构造全等三角形解.doc

构造全等三角形解题江西省南昌县莲塘五中 万红娆在学完新课标八年级数学全等三角形之后，很多同学都发现，利用三角形全等可以解决很多线段或角度相等的问题，同学们都很喜欢用这种方法。但有的题目却不能直接应用，需要根据条件作辅助线构造全等三角形，下面我结合例题来介绍几种常用的构造全等三角形解题的方法。1、平移法构造全等三角形例1：如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，若ABAD，DC=BC，求证：B+D=180分析：利用角平分线构造三角形，将D转移到AEC，而AEC与CEB互补，CEB=B，从而证得D+B=180DC证明：在AB上截取AE=AD在ADC和AEC中123AD=AEAEB1=2 AC=AC ADCAEC（SAS）D=AEC，DC=CE又DC=BC CE=BC 3=B又3+AEC=180 B+D=180特别提示：在此题证明中，采用的主题方法是“线、角进行转移”。2、翻折法构造全等三角形例2：如图，已知ABC中，AC=BC，ACB=90，BD平分ABC，求证：AB=BC+CD。B证明：BD平分ABC，将BCD沿BD翻折180，点C落在BA上的E点。则有BE=BCE在BCD与BED中BC=BE（已证）DCACBD=EBD（已知）BD=BD（公共边）BCDBED（SAS） DEA=ACB=90 CD=DEABC中，ACB=90，AC=BCA=45 EDA=A=45 DE=EAAB=BE+EA=BC+CD 即AB=BC+CD3、旋转法构造全等三角形例3：如图，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分EAD，求证：BE+DF=AE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条线上，因而需设法将它们“组合”到一起，想办法“链接”起来，可将ADF绕点A旋转90至ABG，则ADFABG，DF=BG，从而将BE+BG转化成线段GE，再进一步证明GE=AE即可。DAFCEGB证明：将ADF绕点A顺时针旋转90至ABG，则ADFABGG=AFD，GAB=FAD，DF=BGBE+DF=BE+BG=GE又AF平分EAD FAD=FAE=GABGAB+BAE=FAE+BAE 即GAE=BAF又ABCD BAF=AFD=G在EAG中，AE=GE，那BE+DF=AE特别提示：本题利用旋转巧妙地将两条分离的线段“链接”在一起从而得证，利用旋转构造三角形全等是经常用到的方法。4、延长法构造全等三角形例4：如图，ABC中，C=2B，1=2，试说明AB=AC+CD。ADEBC分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可。本题可延长AC至E，使AE=AB，构造全等三角形，然后证明CE=CD就行了。解：延长AC至E，使AE=AB，连结DE。 1 2AB=AE，1=2，AD=AD ABDAED B=EACD=E+CDE ACD=2BACD=2E E=CDECD=CE AB=AC+CDA特别提示：本例中用到的方法叫“补短法”，定将较短的线段AC补长，构造三角形全等，达到求解目的。本题也可采用“截长法”，即在AB上截取AF=AC，连结DF，构造三角形全等，证得AB=AC+CD，请读者自解。B5、截取法构造全等三角形CED例5：如图，已知ABC中，边BC上的高为AD，又B=2C，求证：CD=AB+BD。分析：欲证CD=AB+BD，可以在CD上截取一段等于BD，再证明另一段等于AB，如果截取DE=BD（如图），则ADE可视为ADB沿AD翻折而来。证明：在DC上截取DE=DB，连结AE，则