 可判断b是从左边观察该棱锥 2 2016 石家庄二模 如图所示是一个物体的三视图 则此三视图所描述物体的直观图是 解析 选d 先观察俯视图 由俯视图可知选项b和d中的一个正确 由正 主 视图和侧 左 视图可知选项d正确 3 2014 全国卷 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的是一个几何体的三视图 则这个几何体是 a 三棱锥b 三棱柱c 四棱锥d 四棱柱 解析 选b 由题知 该几何体的三视图为一个三角形 两个四边形 经分析可知该几何体为三棱柱 如图所示 4 一个三棱锥的正 主 视图和俯视图如图所示 则该三棱锥的侧 左 视图可能为 解析 选d 分析三视图可知 该几何体为如图所示的三棱锥 其中平面acd 平面bcd 故其侧 左 视图应为d 热点考向二空间几何体表面积与体积的计算命题解读 主要考查空间几何体的结构特征 表面积与体积公式 三种题型都有可能出现 如果出现在解答题中常与线面的平行 垂直关系交汇考查 命题角度一 根据三视图计算其空间几何体的表面积与体积 典例2 1 2016 南昌一模 如图网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某几何体的三视图 则这个几何体的体积为 a 1b 2c 3d 4 2 2016 浙江高考 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的表面积是 cm2 体积是 cm3 解题导引 1 利用三视图判断几何体的形状 然后通过三视图的数据求解几何体的体积 2 先由三视图还原几何体再进行求解 规范解答 1 选d 该几何体的直观图如图 则该几何体的体积v 2 由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体 s表 6 22 2 42 4 2 4 2 22 80 cm2 v 23 4 4 2 40 cm3 答案 8040 命题角度二 根据空间几何体的结构特征计算其表面积 体积 典例3 1 2016 武汉二模 已知圆锥的底面直径为 且它的侧面展开图是一个半圆 则圆锥的表面积为 a 1b 2c 3d 4 2 2016 长沙一模 如图 在斜三棱柱abc a1b1c1中 侧面acc1a1与侧面cbb1c1都是菱形 acc1 cc1b1 60 ac 2 求证 ab1 cc1 若ab1 求四棱锥a bb1c1c的体积 解题导引 1 通过圆锥的底面直径为 且它的侧面展开图是一个半圆 求出圆锥的底面半径 母线 即可求出圆锥的表面积 题目拆解 2 解答本题 问 可拆解成三个小题 找过点a与底面bb1c1c相交且垂直的直线并证明 求的值 求四棱锥a bb1c1c的体积 规范解答 1 选a 圆锥的底面直径为 且它的侧面展开图是一个半圆 所以圆锥的底面半径为 周长为 圆锥的母线长为 所以圆锥的表面积为 2 连接ac1 cb1 则 acc1和 b1cc1皆为正三角形 取cc1中点o 连接oa ob1 则cc1 oa cc1 ob1 又ao b1o o 所以cc1 平面oab1 所以cc1 ab1 由 知 oa ob1 又ab1 所以oa2 b1o2 所以oa ob1 又oa cc1 ob1 cc1 o 所以oa 平面bb1c1c 故 母题变式 1 在本题 2 的条件下 若a1b1 求斜三棱柱abc a1b1c1的表面积 解析 在 abc中 ab a1b1 ac bc 2 cos acb 所以sin acb 所以s abc 而又有所以ab1 aa1 所以因此该三棱柱abc a1b1c1的表面积为 2 在本题 2 的条件下 求三棱锥b a1b1c1的体积 解析 由 2 解析知oa 平面bb1c1c 又aa1 平面bb1c1c 所以点a1到平面bb1c1c的距离h等于点a到平面bb1c1c的距离oa 即h oa 又所以 3 在本题 2 的条件下 求点c到平面ab1c1的距离 解析 由题 2 知oa 平面cb1c1 所以在 ab1c1中 ab1 ac1 2 b1c1 2 cos ac1b1 所以sin ac1b1 故设点c到平面ab1c1的距离为d 则由得点c到平面ab1c1的距离为 规律方法 1 求解几何体的表面积及体积的技巧 1 求三棱锥的体积 等体积转化是常用的方法 转化原则是其高易求 底面放在已知几何体的某一面上 2 求不规则几何体的体积 常用分割或补形的思想 将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 3 求表面积 其关键思想是空间问题平面化 2 根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 1 根据给出的三视图还原该几何体的直观图 2 由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量 3 套用相应的面积公式与体积公式计算求解 题组过关 1 2016 昆明一模 如图是底面半径为1 高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图 则被削掉的那部分的体积为 解析 选b 由三视图可知 剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成 其体积所以被削掉的那部分的体积为 2 2016 衡水一模 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab ac都成45 角 1 求此斜三棱柱的表面积 2 求三棱锥a b bc的体积 解析 1 如图 过a 作a d 平面abc于点d 过点d作de ab于点e df ac于点f 连接a e a f ad 可得a f ac a e ab 由题意可知 a ae a af 45 aa aa 于是rt a ae rt a af 因此a e a f 从而可得de df 故ad平分 bac 又因为ab ac 所以bc ad 故bc aa 因为aa bb 所以bc bb 因此四边形bcc b 是矩形 故斜三棱柱的侧面积为2 a bsin45 ab 1 ab 又因为斜三棱柱的底面积为所以斜三棱柱的表面积为 2 由 1 得所以va b bc vb abc 加固训练 1 2015 湖南高考 某工件的三视图如图所示 现将该工件通过切割 加工成一个体积尽可能大的长方体新工件 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内 则原工件材料的利用率为 解析 选a 分析题意可知 问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值 设长方体的长 宽 高分别为a b h 长方体上底面截圆锥的截面半径为x 对角面截面图如图所示 则有所以长方体的体积为当且仅当x 2 2x即x 时 等号成立 所以利用率为 2 2016 长春一模 如图 已知af 平面abcd 四边形abef为矩形 四边形abcd为直角梯形 dab 90 ab cd ad af cd 2 ab 4 1 求证 ac 平面bce 2 求三棱锥e bcf的体积 解析 1 过c作cm ab 垂足为点m 因为ad dc dab 90 所以四边形adcm为矩形 所以am mb 2 因为ad 2 ab 4 所以ac 2 cm 2 bc 2 所以ab2 ac2 bc2 即ac bc 因为af 平面abcd af be 所以eb 平面abcd 因为ac 平面abcd 所以ac eb 因为eb bc b 所以ac 平面bce 2 因为af 平面abcd 所以af cm 因为cm ab ab af a 所以cm 平面abef ve bcf vc bef 热点考向三与球有关的组合体的计算问题命题解读 主要考查多面体 旋转体与球接 切构成的简单组合体中球半径有关的计算问题 常以选择题 填空题形式出现 典例4 1 2016 全国卷 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是 a 17 b 18 c 20 d 28 2 若球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切 则该球的表面积为 解题导引 1 根据三视图还原为空间几何体 利用该几何体的体积公式构建以该几何体关键量为之的方程并求解 再利用其表面积公式求解 2 将三棱锥放入正方体 可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球 根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为 由此算出内切球半径 用公式即可得到该球的表面积 规范解答 1 选a 该几何体是一个球体挖掉剩下的部分 如图所示 依题意得解得r 2 所以该几何体的表面积为4 22 22 17 2 将棱长均为3的三棱锥放入正方体 如图 因为球与三棱锥各条棱都相切 所以该球是正方体的内切球 切正方体的各个面于中心 而这此切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 由此可得正方体的棱长为 即该球的直径为 半径r 所以该球的表面积为s 4 r2 答案 母题变式 1 若把本例题 2 条件 与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切 变为 与棱长均为3的三棱锥各面都相切 则结果如何 解析 设该球的球心为o 三棱锥为a bcd 依题意可知 va bcd vo abc vo bcd vo cda vo dab 即s bcd h s abc r s bcd r s cda r s dab r 所以解得 r 所以该球的表面积为 2 在本例题 2 中的条件不变 求该球体内接正方体的体积 解析 将棱长均为3的三棱锥放入正方体 如图 因为球与三棱锥各条棱都相切 所以该球是正方体的内切球 切正方体的各个面于中心 而这些切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 由此可得该球的直径为 半径r 设内接正方体的棱长为a 则该内接正方体的体对角线为a 2r 解得a 所以该球的内接正方体的体积为 规律方法 多面体 旋转体与球接 切问题的求解策略 1 过球心及多面体中的特殊点 一般为接 切点 或线作截面 把空间问题转化为平面问题 2 利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系 或只画内切 外接的几何体的直观图 确定球心的位置 弄清球的半径 直径 与该几何体已知量的关系 列方程 组 求解 3 若球面上四点p a b c构成的三条线段pa pb pc两两互相垂直 且pa a pb b pc c 一般把有关元素 补形 成为一个球内接长方体 用4r2 a2 b2 c2求解 题组过关 1 2016 郑州一模 三棱锥p abc中 ab bc ac 6 pc 平面abc pc 2 则该三棱锥的外接球表面积为 b c d 解析 选d 由题可知 abc中ac边上的高为球心o在底面abc的投影即为 abc的外心d 设da db dc x 所以x2 32 x 2 解得x 所以r2 x2 其中r为三棱锥外接球的半径 所以外接球的表面积s 4 r2 2 2016 唐山二模 如图所示 用一边长为的正方形硬纸 按各边中点垂直折起四个小三角形 做成一个蛋巢 将表面积为4 的鸡蛋