2015工程随机数学(A)试卷及答案.doc

武汉大学2015 2016学年度第 一 学期工程随机数学试卷（A） 电子信息 学院 专业 班 学号 姓名 分数 1. （本题10分）将a，b，c三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为p，而输出为其他一字母的概率都是(1-p)/2，今将字母串aaaa,bbbb,cccc之一输入信道，三者输入的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为abcb，问输入的是aaaa的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。）解： 以A，B，C分别表示事件“输入aaaa”，“输入bbbb”，“输入cccc”，以D表示事件“输出abcb”。由全概率公式和贝叶斯公式有这里 ， 带入上式2. （本题10分）设随机变量。（1） 求 的概率密度。（2）求解：（1）由于，故当时，. 当 时，两边关于y求导得3. （本题15分）二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为（1） 确定常数c；（2）分析并判断X和Y是否相互独立？（3）求的概率密度。解：（1）由于区域积分=1得(2) 显然(3) 4. （本题15分）某复杂系统由100个相互独立的部件所组成，在运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率？（ ,）解：(1) 此为100重贝努利事件，求概率，由定理知近似服从标准正态分布。5. .（本题10分）设是取自正态总体的简单随机样本，且解：由是取自正态总体的简单随机样本，即相互独立，即因而即且因而即 由,及均是，.，的函数且，.，相互独立，可知，及也相互独立，进而与也相互独立。又，可知，即6. （本题10分）设，.，为总体的一个样本，.，为一相应的样本值。求下面总体函数未知参数的矩估计量和最大似然估计值。其中为已知参数，为未知参数。解：(1) 求一个未知参数的矩估计量首先求总体X的数学期望，然后令总体数学期望等于样本均值，解方程，得未知参数的矩估计量。对样本的一组观察值，.，得样本均值。令，解得 ，即为的矩估计值那么为的矩估计量。其中是随机变量，表示对样本的不同观察值，它的取值不同，所以是随机变量。(2)对样本的一组观察值，.，似然函数为 两边去对数 对求倒数 得的最大似然估计值为 的最大似然估计量为 7. （本题15分）已知总体XN(,2)，2未知，X1,X2,Xn是总体的一个样本（1）就m是否大于已知数m0，求假设检验的拒绝域，显著性水平为a；（2）若样本容量为20，样本均值等于3100，样本标准差等于170，a等于0.01，判断mm0=3000是否成立？ ， ，解：（1） H0:0(或=0)；H1:0 总体均值的无偏估计为样本均值X，且X-0N0,1。由于2未知，以其无偏估计样本标准差S代替，则 T= X-0Sntn-1。 设H0成立，由t分布可构造小概率事件 PX-Sntn-1PTtn-1= 由此可得拒绝域为 T= X-0Sntn-1 （2）n=20，X=3100，S=170，=0.01，则， t0.0120-1=t0.0119=2.54， T= X-0Sn=3100-3000170202.63。 Tt0.0119 ，落在拒绝域内，即拒绝H0，接受H1，即 显著大于3000 8. （本题15分）设Xt=sint，为0,2上均匀分布的随机变量。（1）证明X(n)(n=0，1，2，）为平稳随机序列；（2）求该平稳随机序列的功率谱密度。解：（1）的概率密度为 f=12020其它 随机序列Xn=sinnn=0,1,的均值和相关函数分别为： Xn=EXn=0212sinnd=0， RXn.m=EXnm=0212sinnsinmd=1402cosn-m-cosn+md=0.5n-m=00n-m0，即 RXn.m=RXn-m=0.5mn。 故随机序列Xn=sinnn=0,1,