高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 苏教版.pptVIP

6 2等差数列及其前n项和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 2 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 3 等差中项由三个数a a b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 a叫做a与b的 知识梳理 从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都 等于同一个常数 公差 d an a1 n 1 d 等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为的等差数列 6 数列sm s2m sm s3m s2m 构成等差数列 n m d ak al am an 2d md 5 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 其前n项和sn 或sn 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在最值 大 小 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 4 已知等差数列 an 的通项公式an 3 2n 则它的公差为 2 考点自测 1 教材改编 设sn为等差数列 an 的前n项和 若a3 3 s9 s6 27 则该数列的首项a1 答案 解析 2 教材改编 已知五个数成等差数列 它们的和为5 平方和为 则这五个数的积为 设第三个数为a 公差为d 则这五个数分别为a 2d a d a a d a 2d 由已知条件得 答案 解析 3 2016 全国乙卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 得a5 3 而a10 8 因此公差d 1 a100 a10 90d 98 答案 解析 98 4 设数列 an 是等差数列 若a3 a4 a5 12 则a1 a2 a7 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 答案 解析 28 5 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 因为数列 an 是等差数列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 故当n 8时 其前n项和最大 答案 解析 8 题型分类深度剖析 题型一等差数列基本量的运算例1 1 2016 北京 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 a3 a5 2a4 0 a4 0 又a1 6 a4 a1 3d 0 d 2 答案 解析 6 2 2016 徐州 宿迁模拟 已知公差为d的等差数列 an 的前n项和为sn 若 3 则的值为 答案 解析 等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想解决问题 思维升华 跟踪训练1 2016 江苏 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 3 s5 10 则a9的值是 设等差数列 an 的公差为d 答案 解析 20 题型二等差数列的判定与证明例2已知数列 an 中 a1 an 2 n 2 n n 数列 bn 满足bn n n 1 求证 数列 bn 是等差数列 因为an 2 n 2 n n bn n n 证明 所以数列 bn 是以 为首项 1为公差的等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 由 1 知bn n 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 解答 引申探究例2中 若条件变为a1 nan 1 n 1 an n n 1 试求数列 an 的通项公式 解答 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 思维升华 跟踪训练2 1 在数列 an 中 若a1 1 a2 n n 则该数列的通项为 答案 解析 2 已知等差数列 an 中 a4 a6 10 若前5项的和s5 5 则其公差为 因为a4 a6 10 所以2a5 10 则a5 5 又s5 5a3 5 故a3 1 从而2d a5 a3 4 故d 2 答案 解析 2 由an 2 2an 1 an 2 得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 3 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 证明 由 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 于是 1 ak 1 ak 1 2k 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 求 an 的通项公式 解答 题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例3 1 2015 广东 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 所以a5 5 故a2 a8 2a5 10 答案 解析 10 2 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 答案 解析 21 命题点2等差数列前n项和的性质例4 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 12 s9 45 则s12 因为 an 是等差数列 所以s3 s6 s3 s9 s6 s12 s9成等差数列 所以2 s6 s3 s3 s9 s6 即2 s6 12 12 45 s6 解得s6 3 又2 s9 s6 s6 s3 s12 s9 即2 45 3 3 12 s12 45 解得s12 114 答案 解析 114 2 在等差数列 an 中 a1 2018 其前n项和为sn 若 2 则s2018的值为 由题意知 数列 为等差数列 其公差为1 2018 2017 1 s2018 2018 答案 解析 2018 等差数列的性质 1 项的性质 在等差数列 an 中 am an m n d d m n 其几何意义是点 n an m am 所在直线的斜率等于等差数列的公差 2 和的性质 在等差数列 an 中 sn为其前n项和 则 s2n n a1 a2n n an an 1 s2n 1 2n 1 an 思维升华 跟踪训练3 1 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和s11 答案 解析 88 2 等差数列 an 与 bn 的前n项和分别为sn和tn 若 则 答案 解析 考点分析公差不为0的等差数列 求其前n项和与最值在高考中时常出现 题型有小题 也有大题 难度不大 典例1 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和s10 答案 解析 等差数列的前n项和及其最值 高频小考点6 45 由题意得a3 a8 9 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 答案 解析 110 方法一设数列 an 的首项为a1 公差为d 所以a11 a100 2 典例2在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 规范解答 解 a1 20 s10 s15 即当n 12时 an 0 当n 14时 an 0 当n 12或n 13时 sn取得最大值 得a13 0 n n 当n 12或n 13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 方法三由s10 s15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或n 13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 课时作业 1 教材改编 在等差数列 an 中 a3 7 a5 a2 6 则a6 an 是等差数列 设公差为d 3d a5 a2 6 则a6 a3 3d 7 6 13 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 教材改编 设sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则s7 答案 解析 49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 数列 an 的首项为3 bn 为等差数列 且bn an 1 an n n 若b3 2 b10 12 则a8 设 bn 的公差为d b10 b3 7d 12 2 14 d 2 b3 2 b1 b3 2d 2 4 6 b1 b2 b7 7b1 7 6 21 2 0 又b1 b2 b7 a2 a1 a3 a2 a8 a7 a8 a1 a8 3 0 a8 3 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 在等差数列 an 中 a9 a12 6 则数列 an 的前11项和s11 答案 解析 方法一由a1 8d a1 11d 6 得a1 5d 12 a1 12 5d 又s11 11a1 11a1 55d 11 12 5d 55d 132 方法二由a9 a12 6 得2a9 a12 12 由等差数列的性质得 a6 a12 a12 12 a6 12 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 已知数列 an 满足an 1 an 且a1 5 设 an 的前n项和为sn 则使得sn取得最大值的序号n的值为 答案 解析 由题意可知数列 an 是首项为5 公差为 的等差数列 该数列前7项是正数项 第8项是0 从第9项开始是负数项 所以sn取得最大值时 n 7或n 8 7或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2016 南通模拟 已知等差数列 an 满足a2 3 sn sn 3 51 n 3 sn 100 则n的值为 答案 解析 由sn sn 3 51 得an 2 an 1 an 51 所以an 1 17 又a2 3 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2015 安徽 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 则数列 an 的前9项和等于 答案 解析 由题意知数列 an 是以1为首项 以为公差的等差数列 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 设等差数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 若对任意自然数n都有的值为 答案 解析 an bn 为等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 3 ak 1 sk 12 则正整数k 13 答案 解析 解得k 13 11 2016 苏州暑假测试 已知数列 an 满足a1 1 a2 且an an 1 an 1 2an 1an 1 n 2 则a2016 答案 解析 又a1 1 a2 所以数列 是以1为首项 1为公差的等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 1 求等差数列 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设等差数列 an 的公差为d 则a2 a1 d a3 a1 2d 所以由等差数列通项公式可得an 2 3 n 1 3n 5或an 4 3 n 1 3n 7 故an 3n 5或an 3n 7 2 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前n项和 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当an 3n 5时 a2 a3 a1分别为 1 4 2 不成等比数列 当an 3n 7时 a2 a3 a1分别为 1 2 4 成等比数列 满足条件 当n 1时 s1 a1 4 当n 2时 s2 a1 a2 5 当n 3时 sn s2 a3 a4 an 5 3 3 7 3 4 7 3n 7 记数列 an 的前n项和为sn 当n 2时 满足此式 当n 1时 不满足此式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 已知数列 an 的各项均为正数 前n项和为sn 且满足2sn a n 4 n n 1 求证 数列 an 为等差数列 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n 1时 有2a1 1 4 即 2a1 3 0 当n 2时 有2sn 1 n 5 又2sn n 4 因此an 1 an 1或an 1 an 1 若an 1 an 1 则an an 1 1 而a1 3 所以a2 2 这与数列 an 的各项均为正数相矛盾 所以an 1 an 1 即an an 1 1 因此数列 an 是首项为3 公差为1的等差数列 解得a1 3 a1 1舍去 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 求数列 an 的通项公式 解答 由 1 知a1 3 d 1 所以数列 an 的通项公式an 3 n 1 1 n 2 即an n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9