高中物理教学中的数学方法.doc

高中物理教学中的数学方法物理图象中“面积”思想的迁移物理问题的表述有两种方法：公式法和图象法，其中大多数问题都可以借助图象进行解决，利用图象研究问题的最大特点就是它的直观性。利用图象解题关键在于明确图象横坐标和纵坐标的基础上，正确理解图象的斜率、截距、交点、面积、临界点等的物理意义，而利用图象的“面积”所代表的物理意义解题，往往可以达到事半功倍的效果。一、图象中的“面积”t/st0vV/ms-1S图1在众多的图象中，图象中图线与坐标轴所围的“面积”代表质点运动的位移是最基本的，也是运用得最多的。vt0V/ms-1t/s图3vt0V/ms-1t/s图2以0做匀速直线运动的物体在一段时间内的位移0，可以理解为其速度0在时间内的积累，其大小就等于图象中图线下所围一块矩形“面积”（如图）。对做匀加速直线运动来说，其图象中图线下所围的梯形的“面积”即为运动的位移（如图2）。同样对变加速直线运动的物体来说，将时间无限分割后，其位移即等于无数个小的梯形“面积”之和，即整个曲线与坐标轴所围的“面积” （如图3）。可见，在图象中，不管其图线形状（运动性质）如何，一段时间内的位移总等于图线与坐标轴所围图形的“面积”。由此推广得到结论：若图象中横坐标x与纵坐标y的乘积xy对应某一物理量，那么不管曲线的形状如何，“面积”就可表示该物理量在“0x”内的数值。这样我们就可将图象中的“面积”的思想在其它坐标中迁移，使一些中学阶段难以解决的问题简单化、明朗化，从而拓展学生思维，提高学生解决问题能力。二、“面积”在FS图象中的迁移在FS坐标中作出力F随位移S变化的图象即FS图，则图象与位移轴之间所围的“面积”（即力F在通过位移S的“积累”） 为F在这段位移内所做的功。nn-1321LBA图4例1：如图4所示，一粗细均匀的铁杆AB长为L，横截面积为S，将杆的全长分为n段，竖直落入水中。求第n段浸没于水的过程中，浮力所做功的大小。分析：本题中，铁杆所受浮力为，式中为水的密度，为常数，x为杆浸入水中的深度，设WNOx1x2x3FXWWWXn-1Xn图5=k，则F=kx，浮力大小随杆浸入水中的深度x的改变而改变，不是恒力，不能用恒力做功的公式计算。但若画出“FS图”就可以较容易找到解决问题的途径。解答：由题意可知：每一段的长度为L/n。如图5所示，设第一段进入水过程中浮力做的功记作W，第二段记作W，则第n段记作WN。其中第一段全部浸入水中时所受的浮力为： ，则W，而根据可知：W WWWN=135（2n-1），所以第n段全部浸入水的过程中浮力所做的功为：WN 。同理：可求出n段全部浸入水中的过程浮力所做的功为整个三角形的面积：Wn。三、“面积”在Ft图象中的迁移力F对物体在一段时间t内的冲量Ft，即F在时间t内的积累。若给出力F关于时间t的图象Ft图，则图象与坐标轴所包围的“面积”即为这段时间内冲量的大小。例2：一质量为m的物体静置在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为，今给物体施以一水平方向作用力F，已知F随时间t均匀增大，（为比例常数）。求经过一段时间t后物体获得的速度。（设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）分析：由于摩擦力的存在，物体经过时间t后，其运动可能性有两种：一种情况是时间t较短，物体依然静止；另一种情况是时间t较长，物体先静止后运动，再获得一定速度V。而物体开始运动的临界条件为：水平方向作用力F=mg。Fttt0Okt图6解答：临界情况：当，物体表现为要动还没有动，即将滑动。此时对应的时刻为t0，。 1）、当 t0时，物体保持静止，速度V=0。2）、当 t0时，F随时间t变化的图象如图6所示，在0t0过程中物体处于静止；在t0t过程物体加速运动，取F方向为正方向，F的冲量为图中梯形的面积：， 摩擦力的冲量为：；根据动量定理：=mV0则得：，即。四、“面积”在It图象中的迁移电流流过导体，作出电流随时间变化的图象It图，则根据其物理意义，可得It图中图象所围的面积为这段时间内流过导体的电量。AVEAFSCRDB图7甲100200300400500010203040506070i/At/s图7乙例3：如图7所示是一种测量电容的实验电路图，实验是通过对高阻值电阻放电的方法，测出电容器充电至电压U时所带电量Q，从而再求出等测电容器的电容C。某同学在一次实验时的情况如下：接通开关S，调节电阻箱R的阻值，使小量程电流表的指针偏转接近满刻度，记下此时电流表的示数是I0=490A，电压表的示数U0=6.0V，I0 、U0分别是电容器放电时的初始电压和电流。断开开关S，同时开始计时，每隔5S（10S）测读一次电流I的值，将测得数据填入表格，并标在图乙坐标纸上（时间t为横坐标、电流I为纵坐标），结果如图中小黑点“”所示。（1）在图中乙中画出it图线。（2）图乙中图线与坐标轴所围成面积的物理意义是 。（3）该电容器的电容为： F。100200300400500010203040506070i/At/s图7丙分析与解：（1）用平滑的曲线将图中各点连起来，如图7丙所示。（2）根据图象横坐标与纵坐标的物理意义，可以推断图线与坐标轴所围成面积为电流对时间的积累即t时间内通过电阻R的电量Q。（3）图中每一方格的“面积”为2.510-4C，曲线与坐标轴围成的“面积”共约36个方格，总电量Q=910-3C，再根据公式C=Q/U0，即可以求出电容器的电容C=1.510-3F。五、灵活运用，举一反三DSLV图8例4：长度为L的矩形板，以速度V沿光滑水平面平动，垂直滑向宽度为D的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过的的路程为S，且DSL，如图8所示，求板面与粗糙地带之间的动摩擦因数。分析：本题的难点在物体运动过程中其受力会发生变化，导致物体运动的加速度发生变化，但其受力的大小与物体运动的位移有一定的关系，因此可以借助图象来分析。解答：令矩形板单位长度上的质量为，设板