【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 8.3圆的方程精品试题(1).doc

圆 的 方 程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014湖州模拟)若过点a(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是()a.(-,-3)b.1,32c.(-,-3)1,32d.(-3,+)【解析】选c.圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a.过点a(a,a)可作圆的两条切线,所以a2+a2-2a2+a2+2a-30,3-2a0,解之得a-3和1a0,即a2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b0,且b=1.又因为圆和直线4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,即|4a-3|=5,因为a0,所以a=2.所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.7.(2014温州模拟)已知点p(x,y)在直线x-y-1=0上运动,则(x-2)2+(y-2)2的最小值为()a.12b.22c.32d.322【解析】选a.因为点(2,2)到直线x-y-1=0的距离为|2-2-1|2=22,所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为222=12.8.(2013衢州模拟)圆心在曲线y=3x(x0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为()a.(x-2)2+y-322=9b.(x-3)2+(y-1)2=1652c.(x-1)2+(y-3)2=1852d.(x-3)2+(y-3)2=9【解析】选a.由题意设圆心为x,3x,则半径r=3x+12x+353,当且仅当x=2时取等号,所以半径最小时圆心为2,32,圆的方程为(x-2)2+y-322=9.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014宝鸡模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,a1,a2,a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a1,a2,a11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是.【解析】容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265.答案:5-26510.已知x,y满足x2+y2=1,则y-2x-1的最小值为.【思路点拨】可将y-2x-1看成圆x2+y2=1上的点(x,y)与点(1,2)连线的斜率,进而转化为直线与圆相交或相切.【解析】y-2x-1表示圆上的点p(x,y)与点q(1,2)连线的斜率,所以y-2x-1的最小值是直线pq与圆相切时的斜率.设直线pq的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由|2-k|k2+1=1得k=34,结合图形可知,y-2x-134,故最小值为34.答案:3411.设二次函数y=13x2-43x+1与x轴正半轴的交点分别为a,b,与y轴正半轴的交点是c,则过a,b,c三点的圆的标准方程是.【思路点拨】先由已知求出a,b,c三点坐标,再根据坐标特点选出方程,求方程.【解析】由已知三个交点分别为a(1,0),b(3,0),c(0,1),易知圆心横坐标为2,则令圆心为e(2,b),由|ea|=|ec|得b=2,半径为5,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.答案:(x-2)2+(y-2)2=5【加固训练】设圆c同时满足三个条件:过原点;圆心在直线y=x上;截y轴所得的弦长为4,则圆c的方程是.【解析】由题意可设圆心a(a,a),则22+22=2a2,解得a=2,r2=2a2=8.所以圆c的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=812.(能力挑战题)已知动圆的圆心c在抛物线x2=2py(p0)上,该圆经过点a(0,p),且与x轴交于两点m,n,则sinmcn的最大值为.【解析】由题意,设c(x0,y0),则c的方程(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.把y=0和x02=2py0代入整理得x2-2x0x+x02-p2=0.设m,n的横坐标分别为x1,x2,则x1=x0-p,x2=x0+p.所以|mn|=|x1-x2|=2p.因为|cm|=|cn|=(x0-x1)2+y02=p2+y02,所以cosmcn=-2p2+2y022p2+2y02=1-2p2p2+y02,所以-1cosmcn1.所以00恒成立,无论m为何值,方程总表示圆.圆心坐标2-m2,-m+12,圆的半径为r=122m2-6m+13.圆的半径最小时,面积最小,r=122m2-6m+13=122m-322+172344,当且仅当m=32时,等号成立,此时面积最小.所以当圆的面积最小时,圆心坐标为14,-54,半径r=344.(2)圆心到坐标原点的距离d=122m-122+92324.当且仅当m=12时,距离最近.此时,圆心坐标为34,-34,半径r=424.15.(能力挑战题)(2014台州模拟)已知以点ct,2t(tr,t0)为圆心的圆与x轴交于点o,a,与y轴交于点o,b,其中o为原点.(1)求证:aob的面积为定值.(2)设直线2x+y-4=0与圆c交于点m,n,若|om|=|on|,求圆c的方程.(3)在第(2)题的条件下,设p,q分别是直线l:x+y+2=0和圆c上的动点,求|pb|+|pq|的最小值及此时点p的坐标.【解析】(1)由题设知,圆c的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化简得x2-2tx+y2-4ty=0,当y=0时,x=0或2t,则a(2t,0);当x=0时,y=0或4t,则b0,4t,所以saob=12|oa|ob|=12|2t|4t|=4为定值.(2)因为|om|=|on|,则原点o在mn的中垂线上,设mn的中点为h,则chmn,所以c,h,o三点共线,则直线oc的斜率k=2tt=2t2=12,所以t=2或t=-2.所以圆心c(2,1)或c(-2,-1),所以圆c的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去.所以圆c的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)点b(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为b(-4,-