大学数学不定积分必做习题.pdf

高等数学学习指导书 第四章 不定积分 63 第四章 不定积分 17 世纪最伟大的成就之一就是微积分的创立 数学和科学中的巨大发展 几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的 需要有一两 个人来走那最高和最后的一步 这一两个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中 清理出前人的有价值的想法 有足够想象力地把这些碎片重新组织起来 并且足 够大胆地制定一个宏伟的计划 就微积分的创立而言 这一两个人就 是 Newton 牛顿 1642 1727 和 Leibniz 莱布尼兹 1646 1716 Newton 和 Leibniz 平分的对微积分的极端重要的贡献之一是把面积 体积与 其他以前作为和来处理的问题归并到反微分 即我们现在所说的积分 因此 在 17 世纪促使微积分产生的四个主要科学问题 速率 切线 最值 求值 全部 归结为微分和反微分 积分 Newton 利用导数与它的逆解决了微积分的诸多问题 Leibniz 第一次表达出求和与微分之间的关系 作为求和的过程的积分是微 分的逆 在他的手稿中第一次采用了积分号 记号 是 sum 和 的第一个字母s的拉长 不定积分是求导的逆 是讨论给定一个函数 如何寻求一些可导函数 使它 们的导数等于所给定函数 这是积分学的基本问题之一 一 内容提要 1 原函数原函数 如果在某区间 I 上可导函数 F x的导函数为 f x 即对每一个xI 都有 F xf x 或 dF xf x dx 则称函数 F x为函数 f x在该区间I上的一个原 函数 2 2 2 2 原函数存在的条件原函数存在的条件 1 连续函数一定有原函数 2 初等函数在其定义区间内都有原函数 3 若 f x在I上有原函数 则必有无数个原函数 4 任意两个原函数间只相差一个常数 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 64 5 若 F x是 f x在区间 I 上的一个原函数 则 f x在区间 I 上的全体原函数记 为 F xC C为任意常数 3 不定积分不定积分 在区间 I 上 f x的所有原函数称为函数 f x在区间 I 上的不定积分 记 为 f x dxF xC 其中C为任意常数 4 4 4 4 不定积分与微分的关系 不定积分与微分的关系 先积后微 形式不变 先微后积 相差一个常数 即 1 f x dxf x 或 df xf x dx 2 F x dxF xC 或 dF x dxF xC 5 5 5 5 不定积分的性质不定积分的性质 1 两个函数和 差 的不定积分等于这两个函数的不定积分的和 差 即 f xg x dxf x dxg x dx 2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面 即 kf x dxkf x dx k为常数 0k 6 6 6 6 基本积分公式基本积分公式 1 0dxC 2 kdxkxC k为常数 3 1 1 1 1 x dxxC 4 1 lndxxC x 5 ln x x a a dxC a 6 xx e dxeC 7 cossinxdxxC 8 sincosxdxxC 9 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x 10 2 2 1 csccot sin dxxdxxC x 11 sectansecxxdxxC 12 csccotcscxxdxxC 13 2 1 arctan 1 dxxC x 14 2 1 arcsin 1 dxxC x 7 7 7 7 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法 1 直接法 直接利用不定积分的性质 基本积分公式求积分 或者对被积函数作恒等变 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 65 形后再利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法 2 第一类换元法 凑微分法 设法将被积函数 f x凑成 f xgxx 且 gx 的原函数容易求出 则 f x dxgxx dxgx dxGxC 其中 Gxgx 常用的凑微分公式有 1 0 f axb dxf axb d axba a 1 1 0 nnnn f axbxdxf axb d axba a n 0n 2 1111 fdxfd xxxx 1 2 fxd xfx dx x 1 ln ln ln fxdxfx dx x 1 0 axaxaxax f ee dxf ed ea a sin cos sin sin fxxdxfx dx cos sin cos cos fxxdxfx dx 2 1 tan tan tan cos fxdxfx dx x 2 1 cot cot cot sin fxdxfx dx x 2 1 arcsin arcsin arcsin 1 fxdxfx dx x 2 1 arccos arccos arccos 1 fxdxfx dx x 2 1 arctan arctan arctan 1 fxdxfx dx x 1 ln fx dxd f xf xC f xf x 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 66 3 第二类换元法 先对积分变量进行换元 简化被积函数的形式 再求积分 1 1 xt tx f x dxft dtftt dtF tC FxC 其中 xt 及 t 都连续且 0t 常用的几种变量代换有 被积函数含有根式 n axb 令 n taxb 被积函数含有根式 22 ax 令sin 22 xatt 或cos 0 xatt 被积函数含有根式 22 ax 令tan 22 xatt 被积函数含有根式 22 xa 令sec 0 2 xatt 4 分部积分法 分部积分公式 u x dv xu x v xv x du x 简记为udvuvvdu 常用的分部积分类型有 被积函数是幂函数与正 余 弦函数 或指数函数 的乘积 将幂函数选为 u x 使 用分部积分法可以降低幂函数的次数 被积函数形如sin cos nnnax xax xax x e此时常选 n u xx 被积函数是幂函数与对数函数 或反三角函数 的乘积 将对数函数 或反三角函数 选为 u x 使用分部积分可以在求积分的过程中去掉对数函数 或反三角函数 部分 被积函 数形如ln arcsin arctan nnn xax xx xx等 常将ln arcsin arctanaxxx选为 u x 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 67 被积函数是以e为底的指数函数与正 余 弦函数的乘积 u x的选取可随意 使用 若干次分部积分后 等式右边出现所求积分 此时只需解出所求积分即可 被积函数形如 sin cos axax ebx ebx u x选取随意 8 8 8 8 简单有理函数的积分简单有理函数的积分 将有理函数化成多项式与真分式之和 再把真分式部分利用待定系数法分解成若干个最简真 分式的代数和 最简真分式只有如下四种 22 11 nn MxNMxN xaxaxpxqxpxq 2 2 3 40 npq 求 求 f x 分析 导函数是对 2 x求导 所以可以先换元 也可以直接对 2 x积分 解 法一 2 2 2 ln dfx fxx d x 则 22 ln df xxd x 两边对 2 x积分 有 22222 ln lnlnd f xf xxd xxxx dx 2222 11 lnln 2 xxxdxxxxC x 则 1 ln 2 f xxxxC 法二 先换元 再积分 2 lnfxx 则 1 lnln 2 fxxx 两边对x积分 有 111 lnln 22 fx dxxdxxxxdx x 11 ln 22 xxxC 即 11 ln 22 f xxxxC 例例 34343434 曲线过点曲线过点 2 3 e 且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数 求该曲线方程 且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数 求该曲线方程 分析 由导数的几何意义可知 1 fx x 则 f x为 f x 的一个原函数 利用不定积分 求出 fx 的全体原函数 再由曲线过点 2 3 e确定积分常数 C 即可求出曲线方程 解 设所求曲线方程为 yf x 则 1 fx x 而 1 lnfx dxf xdxxC x 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 82 又曲线过点 2 3 e 代入 2 3ln1eCC 故所求的曲线方程为 ln1yx 例例 35353535 设物体的运动速度为设物体的运动速度为cos vt m s 当 当 2 t 时 物体所经过的路程为时 物体所经过的路程为10sm 求物体的运动规律 求物体的运动规律 分析 由导数的物理意义可知 cosv ts tt 则 s t是 s t 的一个原函数 利用不 定积分求出 s t 的全体原函数 再由 2 10 t s 确定积分常数C 解 设物体的运动规律为 ss t 则 coss tv tt cossins ttdttC 又当 2 t 时 10s 代入10sin 2 C 则9C 故所求物体运动规律为 sin9s tt 四 自测题 A 一 填空题 一 填空题 1 若 f x的一个原函数是arctanxx 则 f x 2 设 2 f x dxxC 则 2 1 x fxdx 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 83 3 3 1 d xdx dx 4 cos xx eedx 5 设 x f xe 则 ln fx dx x 二 选择题 二 选择题 1 42 1 2 f x dxxxC 则 f x A 3 22xx B 3 22xxC C 3 xx C 4 2xx 2 设 x e是 f x的一个原函数 则 xf x dx A 1 x exC B 1 x exC C 1 x exC D 1 x exC 3 若 2 xx fedxeC 则 f x A 1 2 x eC B 2x eC C 3 2 3 xC D 4 4 3 xC 4 若 f x dxF xC 则 xx ef edx A x F eC B x F eC C x F eC D x F e C x 5 设 f x具有连续的导数 则 x fxf x dx A xf xC B xfxC C xfxC D xf xC 三 计算题 三 计算题 1 2 3lnxx edx 2 4 1 cos dx x 3 2 arctan 1 xx dx x 4 3 3 x dx xxx 5 3 2 2 1 4 dx x 6 2 1 x xe dx 7 ln 1 xxdx 8 cos 2 x x edx 9 arctanxdx 10 2 2 8 1 xx dx x x 四 应用题 四 应用题 1 一曲线通过 3 4 e点且在其上任一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍之倒数 求该曲 线的方程 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 84 2 一物体由静止开始运动 在t秒末的速度是 2 3 m t s 问 1 在 3 秒后离开出发点的距离是多少 2 需要多少时间走完 360 米 自测题 B 一 填空题 一 填空题 1 若 f x的一个原函数是 2 x 则 fx dx 2 若 f x dxF xC 则cos sin x fx dx 3 2 d fx dx dx 4 sin 12 x dx 5 22 x f xfxdx 二 选择题 二 选择题 1 设 2 x f xe 则 2 x fdx A 2 x eC B x eC C 2 2 x eC D 2x eC 2 若 x f x dxxeC 则 f x A 1 x x e B 1 x xe C x xe D x xe 3 ln 1fxx 则 f x A 1 ln 2ln 2 x B 2 2 x xC C x xeC D 2 2 x x e e 4 经过点 1 0 且切线斜率为 2 3x的曲线方程为 A 3 yx B 3 1yx C 3 1yx D 3 yxC 6 不定积分 2 1 1 sin sin dx x A 1 sin sin xC x B 1 sin sin xC x C cotsinxxC D cotsinxxC 三 计算题 三 计算题 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 85 1 3 5 2xx dx x 2 1 sin ln x dx x 3 1 2 1 x edx x 4 arcsin 1 x dx xx 5 3 1 x dx x 6 23 1 1 dx x 7 sinxdx 8 2 ln x dx x 9 2 cos3 x exdx 10 2 1 dx xx 四 已知曲线 yf x 上任意点的切线斜率为 2 336xx 且1x 时 11 2 y 为极大 值 求函数 f x及其极小值 自测题 A 答案 一 填空题 1 2 2 2 1 x x 2 42 1 2 xxC 3 3 1x 4 sin x eC 5 1 C x 二 选择题 ACCBA 三 计算题 1 2 3 1 6 x ec 2 3 1 tantan 3 xxC 3 22 11 ln 1 arctan 22 xxC 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 86 4 6 ln6ln1xxC 5 2 1 4 4 x C x 6 2 21 x exxC 7 22 1111 ln 1 l