【导与练】高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题七 解析几何 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 理.doc

专题七解析几何第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质【选题明细表】知识点、方法题号直线、圆的方程及位置关系1、7、8、12、15、16圆锥曲线的定义及方程2、5、9、11圆锥曲线的几何性质3、4、6、10、13、14基础把关1.(2012高考重庆卷)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(c)(a)相离 (b)相切(c)相交但直线不过圆心(d)相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1恒过点(0,1),而点(0,1)在圆x2+y2=2的内部,故直线与圆必相交.又直线y=kx+1的斜率k存在,故该直线不过原点(0,0),即不过圆心(0,0),选c.2.若实数k满足0k9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的(a)(a)焦距相等 (b)实半轴长相等(c)虚半轴长相等(d)离心率相等解析:因为0k0,25-k0,这两个方程表示的都是双曲线.可以求得其焦距相等,都是234-k.故选a.3.(2014宁波高三十校联考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=3x,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于(a)(a)12(b)22(c)32(d)1解析:由题ba=3,设椭圆x2a12+y2b12=1,半焦距c1.则c1=a,a1=c,c1a1=ac=a2c2=a2a2+b2=11+(ba)2=12.故选a.4.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为(c)(a)y=2x(b)y=2x(c)y=22x(d)y=12x解析:由题意知2b=2,2c=23,b=1,c=3,a2=c2-b2=2,a=2,渐近线方程为y=bax=12x=22x.故选c.5.(2014温州二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为f1、f2,过f1作直线分别交双曲线的左、右两支于点b、c,且bf2c是等边三角形,则双曲线的渐近线方程为(c) (a)y=3x(b)y=22x(c)y=6x(d)y=(3-1)x解析:由|cf1|-|cf2|=|bf1|=2a,|bf2|-|bf1|=|bf2|-2a=2a.|bf2|=4a,则|bc|=|bf2|=|cf2|=4a.cos f1cf2=36a2+16a2-4c226a4a=12,得ba=6,则渐近线方程为y=bax即y=6x.故选c.6.(2014浙江建人高复月考) 双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点为f1,f2,p是双曲线上一点,满足|pf2|=|f1f2|,直线pf1与圆x2+y2=a2相切,则双曲线的离心率e为(c)(a)3(b )233(c) 53(d)54解析:设f2df1p于点d,由题意得f2d=2a,由|pf1|-|pf2|=2a得|f1d|=a+c,(a+c)2+(2a)2=(2c)2,解得e=53.故选c.7.(2014宁波高三期末)直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于a、b两点,且|ab|=23,则a=.解析:圆心(1,2)到ab距离为4-(3)2=1,1=|a-2+3|a2+1,a=0.答案:08.(2014宁波二模)已知直线x-y-1=0及直线x-y-5=0截圆c所得的弦长均为10,则圆c的面积是.解析:两平行直线间距离为d=|-1+5|2=22,由题意知,圆c的半径为(102)2+(222)2=27,圆c的面积为27.答案:279.(2014嘉兴一模)已知点p(0,2),抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,线段pf与抛物线c的交点为m,过m作抛物线准线的垂线,垂足为q.若pqf=90,则p=.解析:由抛物线定义知,|qm|=|mf|,又pqf=90,所以|qm|=|pm|.即m为pf的中点,因此点m坐标为(p4,1),又由点m在抛物线上知1=2pp4,解得p=2.答案:210.(2014浙江宁波十校高三联考)已知f1,f2是椭圆的两个焦点,满足mf1mf2=0的点m总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是.解析:由mf1mf2=0,则mf1mf2,点m在以线段f1f2为直径的圆上.点m在椭圆内部,cb,即c2b2=a2-c2,2c2a2两边同除以a2,得2e21,e0,0eb0)的右焦点为f(3,0),且点-3,322在椭圆c上,则椭圆c的标准方程为.解析:依题意,有a2-b2=32,(-3)2a2+3222b2=1,解得a2=18,b2=9,所以椭圆c的标准方程为x218+y29=1.答案:x218+y29=112.(2014浙江嘉兴二模)焦点为f的抛物线y2=4x上有三点a、b、c满足:abc的重心是f;|fa|、|fb|、|fc|成等差数列.则直线ac的方程是. 解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),则由题意得x1+x2+x33=1,y1+y2+y33=0,2(x2+1)=(x1+1)+(x3+1),即x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,2x2=x1+x3,解得x2=1,又y22=4x2=4,所以y2=2.由点a、c在抛物线上y32=4x3,y12=4x1,两式相减整理得kac=y3-y1x3-x1=4y1+y3=4-y2,y2=2时,kac=-2,中点坐标为(1,-1)直线ac的方程为2x+y-1=0,y2=-2时,kac=2,ac的中点坐标为(1,1),直线ac的方程为2x-y-1=0.答案:2xy-1=0能力提升13.(2014瑞安调研)已知双曲线m:x2a2-y2b2=1和双曲线n:y2a2-x2b2=1,其中ba0,且双曲线m与n的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线m的离心率是(a)(a)5+12(b)5-12(c)5+32 (d)3-52解析:由题意双曲线m与n的交点p(c,c)(c=a2+b2),且p到双曲线m两焦点的距离分别为c,5c,由双曲线定义得5c-c=2a,所以e=25-1=5+12.故选a.14.(2014河北省重点中学联考)如图,抛物线c1:y2=2px和圆c2:(x-p2)2+y2=p24,其中p0,直线l经过c1的焦点,依次交c1,c2于a,b,c,d四点,则abcd的值为.解析:易知abcd=|ab|cd|,圆c2的圆心即为抛物线c1的焦点f.设a(x1,y1),d(x2,y2),则|ab|=|fa|-|fb|=x1+p2-p2=x1,同理|cd|=x2,当直线l斜率存在时,设l方程为y=k(x-p2),由y=k(x-p2),y2=2px,可得k2x2-(pk2+2p)x+k2p24=0,则x1x2=p24.则abcd=|ab|cd|=x1x2=p24.当直线l斜率不存在时,abcd=|ab|cd|=|ab|2=(p-p2)2=p24.综上,得abcd=p24.答案:p2415.(2014浙江绍兴高三教学质量调测)过点m(2,0)的直线l与抛物线c:y2=4x相交于a,b两点,过点a,b分别作y轴的垂线交直线l:y=-2x-2于点a,b.(1)若四边形abba是等腰梯形,求直线l的方程;(2)若a,o,b三点共线,求证:ab与y轴平行;(3)若对于任意一个以ab为直径的圆,在直线x=m上总存在点q在该圆上,求实数m的取值范围.解:(1)若四边形abba为等腰梯形,则kab=2, 故直线l的方程为y=2x-4.(2)设直线ab的方程为x=ty+2,a(x1,y1),b(x2,y2), 则a(-y1+22,y1),b(-y2+22,y2), 由x=ty+2,y2=4x,得y2-4ty-8=0,得y1+y2=4t,y1y2=-8,因为a,o,b三点共线,所以y2ty2+2=-2y1y1+2,即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8, 所以y1=2,所以a(1,2),b(1,-4),故直线ab与y轴平行.(3)设q(m,y0),由已知以ab为直径的圆经过点q, 得kqakqb=-1,即y1-y0x1-my2-y0x2-m=-1, 即y1y2-y0(y1+y2)+y02=-x1x2+m(x1+x2)-m2.(*) 由(2)知,y1+y2=4t,y1y2=-8,则x1x2=4,x1+x2=4t2+4, 代入(*)式得y02-4ty0+m2-4m-4mt2-4=0,因为总存在点q,所以关于y0的方程恒有解,所以0要恒成立. 即16t2-4m2+16m+16mt2+160对一切的tr恒成立,整理后得(4m+4)t2m2-4m-4,当m-1时,上式不可能对一切的tr恒成立;当m-1时,t2m2-4m-44m+4对一切的tr恒成立, 只需m2-4m-40,即2-22m2+22,综上,所求的实数m的取值范围为2-22,2+22.16.如图所示,在平面直角坐标系xoy中,已知圆c1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆c2(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点a(4,0),且被圆c1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设p为平面上的点,满足:存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆c1和圆c2相交,且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点p的坐标.解:(1)由于直线x=4与圆c1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆c1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆c1截得的弦长为23,所以d=22-(3)2=1.由点到直线的距离公式得d=|k(-3-4)-1|k2+1,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-724,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点p(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k0,则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆c1和圆c2的半径相等,以及直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等,所以圆c1的圆心到直线l1的距离和圆c2的圆心到直线l2的距离相等,即|1-k(-3-a)-b|1+k2=|5+1k(4-a)-b|1+1k2,整